2014年重庆理工大学考研专业课试题高等代数.doc

1、重庆理工大学硕士研究生试题专用纸重庆理工大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试试题 学院名称：数学与统计学院 学科、专业名称：数学、统计学考试科目（代码）：高等代数（814）A卷 （试题共 4 页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一 、填空题（每空3分，共18分）1. 若多项式有重根，则 。2. 设行列式 ，则 ，其中、分别表示元素的余子式和代数余子式。3. 线性方程组的 基础解系由 个解向量组成。4. 设线性变换关于3维空间的基的矩阵为，向量，则关于的坐标为 。5. 设为4阶方阵且，则 。6. 若矩阵的全部特征值为、1、2，则全部

2、特征值为 。二 、单项选择题（每题3分，共18分）1. 设是实数域上的3次多项式，则（ ）一定有三个实根； 至少有一个有理根；一定有一组非实共轭复根；至少有一个实根.第 1 页2. 设为3阶方阵且（其中表示的秩），则（ ）； ； .3. 下列集合中，是的子空间的是（ ）； ； .4. 设，是欧式空间的相互正交的向量，则下列等式正确的是（ ）； ； .5. 当满足（ ）时，二次型 是正定的。； ； .6. 设阶方阵与有相同的特征值，则（ ）与合同； ；与相似； .三、（10分）设，（1） 判别在上是否可约，若不可约请证明之。（2） 若是的四个根，试求的值（其中 ）。四、（10分）计算阶行列式 第

3、 2 页五、（12分）设阶方阵满足方程，其中为阶 单位矩阵。（1） 求的所有可能的特征值；（6分）（2） 证明可逆并求其逆矩阵。（6分）六、（10分）设为维欧氏空间，为的子空间，证明：（1）;（5分）（2）。（5分）七、（12分）讨论当为何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷解？并在方程组有无穷解时，求出其结构式通解。八、（20分）令表示数域上的四维列空间，取 第 3 页 设为的线性变换，使得。（1）证明是的一个基，并求关于这个基的矩阵；（12分）（2）求的核与像的维数。（8分）九、（20分）给定二次型已知二次型的三个特征根之积为28，且。（1） 求；（6分）（2） 用正交变换将该二次型化为标准型，并写出所做的变换；（10分）（3） 判断 为何种二次曲面。（4分）十、（20分）设为3阶实对称矩阵，3阶正交矩阵使 且已知的第三列为 。（1） 求矩阵；（12分）（2） 求矩阵；（4分）（3） 证明：为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵。（4分） 第 4 页