2019版高考数学一轮复习第5章数列5.1数列的概念与表示学案（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.1 数列的概念与表示 知识梳理 3数列 an的 an与 Sn的关系 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)数列的前 n 项和： Sn a1 a2 ? an. 特别提醒：若当 n2 时求出的 an也适合 n 1 时的情形，则用一个式子表示 an，否则分段表示 诊断自测 1概念思辨 (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列 ( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 ( ) (3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点 ( ) (4)如果数列 an的前 n 项和为 Sn，则对 ? n N*，都有 an 1 Sn 1 Sn

2、.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A5P31T2)已知数列 an的通项公式为 an 9 12n，则在下列各数中，不是 an的项的是 ( ) A 21 B 33 C 152 D 153 答案 C 解析 代 n 值进行验证， n 1 时， A 满足； n 2 时， B 满足； n 12 时， D 满足故选C. (2)(必修 A5P33T4)在数列 an中， a1 2， an 1 an 1n?n 1?，则数列 a5 _. 答案 145 解析 a1 2， a2 2 12 52， a3 52 16 83， a4 83 112 3312， a5 3312 120 1

3、45. 3小题热身 (1)(2017 石家庄模拟 )数列 an： 1， 58， 715， 924， ? 的一个通项公式是 ( ) A an ( 1)n 12n 1n2 n(n N*) B an ( 1)n 12n 1n3 3n(n N*) C an ( 1)n 12n 1n2 2n(n N*) D an ( 1)n 12n 1n2 2n(n N*) 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由分子 3,5,7,9 归纳为 2n 1，由分母 3,8,15,24 归纳为 n(n 2)，奇数项为正，偶数项为负故选 D. (2)已知数列 an满足： a1 a2 1， an 1 a1 a2 a3

4、 ? an 24 (n3 ， n N*)，则 a6_. 答案 316 解析 由题意可得 a3 1 a14 34， a4 1 a1 a24 1 12 12， a6 1 a1 a2 a3 a44 1 1316 316. 题型 1 知数列前几项求通项公式 典例 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1) 1,7， 13,19， ? ； (2)0.8,0.88,0.888， ? ； (3)1,0， 13， 0， 15， 0， 17， 0， ? ； (4)32， 1， 710， 917， ?. 注意项的正负号，分子、分母分开进行不完全归纳 解 (1)符号问题可通过 ( 1)n 或 ( 1)

5、n 1 表示，其各项的绝对值的排列规律为： 后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an ( 1)n(6n 5) (2)将数列变形为 89(1 0.1)， 89(1 0.01)， 89(1 0.001)， ? ， an 89? ?1 110n . (3)把数列改写成 11， 02， 13， 04， 15， 06， 17， 08， ? ，分母依次为 1,2,3， ? ，而分子 1,0,1,0， ?周期性出现，因此数列的通项可表示为 an 1 ? 1?n 12n 或 an?sinn2n . (4)将数列统一为 32， 55， 710， 917， ? 对于分子 3,5,7,9， ?

6、，是序号的 2 倍加 1，可得分子的通项公 式为 bn 2n 1，对于分母 2,5,10,17， ? 联想到数列 1,4,9,16， ? ，即数列 n2，可得分母的通项公式为 cn n2 1， 所以可得它的一个通项公式为 an 2n 1n2 1. 方法技巧 由数列的前几项求数列通项公式的策略 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1对数列的前几项进行归纳、联想，具体如下： 分式中分子、分母的特征； 相邻项的变化特征； 拆项后的特征； 各项符号特征等； 化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系如典例 (4) 2根据数列的前几项写出数列的一个通项 公式是利用不完全归

7、纳法，它蕴含着 “ 从特殊到一般 ” 的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用 ( 1)n或 ( 1)n 1来调整如典例 (1) 冲关针对训练 (2017 青岛模拟 )数列 1,3,6,10,15， ? 的一个通项公式是 ( ) A an n2 (n 1) B an n2 1 C an n?n 1?2 D an n?n 1?2 答案 C 解析 代入进行验证可得选项 C 成立故选 C. 题型 2 数列的周期性 典例 在数列 an中， a1 1， a2 5， an 2 an 1 an(n N*) (1)求 a2018; (2)求 S100. 本题采用累加法

8、解 (1)由 a1 1， a2 5， an 2 an 1 an(n N*)可得该数列为 1,5,4， 1， 5，4,1,5,4， ?. 由此可得 a2018 a3366 2 a2 5. (2)an an 1 an 2， an 1 an 2 an 3， ? ， a3 a2 a1这 n 1 个式子相加得： an an 1 ? a3 an 1 a1， Sn an 1 a2(n N*且 n2) ， S100 a99 a2 a166 3 a2 a3 a2 9. 方法技巧 数列的周期性是数列的性质之一，其解法往往是依题意列出数列的前若干项，从而发现规律找到周期 冲关针对训练 (2018 大兴一中模拟 )数

9、列 an满足 an 1 ? 2an， 0 an 12，2an 1， 12 an 1，a1 35，则数列的第 2018 项为 _ 答案 15 解析 a1 35， a2 2a1 1 15. =【 ;精品教育资源文库 】 = a3 2a2 25. a4 2a3 45. a5 2a4 1 35， a6 2a5 1 15， ?. 该数列周期为 T 4. a2018 a2 15. 题型 3 由 an与 Sn的关系求通项公式 典例 (2017 河南八校一联 )在数列 an中， Sn是其前 n 项和，且 Sn 2an 1，则数列的通项公式 an _. 转化法 Sn an. 答案 2n 1 解析 依题意得 Sn

10、 1 2an 1 1， Sn 2an 1， 两式相减得 Sn 1 Sn 2an 1 2an，即 an 1 2an. 又 S1 2a1 1 a1，因此 a1 1， 所以数列 an是以 a1 1 为首项， 2 为公比的等比数列， an 2n 1. 条件探究 将本典例条件变为 “ an 2SnSn 1 0(n2 ， n N*)， a1 12” ，则 an的通项公式为 _ 答案 an? 12?n 1?， 12n?n 1?n2 ， n N*?解析 当 n2 ， n N*时， an Sn Sn 1， Sn Sn 1 2SnSn 1 0，易知 SnSn 10 ，所以 1Sn 1Sn 1 2. 又 S1 a1

11、 12， 1S1 2， 数列 ? ?1Sn是以 2 为首项，公差为 2 的等差数列 1Sn 2 (n 1)2 2n. Sn 12n. 当 n2 ， n N*时， an 2SnSn 1 2 12n 12?n 1? 12n?n 1?. an? 12?n 1?， 12n?n 1?n2 ， n N*?.方法技巧 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1已知 Sn求 an的三个步骤 (1)先利用 a1 S1求出 a1. (2)用 n 1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 an Sn Sn 1(n2) 便可求出当 n2时 an的表达式 (3)对 n 1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 an的

12、表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n 1 与 n2 两段来写如条件探究 2 Sn与 an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化 (1)利用 an Sn Sn 1(n2) 转化为只含 Sn， Sn 1的关系式 (2)利用 Sn Sn 1 an(n2) 转化为只含 an， an 1的关系 式，再求解如典例 冲关针对训练 设数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 Sn的前 n 项和为 Tn，满足 Tn 2Sn n2， n N*. (1)求 a1的值； (2)求数列 an的通项公式 解 (1)令 n 1 时， T1 2S1 1. T1

13、S1 a1， a1 2a1 1. a1 1. (2)当 n2 时， Tn 1 2Sn 1 (n 1)2， 则 Sn Tn Tn 1 2Sn n2 2Sn 1 (n 1)2 2(Sn Sn 1) 2n 1 2an 2n 1. 当 n 1 时， a1 S1 1 也满足上式， Sn 2an 2n 1(n1) 当 n2 时， Sn 1 2an 1 2(n 1) 1， 两式相减，得 an 2an 2an 1 2， an 2an 1 2(n2) an 2 2(an 1 2)(n2) a1 2 30 ， 数列 an 2是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列 an 2 32 n 1， an 32 n 1 2

14、. 当 n 1 时也满足 a1 1， an 32 n 1 2. 题型 4 由递推关系求通项公式 角度 1 形如 an 1 an f(n)，求 an(多维探究 ) 典例 (2015 江苏高考 )设数列 an满足 a1 1，且 an 1 an n 1(n N*)，求 an. 累加法 (或凑配法 ) 解 由题意可得， an a1 (a2 a1) (a3 a2) ? (an an 1) 1 2 3 ? nn?n 1?2 . 条件探究 将本典例条件 “ an 1 an n 1” 变为 “ an 1 an 2n” ，其他条件不变，=【 ;精品教育资源文库 】 = 则 an的通项公式为 _ 答案 2n 1

15、解析 由题意知 an 1 an 2n， an (an an 1) (an 1 an 2) ? (a2 a1) a1 2n 1 2n 2 ? 2 1 1 2n1 2 2n1. 角度 2 形如 an 1 anf(n)，求 an 典例 已知数列 an满足 a123， an 1nn 2an，则通项公式 an _. 累乘法 答案 43n?n 1? 解析 由已知得 an 1an nn 2，分别令 n 1,2,3， ? ， (n 1)，代入上式得 n 1 个等式累乘，即 a2a1 a3a2 a4a3? anan 1 13 24 35 46? n 2n n 1n 1，所以 ana1 2n?n 1?， an43n?n 1?. 又因为 a1 23也满 足该式，所以 an 43n?n 1?. 角度 3 形如 an 1 pan q，求 an(多维探究 ) 典例 已知数列 an中， a1 1， an 1 2an 3，则通项公式 an _. 待定系数法、转化法、构造法