2019版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.9离散型随机变量的均值方差和正态分布学案（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10 9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布 知识梳理 1离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 ? xi ? xn P p1 p2 ? pi ? pn (1)均值：称 E(X) x1p1 x2p2 ? xipi ? xnpn为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 (2)D(X) ?i 1n(xi E(X)2pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度 ，其算 术平方根 D?X?为随机变量 X 的标准差 2均值与方差的性质 (1)E(aX b) a

2、E(X) b； (2)D(aX b) a2D(X)(a， b 为常数 ) 3两点分布与二项分布的均值、方差 X X 服从两点分布 X B(n， p) E(X) p np D(X) p(1 p) np(1 p) 4正态曲线 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)正态曲线的定义 函数 ， (x) 12 e ?x ?22 2 ， x ( ， ) ，其 中实数 和 ( 0)为参数，称 ， (x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线 ( 是正态分布的期望， 是正态分布的标准差 ) (2)正态曲线的特点 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； 曲线是单峰的，关于直线 x 对称； 曲线在 x 处达到峰

3、值 1 2 ； 曲线与 x 轴之间的面积为 1； 当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移； 当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小 ，曲线越 “ 高瘦 ” ，表示总体的分布越集中； 越大 ，曲线越 “ 矮胖 ” ，表示总体的分布越分散 5正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 a， b(ab)，随机变量 X 满足 P(aX b) ?ab ， (x)dx(即 x a， x b，正态曲线及 x轴围成的曲边梯形的面积 )，则称随机变量 X服从正态分布，记作 X N( ， 2) (2)正态分布的三个常用数据 P( X ) 0.6826； P( 2 X 2 )

4、0.9544； P( 3 X 3 ) 0.9974. 诊断自测 1概念思辨 (1)随机变量不可以是负数，随机变量所 对应的概率可以是负数，随机变量的均值不可以是负数 ( ) (2)正态分布中的参数 和 完全确定了正态分布，参数 是正态分布的期望， 是正态分布的标准差 ( ) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小 . ( ) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A2 3P68T1)已知

5、 X 的分布列 为 =【 ;精品教育资源文库 】 = X 1 0 1 P 错误 ! 错误 ! 错误 ! 设 Y 2X 3，则 E(Y)的值为 ( ) A.73 B 4 C 1 D 1 答案 A 解析 E(X) 12 16 13， E(Y) E(2X 3) 2E(X) 3 23 3 73.故选 A. (2)(选修 A2 3P75A 组 T1)正态分布密度函数为 ， (x) 18 e x28 ， x ( ， ) ，则总体的平均数和标准差分别为 ( ) A 0 和 8 B 0 和 4 C 0 和 2 D 0 和 2 答案 C 解析 根据已知条件可知 0， 2，故选 C. 3小题热身 (1)(2015

6、 山东高考 )已知某批零件的长度误差 (单位：毫米 )服从正态分布 N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间 (3,6)内的概率为 ( ) (附：若随机变量 服从正态分布 N( ， 2)，则 P( ) 68.26%， P( 2 2 ) 95.44%.) A 4.56% B 13.59% C 27.18% D 31.74% 答案 B 解析 P( 3 3) 68.26%， P( 6 6) 95.44%，则 P(3 6) 12(95.44% 68.26%) 13.59%.故选 B. (2)(2018 张掖检测 )如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体经过搅

7、拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X 的均值 E(X) ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.126125 B.65 C.168125 D.75 答案 B 解析 设涂 0 个面的小正方体有 x 个，涂 1 个面的小正方体有 y 个，涂 2 个面的小正方体有 z 个，涂 3 个面的小正方体有 w 个，则有 0 x 1 y 2 z 3 w 256 150， 所以 E(X) 0 x125 1 y125 2 z125 3 w125 150125 65.故选 B. 题型 1 与二项分布有关的期望与方差 典例 (2017 山西太原模拟 )某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金

8、额的商品后即可抽奖抽奖规则如下： 1抽奖方案有以下两种，方案 a：从装有 2 个红球、 3 个白球 (仅颜色不同 )的甲袋中随机摸出 2 个球，若都是红球，则获得奖金 30 元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案 b：从装有 3 个红球、 2 个白球 (仅颜色不同 )的乙袋中随机摸出 2 个球，若都是红球，则获得奖金 15 元 ；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中 2抽奖条件：顾客购买商品的金额满 100 元，可根据方案 a 抽奖一次；满 150 元，可根据方案 b 抽奖一次 (例如某顾客购买商品的金额为 260 元，则该顾客可以根据方案 a 抽奖两次或方案 b 抽奖一次

9、或方案 a、 b 各抽奖一次 )已知顾客 A 在该商场购买商品的金额为350 元 (1)若顾客 A 只选择方案 a 进行抽奖，求其所获奖金的期望； (2)要使所获奖金的期望值最大，顾客 A 应如何抽奖？ 解 (1)按方案 a 抽奖一次，获得奖金的概率 P C22C25110. 顾客 A 只选择方案 a 进行抽奖，则其可以按方案 a 抽奖三次 此时中奖次数服从二项分布 B? ?3， 110 . 设所得奖金为 w1元，则 E(w1) 3 11030 9. 即顾客 A 所奖资金的期望为 9 元 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)按方案 b 抽奖一次，获得奖金的概率 P1 C23C25310.

10、若顾客 A 按方案 a 抽奖两次，按方案 b 抽奖一次，则 由方案 a 中奖的次数服从二项分布B1? ?2， 110 ，由方案 b 中奖的次数服从二项分布 B2? ?1， 310 ， 设所得奖金为 w2元，则 E(w2) 2 11030 1 31015 10.5. 若顾客 A 按方案 b 抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布 B3? ?2， 310 . 设所得奖金为 w3元，则 E(w3) 2 31015 9. 结合 (1)可知， E(w1) E(w3)E(w2) 所以顾客 A 应该按方案 a 抽奖两次，按方案 b 抽奖一次 方法技巧 与二项分布有关的期望、方差的求法 1求随机变量 的期望与方差

11、时，可首先分析 是否服从二项分布，如果 B(n，p)，则用公式 E( ) np， D( ) np(1 p)求解，可大大减少计算量 2有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E(a b) aE( ) b 以及 E( ) np 求出 E(a b)，同样还可求出 D(a b) 冲关针对训练 (2014 辽宁高考 )一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 (1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销

12、售量=【 ;精品教育资源文库 】 = 低于 50 个的概率； (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 E(X)及方差 D(X) 解 (1)设 A1表示事件 “ 日销售量 不低于 100 个 ” ， A2表示事件 “ 日销售量低于 50 个 ” ， B表示事件 “ 在未来连续 3天里有连续 2天日销售量不低于 100个且另一天销售量低于50 个 ” 因此 P(A1) (0.006 0.004 0.002)50 0.6， P(A2) 0.00350 0.15， P(B) 0.60.60.152 0.108. (2)X 可能取的值为 0,1

13、,2,3，相应的概率为 P(X 0) C03(1 0.6)3 0.064， P(X 1) C130.6(1 0.6)2 0.288， P(X 2) C230.6 2(1 0.6) 0.432， P(X 3) C330.6 3 0.216. 分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为 X B(3,0.6)， 所以期望 E(X) 30.6 1.8， 方差 D(X) 30.6(1 0.6)0.72. 题型 2 离散型随机变量的均值与方差 角度 1 求离散型随机变量的均值与方差 典 例 (2016 山东高考 )甲、乙两人组成 “ 星队 ” 参加猜成语活动，每

14、轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则 “ 星队 ” 得 3 分；如果只有一人猜对，则 “ 星队 ” 得 1 分；如果两人都没猜对，则 “ 星队 ” 得 0 分已知甲每轮猜对的概率是 34，乙每轮猜对的概率是 23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“ 星队 ” 参加两轮活动，求： (1)“ 星队 ” 至少猜对 3 个成语的概率； (2)“ 星队 ” 两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 E(X) 解 (1)记事 件 A： “ 甲第一轮猜对 ” ，记事件 B： “ 乙第一轮猜对 ” ，记事件 C： “ 甲第二轮猜对 ” ，记事件 D： “ 乙第二轮猜对 ” ，记事件 E： “ 星队 至少猜对 3 个成语 ” 由题意， E ABCD A BCD A B CD AB C D ABC D ，由事件的独立性与互斥性，得 P(E)=【 ;精品教育资源文库 】 = P(ABCD) P( A BCD) P(A B CD) P(AB C D) P(ABC D ) P(A)P(B)P(C)P(D)P( A )P(B)P(C)P(D) P(A)P( B )P(C)P(D) P(A)P(B)P( C )P(D) P(A)P(B)P(C)P( D ) 34 23 34 23 2 ( 14 2