河南省商丘市2022届高三下学期第三次模拟考试理科数学试题（含答案）.docx

1、河南省商丘市2022届高三下学期第三次模拟考试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知非空集合M，N是全集U的子集 MUN ，则 (UM)N= （） AUMBUNCMDN2已知 z=1-1i3 ，则 z 在复平面内对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知 a=log0.90.4 ， b=0.90.4 ， c=log40.9 ，则（） AbcaBbacCcbaDca2f(x) 的解集为（） A(-2，0)(2，2)B(-，-2)(2，+)C(-，-2)(-2，0)(2，2)D(-2，-2)(

2、0，2)(2，+)9如图，在 ABC 中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若 BF=xAB+yAC ，则 3x+y= （） A-1B-34C-12D-1410已知双曲线 C ： x2a2-y2b2=1(a0，b0) 经过点 (-1，-1) ，且 C 的实轴长大于 2 ，则 C 的离心率的取值范围为（） A(1，2)B(1，3)C(2，+)D(3，+)11已知函数 f(x)=3cos(x+6)(0) ，若 f(3)=0 ， f(x) 在 (3，49) 内有最小值，没有最大值，则 的最大值为（） A19B13C10D712高斯是德国著名的数学家，近代数学奠

3、基者之一，享有“数学王子”的称号用他的名字定义的函数称为高斯函数 f(x)=x ，其中 x 表示不超过x的最大整数已知数列 an 满足 a1=2 ， a2=5 ， an+2+4an=5an+1 ，若 bn=log2an+1 ， Sn 为数列 1000bnbn+1 的前n项和，则 S2022= （） A249B499C749D999二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知 x ， y 满足 x-2y+20，3x-y-30，x+20， ，则 z=12x+13y 的最大值为 14写出同时满足下面两个性质的数列 an 的一个通项公式 an= an 是递增的等差数列；a2-a3+a4=

4、1 15已知体积为 263 的圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的外接球的表面积为 16已知 F 是抛物线 C ： y2=2px （ p0 ）的焦点， C 的准线与 x 轴交于点 A ，过点 A 作曲线 C 的一条切线 AB ，若切点 B 在第一象限内， D 为 C 上第四象限内的一点，且 DF/AB ，则 |AB|DF|= 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知 ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， A=23 ， cos(2-C)=2sin(A+C) ， ABC 的面积为 23 （1）求b，c的值；（2）设D为BC上一点，且

5、 AD=21 ，求 sinADB 18大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要目标之一某校组织全校学生进行立定跳远训练，为了解训练的效果，从该校男生中随机抽出100人进行立定跳远达标测试，测试结果（单位：米）均在 1.65，2.85 内，整理数据得到如下频率分布直方图学校规定男生立定跳远2.05米及以上为达标，否则为不达标 （1）若男生立定跳远的达标率低于60%，该校男生还需加强立定跳远训练请你通过计算，判断该校男学生是否还需加强立定跳远训练；（2）为提高学生的达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校男生立定跳远的距离 （单位：米）近似服从正态分布 N(2.25，2) ，且

6、P(2.45)=0.8 再从该校任选3名男生进行测试，X表示这3人中立定跳远达标的人数，求X的分布列和数学期望E（X） 19如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面为等边三角形，侧面 BCC1B1 为菱形， CBB1=120 ， AC1=6 ， AB1=10 （1）证明： AB1C1 为直角三角形； （2）求直线 BC1 与平面 AB1C1 所成角的正弦值 20在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-4，0) ， B(4，0) ，M是一个动点，C，D分别为线段AM，BM的中点，且直线OC，OD的斜率之积是 -34 记M的轨迹为E （1）求E的方程；（2）若过点 F(2，0) 且不与x轴重合的直

7、线与E交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为 P1 （ P1 与Q不重合），直线 P1Q 与x轴交于点G，求 |AG|BG| 的值 21已知函数 f(x)=ax2-2ex （ aR ）， f(x) 为 f(x) 的导函数 （1）讨论函数 f(x) 的单调性； （2）当 a1 时，函数 g(x)=f(x)+2sinx ，证明： g(x) 在 x=0 处取得极大值 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x=t2+6，y=-t3-2 （ t 为参数）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2=41+3sin2 （1）求直线 l 的普通方程和曲线

8、C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A ， B 两点， P 为曲线 C 上的任意一点，求 ABP 的面积的最小值 23已知函数 f(x)=|x-2|-|x+1| ，不等式 f(x)-m 的解集为 (-，1 （1）求实数 m 的值； （2）若正实数 a ， b 满足 1a+1b=m ，证明： a+b22ab 答案解析部分1【答案】D【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】根据题意，集合M，N间的关系如下图，易知 MN= ，可用矩形表示全集U，椭圆表示集合M，圆表示集合N根据图形可知，所以 (UM)N=N 故答案为：D【分析】利用韦恩图分析即可.2【答

9、案】A【知识点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】 z=1-1i3=1+1i=1-i ，则 z=1+i ，所以 z 在复平面内对应的点为 (1，1) ，位于第一象限 故答案为：A【分析】先化简z，从而得到z.3【答案】C【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为 y=log0.9x 是单调递减函数，且 0.4log0.909=1 ， 因为 y=0.9x 是单调递减函数，且 0.40 ，故 0b=0.90.40.9 故 c=log40.9log41=0 ，所以 cba 故答案为：C【分析】根据对数函数，指数函数单调性与特殊值比较即可.4【答案】C【

10、知识点】分步乘法计数原理【解析】【解答】甲、乙、丙3名志愿者参加2022年杭州亚运会的3个比赛项目的服务工作，有 33=27 种安排方法； 而乙、丙在同一个比赛项目服务，有 32=9 种安排方法，所以乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率为 P=1-927=23 故答案为：C 【分析】使用间接法，共有27种方法，乙、丙在同一个比赛项目服务有 32=9 种安排方法，从而得到乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率.5【答案】A【知识点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】如图，设正四面体 ABCD 的棱长为2，取 BD 的中点 F ，连接 EF 、 CF ， 因为 E 、 F 分别为 AB 、 BD 的中

11、点，则 EF/AD 且 EF=12AD=1 ，所以 CEF 或其补角为直线 CE 与直线 AD 所成的角，因为 ABC 为等边三角形， E 为 AB 的中点，则 CEAB ，且 CE=ACsin60=3 ，同理可得 CF=3 ，所以 cosCEF=EF2+EC2-CF22EFEC=36 故答案为：A 【分析】设正四面体 ABCD 的棱长为2，取 BD 的中点 F ，连接 EF 、 CF ， 则CEF 或其补角为为直线 CE 与直线 AD 所成角 ，结合余弦定理可得答案.6【答案】D【知识点】二项式定理【解析】【解答】令 x=y=1 得， (m+1)25=-32 ，解得 m=-2 ，所以 (-2

12、x+y)(x+y)5 的展开式中含 x3y3 的项的系数为 -2C53+C52=-10 故答案为：D. 【分析】令 x=y=1 得m=-2，所以 (-2x+y)(x+y)5 的展开式中含 x3y3 的项的系数为 -2C53+C52=-10 7【答案】C【知识点】数列递推式【解析】【解答】根据程序框图， S=1 ， i=16 ； 执行第1次循环： i=1+2=3 ， S=1+23=9 ；36，执行第2次循环： i=3+2=5 ， S=9+25=41 ；56，结束循环，输出S=169故答案为：C【分析】依据循环结构依次求解，即可得 输出S的值 .8【答案】C【知识点】奇函数；函数奇偶性的性质【解析

13、】【解答】根据奇函数的图象特征，作出 f(x) 在 (-，0) 上的图象如图所示， 由 x2f(x)2f(x) ，得 (x2-2)f(x)0 ，等价于 x2-20，f(x)0， 或 x2-20，f(x)0，解得 x-2 ，或 2x2 ，或 -2x0，解不等式即可.9【答案】A【知识点】向量的三角形法则【解析】【解答】连结DE，由题意可知， BDBA=BEBC=14 ，所以 DEAC ，则 DEAC=BDBA=14 ，所以 DFFC=DEAC=14 ，所以 BD=-14AB ， DC=AC-AD=AC-34AB ，则 DF=15DC=15AC-320AB ，故 BF=BD+DF=-14AB+15

14、AC-320AB=-25AB+15AC ，又 BF=xAB+yAC ，所以 x=-25 ， y=15 ，则 3x+y=-1 ，故答案为：A【分析】由题意推出DEAC，可得DFFC=DEAC=14，推出DF=15DC，根据向量的加减运算，用基底AB，AC表示出BF和BF=xAB+yAC比较，可得x，y，即得答案.10【答案】D【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由题意可知， 1a2-1b2=1 ，所以 b2-a2=a2b2 ，又 b2=c2-a2 ，所以 c2-2a2=a2(c2-a2) ，所以 a2=c2-2a2c2-a2=e2-2e2-1(22)2 ，解得 e3故答案为：D 【分析】由

15、题意可知，1a2-1b2=1，又 b2=c2-a2可得a2=c2-2a2c2-a2=e2-2e2-1(22)2，从而可得 C 的离心率的取值范围 .11【答案】B【知识点】余弦函数的图象【解析】【解答】由 f(3)=0 ，得 3+6=k+2 ， kZ ，解得 =3k+1 ， kZ ， 由 f(x) 在 (3，49) 内有最小值，无最大值，可得 14249-3342 ，解得 92272 ，所以 的最大值为13.故答案为：B 【分析】由 f(3)=0 ，得 3+6=k+2，解得 =3k+1，结合 f(x) 在 (3，49) 内有最小值，没有最大值 可得 的取值范围，进而得到答案.12【答案】A【知

16、识点】数列递推式【解析】【解答】由 an+2+4an=5an+1 ，得 an+2-an+1=4(an+1-an) ，又 a2-a1=3 ，所以数列 an+1-an 是以3为首项，4为公比的等比数列，则 an+1-an=34n-1；由 an+2+4an=5an+1 得， an+2-4an+1=an+1-4an ，又 a2-4a1=-3 ，所以数列 an+1-4an 是常数列，则 an+1-4an=a2-4a1=-3，由联立可得 an+1=4n+1 ；因为 4n4n+124n ，所以 log24nlog2（4n+1)log2(24n)即： 2nlog2(4n+1)0， a3=1 即可）【知识点】等

17、差数列的通项公式【解析】【解答】设等差数列 an 的公差为d， 由 a2-a3+a4=1 ，得 a1+2d=1 ，由可知 d0 ，取 d=1 ，则 a1=-1 ，所以数列 an 的一个通项公式 an=-1+(n-1)=n-2 【分析】设等差数列an的公差为d，由 a2-a3+a4=1 ，得 a1+2d=1 ，结合递增数列的概念，令d=1求出a1，利用等差数列的通项公式即可写出an.15【答案】323【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体【解析】【解答】设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，由题意得 2r=l ，所以 l=2r ， 则圆锥的高为 h=l2-r2=3r ，由 V=13r2h=

18、13r23r=263 ，解得 r=2 ，则 l=22 ， h=6 ，设圆锥的外接球的半径为 R ，由球的性质可知， R2=(h-R)2+r2 ，即 R2=(6-R)2+2 ，解得 R=46 ，所以该圆锥的外接球的表面积为 S=4R2=323 故答案为： 323【分析】先求得圆锥外接球的半径，再去求该圆锥的外接球的表面积.16【答案】2+1【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；平面向量的坐标运算；双曲线的简单性质【解析】【解答】由题意可知， A(-p2，0) ， F(p2，0) 设切点 B 的坐标为 (x0，y0) （ x00 ， y00 ）， 因为切点 B 在第一象限内，所以取第一象限内抛

19、物线 y=2px ，求导计算切线方程，则 y=p2x ，所以切线的斜率为： p2x0 ，所以 AB 的方程为 y-2px0=p2x0(x-x0) ，将 A(-p2，0) 代入得， -2px0=p2x0(-p2-x0) ，解得 x0=p2 ，则 y0=p ，即 B(p2，p) 由 DF/AB ，当 D 在第四象限内时，设 AB=mDF （ m0 ），D(x1，-y1) （ y10 ），又 AB=(p，p) ， DF=(p2-x1，y1) ，则 p=m(p2-x1)p=my1 ，解得 x1=(m-2)p2my1=pm ，将点 D 代入 C ： y2=2px 得 m2-2m-1=0 ，解得 m=2+

20、1 （负值舍去），所以 |AB|DF|=2+1 故答案为： 2+1 . 【分析】 设切点 B 的坐标为 (x0，y0)，根据题意得 y=p2x，得到切线方程y-2px0=p2x0(x-x0)，将 A(-p2，0) 代入得B(p2，p)，设 AB=mDF （ m0 ），D(x1，-y1)，利用向量求出D的坐标，代入抛物线求出m即可.17【答案】（1）解：cos(2-C)=2sin(A+C) ，则 sinC=2sinB c=2b 又ABC 的面积为 23 ，则 S=12bcsinA 即 122bb32=23 ，解得 b=2 ，c=2b=4 ，故 b=2 ， c=4 （2）解：在 ABC 中，由余弦

21、定理得 a2=b2+c2-2bccosBAC ， 即 a2=4+16-224(-12)=28 ，解得 a=27 由正弦定理 asinBAC=bsinB ，则 sinB=bsinBACa=2114 在 ABD 中，由正弦定理 ADsinB=ABsinADB ，则 sinADB=ABsinBAD=27 【知识点】诱导公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用【解析】【分析】（1）化简cos(2-C)=2sin(A+C)可得sinC=2sinB，由正弦定理可得c=2b，代入 ABC面积公式即可求解； （2） 在 ABC 中，由余弦定理即可求得a=27 ，再根据正弦定理求sinB=bsinBACa

22、=2114，在ABD 中，由正弦定理即可求解18【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，男生立定跳远的达标率为 0.2(1.0+0.75+0.50+0.25)=05因为 50%60% ，所以该校男生还需加强立定跳远训练（2）解：因为 近似服从正态分布 N(2.25，2) ，且 P(2.45)=0.8 ， 所以 P(2.05)=0.8 ，由题意可知， XB(3，45)P(X=0)=C30(45)0(1-45)3=1125 ， P(X=1)=C31(45)1(1-45)2=12125 P(X=2)=C32(45)2(1-45)1=48125 ， P(X=3)=C33(45)3(1-45)0=641

23、25 ，所以X的分布列为X0123P1125121254812564125则 E(X)=345=125 【知识点】频率分布直方图；二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可求得立定跳远2.05米及以上的频率为0.5，进行分析判断；（2） 因为 近似服从正态分布 N(2.25，2) ，根据正态分布的对称性可得P(2.05)=0.8，再利用二项分布的概率P(X=K)=Cnk(P)K(1-P)n-K，E(X)=np进行计算.19【答案】（1）证明：取BC的中点D，连结AD， C1D 因为 ABC 为等边三角形，所以 ADBC 因为侧面 BCC1B1 为菱形， CBB1

24、=120 ，所以 BCC1 为等边三角形，所以 C1DBC ，因为 ADC1D=D ， AD，C1D 平面 AC1D ，所以BC平面 AC1D ，又 AC1平面AC1D ，所以 BCAC1 ，又 BCB1C1 ，所以 B1C1AC1 ，所以 AB1C1 为直角三角形（2）解：由（1）及 AC1=6 ， AB1=10 可知， B1C1=2 ，则 在 BCC1 中， C1D=3 ，同理 AD=3 ，又 AC1=6 ，所以 AC12=C1D2+AD2 ，所以 ADC1D 以D为原点，直线DA，DB， DC1 分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz ，则 A(3，0，0) ，

25、B(0，1，0) ， C1(0，0，3) ， B1(0，2，3) ，所以 C1B=(0，1，-3) ， C1=(-3，0，3) ， C1B1=(0，2，0) ，设平面 AB1C1 的一个法向量为 m=(x，y，z) ，由 mAC1=0，mC1B1=0， 即 -3x+3z=0，2y=0， 取 x=1 ，得 m=(1，0，1) ，设直线 BC1 与平面 AB1C1 所成的角为 ，则 sin=|cosC1B，m|=|C1Bm|C1B|m|=322=64 ，故直线 BC1 与平面 AB1C1 所成角的正弦值为 64 【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】

26、（1） 取BC的中点D，连结AD， C1D，证明 ADBC ， C1DBC ， 推出BC平面 AC1D ， BCAC1 ，由 BCB1C1 ，得 B1C1AC1 ，即可证明 AB1C1 为直角三角形； （2） 由（1） 可证ADC1D， 以D为原点，直线DA，DB， DC1 分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz ， 利用空间向量求解即可.20【答案】（1）解：由题意可知，直线 OC，OD 的斜率存在，且 AM/OD ， BM/OC 由直线OC，OD的斜率之积是 -34 可知，直线BM，AM的斜率之积是 -34 ，设 M(x，y) ，则直线AM的斜率为 yx+4 ，直线

27、BM的斜率为 yx-4 ， 可得 yx+4yx-4=-34 ，整理得 x216+y212=1(y0) ，故E的方程为 x216+y212=1(y0) （2）解：由题意，过点F的直线的斜率存在且不为0，设其方程为 x=my+2(m0) ， 联立方程组 x=my+2x216+y212=1 ，整理得 (3m2+4)y2+12my-36=0 ，设 P(x1，y1) ， Q(x2，y2) ，则 P1(x1，-y1) ， y1+y2=-12m3m2+4 ， y1y2=-363m2+4 直线 P1Q 的方程为 y+y1y2+y1=x-x1x2-x1 ，令 y=0 ，则 x=y1(x2-x1)y2+y1+x1

28、=my1(y2-y1)y2+y1+my1+2=my1y2-my12+my1y2+my12y2+y1+2=2my1y2y2+y1+2=2m(-363m2+4)-12m3m2+4+2=8 ，所以直线 P1Q 与x轴的交点G的坐标恒为 (8，0) ，所以 |AG|=4+8=12 ， |BG|=8-4=4 ，故 |AG|BG|=3 【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据题意，设 M(x，y) ，则直线AM的斜率为 yx+4 ，直线BM的斜率为 yx-4 ，可得 yx+4yx-4=-34 ，即可求得 E的方程；（2）设直线 方程为 x=my+2(m0) ，联立方程组

29、 ， 设 P(x1，y1) ， Q(x2，y2) ，得到y1+y2=-12m3m2+4 ， y1y2=-363m2+4 ，直线 P1Q 的方程 ， 令 y=0 求得x=8， 所以直线 P1Q 与x轴的交点G的坐标恒为 (8，0) ， 进而求得|AG|，|BG|的长，即可求解.21【答案】（1）解：由题意，函数 f(x)=ax2-2ex ，可得 f(x)=2ax-2ex ， 设 h(x)=f(x)=2ax-2ex ，则 h(x)=2a-2ex ，当 a0 时， h(x)0 时，令 h(x)=0 ，解得 x=lna ，当 x(-，lna) 时， h(x)0 ，当 x(lna，+) 时， h(x)0

30、 ，当 x(0，2) 时， (x)0 ，即 e-2-1a1 时， (0)=2a-20 ，又 (x) 在 (-2，2) 上为减函数，所以存在唯一的 x0(-2，0) ，使得 (x0)=0 ，则 x(x0，2) 时， (x)0 ，当 x(0，2) 时， (x)0 ，所以 g(x) 在 (x0，0) 上单调递增，在 (0，2) 上单调递减，所以函数 g(x) 在 x=0 处取得极大值综上可知，当 a0判断函数g(x)单调性以及极值即可.22【答案】（1）解：由直线 l 的参数方程为 x=t2+6，y=-t3-2 消去参数 t ，得 直线 l 的普通方程 2x+3y-6=0 ；由 2=41+3sin2

31、 得 2+32sin2=4 ，则 x2+4y2=4 ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x24+y2=1 （2）解：由（1）可知 A(3，0) ， B(0，2) ，设 P(2cos，sin) ， 则点 P 到直线 2x+3y-6=0 的距离为d=|4cos+3sin-6|13=6-5sin(+)13 ，其中 tan=43 ，当 sin(+)=1 时， dmin=113 ，又 |AB|=32+22=13 ，所以 ABP 的面积的最小值为 (SABP)min=12|AB|dmin=12 【知识点】点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【解析】【分析】（1）消去参数t即可得直线

32、 l 的普通方程；去分母代入公式 x=cos，y=sin， 即可得曲线 C 的直角坐标方程；（2）由（1）可知 A(3，0) ， B(0，2) ，设 P(2cos，sin) ， 由点到直线的距离公式得d=|4cos+3sin-6|13=6-5sin(+)13，求其最小值，即可得面积的最小值.23【答案】（1）解：不等式 f(x)-m ，即 f(x)+m0 而 f(x)+m=|x-2|-|x+1|+m=-3+m，x2，-2x+1+m，-1x2，3+m，x-1.又由 -2x+1+m0 ，得 xm+12 因为不等式 f(x)+m0 的解集为 (-，1 所以 -3+m0，1+m2=1，3+m0.解得

33、m=1 （2）证明：证法1：由（1）可知， 1a+1b=1 ， 要证 a+b22ab ，需证 a+bab22 ，即证 1ab(1b+1a)22 ，因为 1=1a+1b2ab ，所以 1ab12 ，当且仅当 1a=1b=12 ，即 a=b=2 时取得等号；又 (1b+1a)2=1b+1a+2ab2 ，所以 1b+1a2 ，当且仅当 1a=1b=12 ，即 a=b=2 时取得等号；所以 1ab(1b+1a)22 ，故 a+b22ab 证法2：由（1）可知， 1a+1b=1 ，即 a+b=ab 因为 1=1a+1b2ab ，所以 ab2 ，当且仅当 1a=1b=12 ，即 a=b=2 时取得等号因此 22ab=22abab222ab=2ab=(a+b)+(a+b)a+b+2ab=(a+b)2=a+b 故 a+b22ab 【知识点】基本不等式；绝对值不等式的解法【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围，解出各个范围内的x的范围，求出不等式的解集即可；（2） 证法1：由（1）可知， 1a+1b=1 ，要证 a+b22ab ， 即证 1ab(1b+1a)22 ， 结合基本不等式即可得证；证法2：由（1）可知， 因为 1=1a+1b2ab ，所以 ab2，结合基本不等式即可得证.