2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标16导数与函数的综合问题（理科）.doc

1、=【;精品教育资源文库】=课时达标 第 16 讲解密考纲本考点主要以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，常考查恒成立问题、存在性问题或者与实际问题相结合讨论最优解等问题，综合性较强，常作为压轴题出现三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大1已知函数 f(x) x2 ax aln x(aR)(1)若函数 f(x)在 x1 处取得极值，求 a 的值；(2)在(1)的条件下，求证： f(x) 4 x .x33 5x22 116解析 (1) f( x)2 x a ，由题意可得axf(1)0，解得 a1经检验， a1 时 f(x)在 x1 处取得极小值，所以 a1(2)由(1)知

2、， f(x) x2 xln x，令 g(x) f(x) 3 xln x ，(x33 5x22 4x 116) x33 3x22 116由 g( x) x23 x3 3( x1) (x0)，可知 g(x)在(0,1)上1x x3 1x ? x 1? 3x是减函数，在(1，)上是增函数， g(x)min g(1) 3 0，13 32 116当 x0 时， g(x) g(1)0，于是 f(x) 4 x .x33 5x22 1162若函数 f(x) ax3 bx4，当 x2 时，函数 f(x)有极值 .43(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若方程 f(x) k 有 3 个不同的根，求实数 k 的取

3、值范围解析 (1) f( x)3 ax2 b，由题意得Error!解得Error!故所求函数的解析式为 f(x) x34 x4.13(2)由(1)得 f( x) x24( x2)( x2)，令 f( x)0，得 x2 或 x2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表.x (，2) 2 (2,2) 2 (2，)f( x) 0 0 =【;精品教育资源文库】=f(x) 单调递增283 单调递减43 单调递增因此，当 x2 时， f(x)有极大值 ，当 x2 时， f(x)有极小值 ，283 43所以函数 f(x) x34 x4 的图象大致如图所示13因为 f(x) k 有 3 个不

4、同的根，所以直线 y k 与函数 f(x)的图象有 3 个交点，所以 .e2 2ee 1所以 a 的取值范围为 .(e2 2ee 1， 1)4某商店经销一种奥运纪念品，每件产品成本为 30 元，且每卖出一件产品，需向税务部门上交 a 元( a 为常数，2 a5)的税收，设每件产品的日售价为 x 元(35 x41)，根据市场调查，日销售量与 ex(e 为自然对数的底数)成反比，已知每件产品的日售价为 40元时，日销售量为 10 件(1)求商店的日利润 L(x)元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时该商店的日利润 L(x)最大，说明理由解析 (1)设日销售量为

5、 件，则 10， k10e 40.kex ke40则日销售量为 件，每件利润为( x30 a)元，10e40ex则日利润 L(x)10e 40 (35 x41)x 30 aex(2)L( x)10e 40 (35 x41)31 a xex当 2 a4 时，3331 a35， L( x)0， L(x)在35,41上是减函数当x35 时， L(x)的最大值为 10(5 a)e5.当 4 时，设 g(x)( x22 x)ex，求证：对任意 x1(0,2，均存在 x2(0,2，使12得 f(x1)g(x2)成立解析 (1)由题知，定义域为 x0， f( x) ax(2 a1) .2x当 a 时， f(

6、 x) x ，23 23 73 2x ? 2x 3? ? x 2?3x令 f( x)0，解得 0 x 或 x2，令 f( x)0，解得 x2，32 32则函数 f(x)的单调递增区间为 和(2，)，单调递减区间为 .(0，32) (32， 2)=【;精品教育资源文库】=(2)若要命题成立，只需当 x(0,2时， f(x)max g(x)max由 g( x)( x22)e x可知，当 x(0,2时，函数 g(x)在区间(0， )上单调递减，2在区间( ，2)上单调递增， g(0) g(2)0，故 g(x)max0，所以只需 f(x)max0.2对函数 f(x)来说， f( x) ax(2 a1) .2x ? ax 1? ? x 2?x当 a 时，0 2，则函数 f(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，12 1a (0， 1a) (1a， 2所以 f(x)max f 2ln a 2；(1a) 12a当 a1 时，显然小于 0，满足题意；当 a1 时，可令 h(a)2ln a 2， h( a) ，12 12a 1 4a2a2可知函数 h(a)在区间 时单调递减，则 h(a) h (12， 1) (12)2ln 230，满足题意；综上所述，当 a 时，对任意 x1(0,2，均存在 x2(0,2，使得 f(x1) g(x2)成12立