2019版高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式学案（文科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6 3 基本不等式 知识梳理 1基本不等式 注：设 a0， b0，则 a、 b 的算术平均数为 a b2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2利用基本不等式求最值问题 已知 x 0， y 0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， x y 有 最小 值是 2 p(简记： 积定和最小 ) (2)如果和 x y 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， xy 有 最大 值是 p24(简记： 和定积最 大 ) 注：应用基本不等式求最值时，必须考察 “ 一正、二定、三相等 ” ，忽略某个条件，就

2、会出现错误 3几个重要的不等式 (1)a2 b22 ab(a， b R) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)ba ab2( a， b 同号 ) (3)ab ? ?a b2 2(a， b R) (4)? ?a b2 2 a2 b22 (a， b R) 2(a2 b2)( a b)2(a， b R) (5)a2 b22 ?a b?24 ab(a， b R) (6) a2 b22 a b2 ab21a1b(a0， b0) 诊断自测 1概念思辨 (1)两个不等式 a2 b22 ab 与 a b2 ab成立的条件是相同的 ( ) (2)函数 y x 1x的最小值是 2.( ) (3)函数 f(x)

3、 sinx 4sinx的最小值为 2.( ) (4)x 0 且 y 0 是 xy yx2 的充要条件 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A5P99例 1(2)设 x0， y0，且 x y 18，则 xy 的最大值为 ( ) A 80 B 77 C 81 D 82 答案 C 解析 由基本不等式 18 x y2 xy?9 xy?xy81 ，当且仅当 x y 时， xy 有最大值 81，故选 C. (2)(必修 A5P100A 组 T2)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为 _m，宽为 _m 时菜园面积最大 答案

4、 15 152 解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m则 x 2y 30，所以 S xy 12x(2 y) 12? ?x 2y22 2252 ，当且仅 当 x 2y，即 x 15， y152 时取等号 3小题热身 (1)下列不等式一定成立的是 ( ) A lg ? ?x2 14 lg x(x0) =【 ;精品教育资源文库 】 = B sinx 1sinx2( x k ， k Z) C x2 12| x|(x R) D. 1x2 11(x R) 答案 C 解析 取 x 12，则 lg ? ?x2 14 lg x，故排除 A；取 x 32 ，则 sinx 1，故排除 B；取 x 0，则 1x2

5、1 1，故排除 D.应选 C. (2)已知 x 0， y 0,2x y 1，则 xy 的最大值为 _ 答案 18 解析 2xy ? ?2x y2 2 14， xy 18? ?当且仅当 2x y，即 x 14， y 12时取 “ ” 号 . xy 的最大值为 18. 题型 1 利用基本不等式求最值 角度 1 直接应用 典例 (2018 沈阳模拟 )已知 a b 0，求 a2 1b?a b?的最小值 本例两次采用均值不等式注意两次中等号成立的条件需一致 解 a b 0， a b 0. a2 1b?a b? a2 1?b a b22 a2 4a22 a2 4a2 4， 当且仅当 b a b， a2

6、2， a b 0，即 a 2， b 22 时取等号 a2 1b?a b?的最小值是 4. 角度 2 变号应用 (一正问题 ) 典例 求 f(x) lg x1lg x的值域 =【 ;精品教育资源文库 】 = 分情况讨论 解 f(x)的定义域为 (0,1) (1， ) 当 0 x 1 时， lg x 0， f(x) lg x 1 lg x2 ? ?当且仅当 x 110时等号成立 ， 即 f(x) 2. 当 x 1 时， lg x 0， f(x) lg x 1lg x2( 当且仅当 x 10 时等号成立 ) f(x)的值域为 ( ， 2 2， ) 角度 3 寻求定值应用 (二定问题 ) 典 例 求

7、f(x) 4x 214x 5?x0 解得 10，所以 f(x)在 ( 1,0)上单调递增，在 (0， ) 上单调递减 =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 0 a b 时， 0 ab a b2 a2 b22 ， Q f( ab) P f?a b2 Rf? ?a2 b22 .故选 D. 角度 2 利用基本不等式证明不等式 典例 设 a， b， c 均为正数，且 a b c 1，证明： (1)ab bc ca 13； (2)a2bb2cc2a1. 采用综合法证明 证明 (1)由 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ca，得 a2 b2 c2 ab bc ca. 由题设得 (a

8、 b c)2 1， 即 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1. 所以 3(ab bc ca)1 ，即 ab bc ca 13. (2)因为 a2b b2 a，b2c c2 b，c2a a2 c， 故 a2bb2cc2a (a b c)2( a b c)， 即 a2bb2cc2a a b c，所以a2bb2cc2a1. 角度 3 基本不等式中的恒成立问题 典例 (2018 太原模拟 )正数 a， b 满足1a9b 1，若不等式 a b x2 4x 18 m对任意实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ( ) A 3， ) B ( ， 3 C ( ， 6 D 6， ) 用常量代换法 求

9、 a b 的最小值，然后解不等式 答案 D 解析 a b (a b)? ?1a 9b 10 ba 9ab 16 ? ?当且仅当? a 4，b 12 时取 “ ” ，故只需 x2 4x 18 m16 ，得 x2 4x m 20 恒成立，即 16 4(m 2)0 ，解得 m6.故选 D. 角度 4 基本不等式与其他知识的综合问题 典例 已知直线 l： x my 2(m R)与 x 轴的交点是椭圆 C：x2a2 y2 1(a0)的一个焦=【 ;精品教育资源文库 】 = 点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，椭圆 C 的左焦点为 F1，是否存在 m 使得

10、ABF1的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说明理由 求出 S ABF1 的表达式，然后用基本不等式求面积的最大值 解 (1)易知直线 l： x my 2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)， 椭圆 C： x2a2 y2 1(a0)的一个焦点坐标为 (2,0)， c 2， a2 c2 1 4 1 5. 故椭圆 C 的方程为 x25 y2 1. (2)存在 将 x my 2 代入 x25 y2 1 并整理得 (m2 5)y2 4my 1 0， (4m)2 4(m2 5)( 1) 20m2 200， 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 4mm2 5， y1y2 1m

11、2 5， |AB| 1 m2 ? ? 4mm2 5 2 4m2 5 1 m2 20m2 20?m2 5?2 ， 椭圆 C 的左焦点为 F1( 2,0)， F1到直线 l 的距离 d | 2 2|1 m2 41 m2， S ABF1 12 1 m2 20m2 20?m2 5?2 41 m2 4 5 m2 1?m2 5?2 4 5 m2 1?m2 1?2 8?m2 1? 16 4 51m2 1 16m2 1 84 5 12 ?m2 1? 16m2 1 8 5. 当且仅当 m2 1 16m2 1，即 m 3时， S ABF1 取得最大值 存在 m 3使得 ABF1的面积最大 方法技巧 基本不等式的综

12、合运用常见题型及求解策略 1应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，=【 ;精品教育资源文库 】 = 如角度 1，结合函数的单调性进行大小的比较 2证明不等式的成立性如角度 2 典例 3利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主如角度 3 典例 4与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等 如角度 4 中利用基本不等式求三角形面积的最大值时参数的取值 冲关针对训练 (2017 广西模拟 )已知 a0， b0， a b 1，求证： (1)1a 1b 1ab8 ； (2)? ?1 1a

13、 ? ?1 1b9. 证明 (1)1a 1b 1ab 1a 1b a bab 2? ?1a 1b . a b 1， a0， b0， 1a 1b a ba a bb 2 ab ba2 2 4， 1a 1b 1ab8 ? ?当且仅当 a b 12时等号成立 . (2) a0， b0， a b 1， 1 1a 1 a ba 2 ba， 同理， 1 1b 2 ab， ? ?1 1a ? ?1 1b ? ?2 ba ? ?2 ab 5 2? ?ba ab 5 4 9. ? ?1 1a ? ?1 1b 9 ? ?当且仅当 a b 12时等号成立 . 题型 3 基本不等式在实际问题中的应用 典例 某厂家拟在

14、 2017 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量 (即该厂的年产量 )x 万件与年促销费用 m 万元 (m0) 满足 x 3 km 1(k 为常数 )，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是 1 万件已知生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金 ) (1)将 2017 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； (2)该厂家 2017 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 列出函数关系式，分析函数关系式的构成特=【 ;精品教育资源文库 】 = 点，联系基本不等式求最值 解 (1)由题意知，当 m 0 时， x 1(万件 )， 1 3 k， k 2， x 3 2m 1. 由题意可知每件产品的销售价格为 1.5 8 16xx (元 )， 2017 年的利润 y 1.5x 8 16xx 8 16x m ? ?16m 1 ?m 1? 29(m0) (2) 当 m0 时， 16m 1 (m 1)2 16 8， y 8 29 21， 当且仅当 16m 1 m 1，即 m 3(万元 )时， ymax 21(万元 ) 故该厂家 2017 年的促销费用投入 3 万元时，厂