2019版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率第56讲二项式定理学案.doc
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1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 56 讲 二项式定理 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.能用计数原理证明二项式定理 2会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题 . 2017 全国卷 , 6 2017 全国卷 , 4 2017 山东卷, 11 2016 全国卷 , 14 2016 天津卷, 10 2016 山东卷, 12 对二项式定理的考查,主要是利用通项求展开式的特定项及参数值利用二项式定理展开式的性质求有关系数等问题 . 分值: 5 分 1二项式定理 二项式定理 (a b)n _C0nan C1nan 1b ? Cknan kbk ? Cnnbn(nN )_ 二项式系数 二项式展
2、开式中各项系数 _Ckn_(k 0, 1, ? , n) 二项式通项 Tk 1 _Cknan kbk_,它表示第 _k 1_项 2二项式系数的性质 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)在二项展开式中第 k 项为 Cknan kbk.( ) (2)通项 Cknan kbk中的 a 和 b 不能互换 ( ) (3)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项 ( ) (4)(a b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a, b 无关 ( ) (5)(a b)n某项的系数是由该项中非字母因数部分,包括符号等构成,与该项的二项式系数不同 ( ) 解析
3、(1)错误在二项展开式中第 k 1 项为 Cknan kbk,而第 k 项应为 Ck 1n an k 1bk 1. (2)正确通 项 Cknan kbk中的 a 与 b 如果互换,则它将成为 (b a)n的第 k 1 项 (3)错误由二项展开式中某项的系数的定义知;二项展开式中系数最大的项不一定是中间一项或中间两项,而二项式系数最大的项则为中间一项或中间两项 (4)正确因为二项式 (a b)n的展开式中第 k 1 项的二项式系数为 Ckn,显然它与 a, b无关 (5)正确因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分,包括符号构成的,一般情况下,不等于二项式系数 2已知 ? ?x 1x 7
4、的展开式的第 4 项等于 5,则 x ( B ) A 17 B 17 C 7 D 7 解析 ? ?x 1x 7的展开式中 T4 C37x4? ? 1x 3 5, 所以 x 17. 3化简: C12n C32n ? C2n 12n 的值为 _22n 1_. 解析 因为 C02n C12n ? C2n2n 22n, 所以 C12n C32n ? C2n 12n 22n2 22n 1. 4.? ?x2 2x3 5展开式中的常数项为 _40_. 解析 Tr 1 Cr5( x2)5 r ? ? 2x3 r Cr5( 2)r x10 5r, 令 10 5r 0,得 r 2,故常数项为 C25( 2)2 4
5、0. 5 (2017 山东卷 )已知 (1 3x)n的展开式中含有 x2项的系数是 54,则 n _4_. 解析 由题意可知 C2n32 54, C2n 6,解得 n 4. =【 ;精品教育资源文库 】 = 一 二项展开式中的特定项或系数问题 (1)求展开式中的特定项,可依据条件写出第 k 1 项,再由特定项的特点求出 k 值即可 (2)已知展开式中的某项,求特定项的系数可由某项得出参数项,再由通项公式写出第 k 1 项,由特定项得出 k 值,最后求出其参数 【例 1】 (1)(2018 广东惠州模拟 )在二项式 ? ?x2 1x 5的展开式中,含 x4的项的系数是( A ) A 10 B 1
6、0 C 5 D 20 (2)?x 124 x8的展开式中的有理项共有 _3_项 解析 (1)Tr 1 Cr5( x2)5 r( x 1)r Cr5( 1)r x10 3r,令 10 3r 4,得 r 2,所以含 x4项的系数为 C25( 1)2 10,故选 A (2)展开式的通项为 Tr 1 Cr8( x)8 r? 124 xr? 12rCr8x16 3r4 (r 0,1,2, ? , 8),为使 Tr 1为有理项, r 必须是 4 的倍数, 所以 r 0,4,8,故共有 3 个有理项 二 多项展开式中的特定项或系数问题 (1)对于几个多项式和的展开式中的特定项 (系数 )问题,只需依据二项展
7、开式的通项,从每一项中 分别得到特定的项,再求和即可 (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏 (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决 【例 2】 (1)? ?x3 2x 4 ? ?x 1x 8的展开式中的常数项为 ( D ) A 32 B 34 C 36 D 38 (2)(2017 全国卷 )(x y)(2x y)5的展开式中 x3y3的系数为 ( C ) A 80 B 40 C 40 D 80 =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)(2017 全国卷 )? ?1 1x2 (1 x)6展
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