2020年湖南中考数学复习练习课件：§2.2-一元二次方程及其应用.pptx

1、 中考数学（湖南专用）2.2一元二次方程及其应用A组20152019年湖南中考题组考点一一元二次方程及其解法1.(2019湖南怀化,9,4分)一元二次方程x2+2x+1=0的解是()A.x1=1,x2=-1B.x1=x2=1C.x1=x2=-1D.x1=-1,x2=2答案答案Cx2+2x+1=0,(x+1)2=0,则x+1=0,解得x1=x2=-1,故选C.2.(2018湖南长沙,17,3分)已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为.答案答案2解析解析设方程的另一个根为t,关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,1+t=3,解得t=2.故方程的另一个根为2.3.(

2、2018湖南郴州,13,3分)已知关于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一个根为-3,则方程的另一个根为.答案答案2解析解析解法一:因为关于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一个根为-3,所以将x=-3代入原方程,求得k=1,解一元二次方程得另一个根为2.解法二:由一元二次方程根与系数的关系可得,两根之积为-6,原方程的一个根是-3,所以另一个根为2.4.(2017湖南湘潭,22,8分)多项式乘法:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例:分解因式:x2+5x+6=x2

3、+(2+3)x+23=(x+2)(x+3).(1)尝试:分解因式:x2+6x+8=(x+)(x+);(2)应用:请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.解析解析(1)x2+6x+8=x2+(2+4)x+24=(x+2)(x+4).(2)x2-3x-4=0,(x+1)(x-4)=0,则x+1=0或x-4=0,解得x=-1或x=4.思路分析思路分析(1)类比题干中因式分解的方法求解即可;(2)利用十字相乘法将左边因式分解后求解.5.(2019湖南常德,18,5分)解方程:x2-3x-2=0.解析解析a=1,b=-3,c=-2,b2-4ac=(-3)2-41(-2)=9+8=17,x=,x1=,x2

4、=.242bbaca 317231723172思路分析思路分析公式法解方程的步骤:化方程为一般形式;找出a,b,c;求b2-4ac;代入公式x=.242bbaca 考点二一元二次方程根的判别式,根与系数的关系1.(2019湖南郴州,5,3分)一元二次方程2x2+3x-5=0的根的情况为()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根答案答案B在一元二次方程2x2+3x-5=0中,=32-42(-5)=490,方程有两个不相等的实数根.故选B.知识总结知识总结一元二次方程根与判别式的关系:(1)0方程有两个不相等的实数根;(2)=0方程有两个相等的实数根;(3)

5、1D.m0,解得m0,即0,方程有两个不相等的实数根.故选A.5.(2018湖南常德,13,3分)若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根,则b的值可能是(只写一个).答案答案6(答案不唯一)解析解析关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根,=b2-4230,解得b2.故答案可以为6.(答案不唯一)66解题关键解题关键本题考查了一元二次方程根的判别式,牢记“当0时,一元二次方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.6.(2019湖南衡阳,21,8分)关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且

6、一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.解析解析(1)由关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根,得=9-4k0,解得k.(2)由(1)得k的最大整数值为2,所以方程x2-3x+k=0,即为x2-3x+2=0,此方程的根为x1=1,x2=2.由方程x2-3x+k=0与一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0有一个相同的根,得(m-1)12+1+m-3=0或(m-1)22+2+m-3=0,即m=或m=1.当m=1时,m-1=0,不合题意,故m=.9432327.(2016湖南岳阳,22,8分)已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m

7、(m+1)=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).解析解析(1)证明:=-(2m+1)2-4m(m+1)=10,方程总有两个不相等的实数根.(2)x=0是方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0的一个根,0-(2m+1)0+m(m+1)=0,解得m=0或m=-1.(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5,当m=0时,3m2+3m+5=302+30+5=5;当m=-1时,3m2+3m+5=3(-1)2+3(-1)+5

8、=3-3+5=5.综上,(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值是5.评析评析本题主要考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法,属于中等难度题.考点三一元二次方程的应用1.(2019湖南衡阳,10,3分)国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得()A.9(1-2x)=1B.9(1-x)2=1C.9(1+2x)=1D.9(1+x)2=1答案答案B根据题意得9(1-x)2=1,故选B.思路分析思路

9、分析等量关系:2016年底该地区的贫困人口数(1-下降率)2=2018年底该地区的贫困人口数,把相关数值代入即得方程.2.(2019湖南郴州,8,3分)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知A=90,BD=4,CF=6,则正方形ADOF的边长是()A.B.2C.D.423答案答案B设正方形ADOF的边长为x,则AB=4+x,AC=6+x,由题意得BE=BD=4,CE=CF=6,BC=BE+CE=BD+CF=10,在RtABC中,AC2+AB2=BC2,即(6+x)2+(x+4)2=102,整理得,x2+10 x-24=0,解得x

10、=2或x=-12(舍去),即正方形ADOF的边长是2.故选B.3.(2016湖南衡阳,9,3分)随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭.抽样调查显示,截止至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆.已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆.设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意列方程得()A.10(1+x)2=16.9B.10(1+2x)=16.9C.10(1-x)2=16.9D.10(1-2x)=16.9答案答案A2013年底该市汽车拥有量为10万辆,则2014年底该市汽车拥有量为10(1+x)万辆,2015年底该市汽

11、车拥有量为10(1+x)2万辆,故可得方程10(1+x)2=16.9,故选A.思路分析思路分析理解增长率的含义,2015年底为16.9万辆,是在2013年底10万辆的基础上增长两年的结果,故可列方程为10(1+x)2=16.9.评析评析本题考查了一元二次方程的实际应用,熟悉相关的实际背景有助于解决这类问题,属容易题.4.(2019湖南张家界,13,3分)田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?根据题意得,长比宽多步.答案答案1

12、2解析解析设长为x步,则宽为(60-x)步,由题意得x(60-x)=864,解得x1=36,x2=24(舍去),当x=36时,60-x=24,长比宽多36-24=12(步),故答案为12.5.(2019湖南长沙,23,9分)近日,长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见,鼓励教师参与志愿辅导.某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导.据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次.解析解析(1)设第二批,

13、第三批公益课受益学生人次的增长率均为x,根据题意得2(1+x)2=2.42,解此方程得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去).答:第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率均为10%.(2)2.42(1+10%)=2.662.答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.思路分析思路分析(1)设增长率为x,根据“第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解;(2)用2.42(1+增长率)计算即可求解.6.(2016湖南永州,24,10分)某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且两次降价的百分率相同.(1)求该种商品每次降价

14、的百分率;(2)若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?解析解析(1)设该种商品每次降价的百分率为x,依题意得400(1-x)2=324,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去).答:该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设第一次降价后售出该种商品m件,则第二次降价后售出该种商品(100-m)件,第一次降价后的单件利润为400(1-10%)-300=60(元);第二次降价后的单件利润为324-300=24(元).依题意得60m+24(100-m)3210,解得m22.5.m

15、为整数,m的最小值为23.答:第一次降价后至少要售出该种商品23件.B组20152019年全国中考题组考点一一元二次方程及其解法1.(2016辽宁沈阳,8,2分)一元二次方程x2-4x=12的根是()A.x1=2,x2=-6B.x1=-2,x2=6C.x1=-2,x2=-6D.x1=2,x2=6答案答案B原方程配方得x2-4x+4=16,即(x-2)2=16,故x-2=4,x1=-2,x2=6,故选B.2.(2019吉林,10,3分)若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为(写出一个即可).答案答案0(任意一个非负数皆可)解析解析因为一个数的平方为非负数,所以只要c0,一

16、元二次方程就有实数根,答案不唯一,例如c=0.3.(2018江苏扬州,12,3分)若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2015的值为.答案答案2018解析解析由题意可知2m2-3m-1=0,2m2-3m=1,原式=3(2m2-3m)+2015=2018.故答案为2018.4.(2019安徽,15,8分)解方程:(x-1)2=4.解析解析(x-1)2=4,所以x-1=2或x-1=-2,即x=3或x=-1.所以原方程的解为x1=3,x2=-1.5.(2017甘肃兰州,21(2),5分)解方程:2x2-4x-1=0.解析解析a=2,b=-4,c=-1,=b2-4ac=(-4)2-

17、42(-1)=240,(2分)x=,(4分)即x1=,x2=.(5分)4242 2262262262考点二一元二次方程根的判别式,根与系数的关系1.(2019湖北黄冈,4,3分)若x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根,则x1x2的值为()A.-5B.5C.-4D.4答案答案A由根与系数的关系可得x1x2=-5,故选A.2.(2017甘肃兰州,6,4分)如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,那么实数m的取值范围为()A.mB.mC.m=D.m=98899889答案答案C因为一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,所以b2-4ac=9-8m=0,解得m=,

18、故选C.98思路分析思路分析一元二次方程有两个相等的实数根,则判别式=0,列出关于m的方程,解方程即可.3.(2018云南昆明,8,4分)关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()A.m3C.m3D.m33答案答案A由题意知=b2-4ac=12-4m0,解得m0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当b2-4ac0时,一元二次方程没有实数根.4.(2017内蒙古呼和浩特,5,3分)关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为()A.2B.0C.1D.2或0

19、答案答案B由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=-(a2-2a),又互为相反数的两数之和为0,-(a2-2a)=0,解得a=0或2.当a=2时,原方程为x2+1=0,无解;当a=0时,原方程为x2-1=0,符合题意,故a=0.易错警示易错警示本题易忽视当a=2时,原方程无解这一情况,从而导致错误.5.(2019四川成都,22,4分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根,且+-x1x2=13,则k的值为.21x22x答案答案-2解析解析x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根,=b2-4ac=4-4(k-1)0,k2.由题意知,x1

20、+x2=-2,x1x2=k-1,+-x1x2=13,(x1+x2)2-3x1x2=13,(-2)2-3(k-1)=13,k=-2.-20,故方程有两个不相等的实数根.(2)由题意可知,a0,=b2-4a=0.答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0,(x+1)2=0,x1=x2=-1.考点三一元二次方程的应用1.(2018新疆乌鲁木齐,9,4分)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10890元?设房价

21、定为x元,则有()A.(180+x-20)=10890B.(x-20)=10890C.x-5020=10890D.(x+180)-5020=108905010 x1805010 x1805010 x5010 x思路分析思路分析先求出房价定为x元时有游客居住的房间数,而每间房的利润就是房价减去支出的20元,从而得出宾馆当天的利润并列出等式.答案答案B当房价定为x元时,空闲的房间有个,所以有游客居住的房间有个,则宾馆当天的利润为(x-20)元,故B正确.18010 x1805010 x1805010 x2.(2019山西,13,3分)如图,在一块长12m,宽8m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂

22、直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77m2.设道路的宽为xm,则根据题意,可列方程为.答案答案(12-x)(8-x)=77(或x2-20 x+19=0)解析解析由题意得(12-x)(8-x)=77,变形可得x2-20 x+19=0.思路分析思路分析把两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的部分为一个长方形,根据长方形的面积公式列出方程.3.(2018辽宁沈阳,21,8分)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进生产技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生

23、产成本的下降率;(2)请你预测4月份该公司的生产成本.解析解析(1)设该公司每个月生产成本的下降率为x,根据题意,得400(1-x)2=361,解得x1=5%,x2=1.95,1.951,x2=1.95不合题意,舍去.答:每个月生产成本的下降率为5%.(2)361(1-5%)=342.95(万元).答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.1203920易错警示易错警示3月份的生产成本=1月份的生产成本(1-x)2,而不是1月份的生产成本(1-2x).下降率最后要化为百分数,也可直接设为x%.思路分析思路分析(1)设每个月生产成本的下降率为x,则2月份的生产成本=1月份的生产成本(1-

24、x),3月份的生产成本=2月份的生产成本(1-x),故3月份的生产成本=1月份的生产成本(1-x)2,求解即可;(2)4月份的生产成本=3月份的生产成本(1-x).C组教师专用题组考点一一元二次方程及其解法1.(2015黑龙江大庆,16,3分)方程3(x-5)2=2(x-5)的根是.答案答案x1=5,x2=173解析解析将原方程变形得3(x-5)2-2(x-5)=0,分解因式得(x-5)3(x-5)-2=0,可得x-5=0或3x-17=0,解得x1=5,x2=.故答案为x1=5,x2=.173173评析评析此题考查了解一元二次方程的方法,熟练掌握因式分解法是解本题的关键.2.(2019内蒙古呼

25、和浩特,19,6分)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根.解析解析原方程可化为2x2-9x-34=0,x2-x-17=0,x2-x=17,x2-x+=17+,=,x-=,x1=,x2=.929292294294294x353169435349353493534考点二一元二次方程根的判别式,根与系数的关系1.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是()A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1D.有两个相等

26、的实数根答案答案A只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以c值应该为5,原方程为x2+4x+5=0,=42-415=-40,x1x2=0,则x10,x20,故选D.52124.(2017上海,2,4分)下列方程中,没有实数根的是()A.x2-2x=0B.x2-2x-1=0C.x2-2x+1=0D.x2-2x+2=0答案答案DA项,=(-2)2-410=40;B项,=(-2)2-41(-1)=80;C项,=(-2)2-411=0;D项,=(-2)2-412=-40,D项中的方程没有实数根,故选D.思路分析思路分析对于一元二次方程a

27、x2+bx+c=0(a0),=b2-4ac,当0时,方程有两个实数根;当0时,方程无实数根,所以应先计算各选项中方程的判别式,再进行判断.5.(2017内蒙古包头,8,3分)若关于x的不等式x-1的解集为x1,则关于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.无法确定2a答案答案C解不等式得x+1,根据题意得+1=1,解得a=0.所以方程可化为x2+1=0,所以=-40,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,故选B.7.(2019江西,9,3分)设x1,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根,则x1+x2+x1x2=.答案答

28、案0解析解析x2-x-1=0,x1+x2=-=-=1,x1x2=-1,x1+x2+x1x2=1+(-1)=0,故答案为0.ba11ca解题关键解题关键解决本题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系,即若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-,x1x2=.baca8.(2016湖南长沙,14,3分)若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是.答案答案m-4解析解析一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,0,即b2-4ac=(-4)2-41(-m)=16+4m0,解得m-4.9.(2017北京,21,5分

29、)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围.解析解析(1)证明:依题意,得=-(k+3)2-4(2k+2)=(k-1)2.(k-1)20,方程总有两个实数根.(2)由求根公式,得x=,x1=2,x2=k+1.方程有一个根小于1,k+11,k0,即k的取值范围是k0),并全部用于道路硬化和道路拓宽,而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%,5a%,那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值.解析解析(1)设今年1至5月道路硬化的里程数为x

30、千米,根据题意,得x4(50-x),解得x40.答:今年1至5月道路硬化的里程数至少为40千米.(2)因为2017年道路硬化与道路拓宽的里程数共45千米,它们的里程数之比为2 1,所以,道路硬化的里程数为30千米,道路拓宽的里程数为15千米.设2017年道路硬化每千米的经费为y万元,则道路拓宽每千米的经费为2y万元.由题意,得30y+152y=780,解得y=13.所以,2017年每千米道路硬化的经费为13万元,每千米道路拓宽的经费为26万元.根据题意,得13(1+a%)40(1+5a%)+26(1+5a%)10(1+8a%)=780(1+10a%).令a%=t,原方程可化为:520(1+t)

31、(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t).整理得10t2-t=0,解得t1=0,t2=0.1.a%=0(舍去)或a%=0.1,a=10.答:a的值是10.思路分析思路分析(1)设原计划今年1至5月,道路硬化的里程数是x千米,根据道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米及道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍,即可得出关于x的一元一次不等式,解之取其最小值即可;(2)先求出2017年每千米道路硬化、道路拓宽的经费,再根据投入经费在780万元的基础上增加10a%,每千米道路硬化、道路拓宽费用的增加及里程数的增加列方程,求a.解题关键解题关键本题考查一元一次不等式、一元二

32、次方程的应用.将道路硬化、道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出是解题的关键.35分钟60分一、选择题一、选择题(每小题3分,共21分)1.(2019湖南郴州模拟,3)下列一元二次方程中,没有实数根的是()A.x2-x+2=0B.x2-3x+1=0C.2x2-x-1=0D.4x2-4x+1=0思路分析思路分析利用一元二次方程根的判别式=b2-4ac逐一分析四个选项中判别式的符号,由此即可得出结论.答案答案AA.=b2-4ac=1-8=-70,方程x2-3x+1=0有两个不相等的实数根;C.=b2-4ac=1+8=90,方程2x2-x-1=0有两个不相等的实数根;D.=b2-4ac=16-16=

33、0,方程4x2-4x+1=0有两个相等的实数根.故选A.2.(2019湖南九年级第二次大联考,7)若方程x2-ax+4=0有两个相等的实数根,则a的值为()A.2B.2C.4D.4答案答案C由题意,方程有两个相等的实数根,则=a2-16=0,解得a=4,故选C.3.(2019湖南邵阳城步一模,7)一元二次方程x(x-2)=0根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根答案答案A原方程可变形为x2-2x=0,=(-2)2-410=40,原方程有两个不相等的实数根.故选A.思路分析思路分析先把原方程变形为x2-2x=0,然后计算,得到=40,根据的含

34、义即可判断方程根的情况.4.(2018湖南衡阳三模,3)下列方程中,不是一元二次方程的是()A.(x-1)x=1B.+=4C.3x2-5=0D.2y(y-1)=421x1x答案答案BB中的方程是分式方程.故选B.解题关键解题关键本题考查一元二次方程的定义.判断一个方程是不是一元二次方程,首先要看它是不是整式方程,然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.5.(2018湖南湘西一中一模,6)若关于x的一元二次方程(k-1)x2-(2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k-B.k-且k1C.k0,且k-10,k的取值范围是k-且k1.故选B.186.(20

35、18湖南永州东安模拟,7)已知关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个实数根,则m的取值范围是()A.m1B.m-1C.m-1且m0D.m-1且m0答案答案D关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个实数根,解得m-1且m0.0,440,mm思路分析思路分析根据二次项系数非零,结合根的判别式0即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可.易错警示易错警示忽略一元二次方程中二次项系数非零这一隐含条件,错选B.7.(2017湖南娄底一模,6)某种品牌运动服经过两次降价,每件零售价由560元降为315元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列方程中正确

36、的是()A.560(1+x)2=315B.560(1-x)2=315C.560(1-2x)2=315D.560(1-x2)=315答案答案B第一次降价后的售价是560(1-x)元,第二次降价后的售价是560(1-x)2元.故选B.二、填空题二、填空题(每小题3分,共21分)8.(2019湖南邵阳一模,12)已知关于x的方程x2+kx-3=0的一个根为1,则它的另一个根是.答案答案-3解析解析将x=1代入x2+kx-3=0,得1+k-3=0,解得k=2,设方程的另一个根为a,则1+a=-k=-2,所以a=-3,故方程的另一个根为-3.故答案是-3.思路分析思路分析根据一元二次方程根的定义,将x=

37、1代入原方程,求得k值,然后由根与系数的关系求得方程的另一个根.9.(2019湖南郴州模拟,10)一元二次方程x2+2x-3=0的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=.答案答案-2解析解析由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=-2.故答案为-2.思路分析思路分析根据一元二次方程根与系数的关系直接解答即可.方法总结方法总结此题考查了一元二次方程根与系数的关系,设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=.baca10.(2019湖南常德芷兰中学期末,10)当x=时,代数式x2+2x与-6x-1的值互为相反数.答案答案25解析解析根据题意

38、得x2+2x+(-6x-1)=0,整理得x2-4x-1=0,即(x-2)2=5,解得x=2,故答案为2.55思路分析思路分析利用互为相反数的两数之和为0列出方程,求出方程的解即可.11.(2019湖南邵阳城步一模,14)若关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0的一个根为0,则m值是.答案答案-2解析解析关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0的一个根为0,m2-4=0,解得m=2.又二次项系数m-20,即m2,m=-2.思路分析思路分析将x=0代入关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0中,解关于m的方程,并结合一元二次方程的二次项系数不为0即可得m的值.

39、12.(2019湖南株洲石峰一模,14)菱形的两条对角线的长是方程x2-7x+1=0的两根,则菱形的面积是.答案答案12解析解析设方程x2-7x+1=0的两个根为a,b,则由根与系数的关系得ab=1,菱形的两条对角线的长是方程x2-7x+1=0的两根,菱形的面积=ab=,故答案为.121212思路分析思路分析利用根与系数的关系得出菱形的两条对角线长的积为1,再根据菱形面积公式计算即可.解题关键解题关键本题考查了一元二次方程根与系数的关系和菱形的面积,求出菱形的两条对角线长的积是解此题的关键.13.(2018湖南岳阳一模,12)方程3x(x-1)=2(x-1)的根为.答案答案x1=1,x2=23

40、解析解析3x(x-1)-2(x-1)=0,(3x-2)(x-1)=0,解得x1=1,x2=.23易错警示易错警示易忽略x-1=0的情况,直接两边约去x-1,解得原方程的根为,遗漏另一根x=1.2314.(2018湖南冷水滩4月模拟,12)已知关于x的一元二次方程2x2-3kx+4=0的一个根是1,则k=.答案答案2解析解析将x=1代入原方程得212-3k1+4=0,解得k=2.三、解答题三、解答题(共18分)15.(2018湖南湘西一中模拟,20)关于x的一元二次方程x2-3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.(1)求m的取值范围;(2)若3(x1+x2)-x1x2-10=0,求m的值

41、.解析解析(1)关于x的一元二次方程x2-3x+m-1=0有两个实数根,=(-3)2-4(m-1)=13-4m0,解得m,即m的取值范围为m.(2)由题意得x1+x2=3,x1x2=m-1,3(x1+x2)-x1x2-10=33-(m-1)-10=0,解得m=0.当3(x1+x2)-x1x2-10=0时,m的值为0.13413416.(2019湖南常德芷兰中学期末,19)解方程:(x+1)2=3(x+1).解析解析(x+1)2=3(x+1),(x+1)2-3(x+1)=0,(x+1)(x-2)=0,x+1=0或x-2=0,解得x1=-1,x2=2.17.(2019湖南衡阳模拟,21)关于x的一

42、元二次方程mx2-(2m-3)x+(m-1)=0有两个实数根.(1)求m的取值范围;(2)若m为正整数,求此时方程的根.解析解析(1)=-(2m-3)2-4m(m-1)=4m2-12m+9-4m2+4m=-8m+90,解得m.(4分)又m0,所以m的取值范围为m且m0.(2)依题意得m=1.原方程化为x2+x=0,解得x1=0,x2=-1.(8分)9898一、选择题一、选择题(每小题3分,共12分)1.(2019湖南邵阳二模,5)已知x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是()A.x1x2B.x1+x20C.x1x20D.x10,x20,方程有两个不相等的实数根,

43、即x1x2,A中结论正确;B.x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两个根,x1+x2=a,a的值不确定,B中结论不一定正确;25分钟45分C.x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,x1x2=-20,C中结论错误;D.x1x2=-20,x1、x2异号,但x1与x2各自的正负不能确定,D中结论错误.故选A.2.(2019湖南九年级第三次大联考,8)三角形两边长分别为4和6,第三边的长是方程x2-13x+36=0的根,则三角形的周长为()A.14B.18C.19D.14或19答案答案D方程整理得(x-4)(x-9)=0,所以x-4=0或x-9=0,所以x1=4,x2=9,即三角形

44、的第三边长为4或9,所以三角形的周长为4+6+4=14或4+6+9=19.故选D.3.(2018湖南永州冷水滩一模,4)若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+2=0的一个根是-1,则另一个根是()A.1B.0C.2D.-2答案答案D设原方程的另一个根是t,根据题意得-1t=2,解得t=-2,即方程的另一个根是-2.故选D.4.(2017湖南娄底3月模拟,11)关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是()A.-1或5B.1C.5D.-1答案答案D设原方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=a,x1x2=2a,+=5,(x1+x2)2-2x1x2=5,a2-4a-5=0

45、,a1=5,a2=-1,又由题意知=a2-8a0,即a8或a0,a=-1.故选D.21x22x易错警示易错警示一元二次方程在利用根与系数的关系解题之前要先考虑方程有根的条件是判别式为非负数.二、填空题二、填空题(每小题3分,共6分)5.(2019湖南邵阳二模,15)某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念,全班共送了2070张相片.若全班有x名学生,根据题意,列出方程为.答案答案x(x-1)=2070(或x2-x-2070=0)解析解析根据题意得每人要赠送(x-1)张相片,全班共有x名同学,x(x-1)=2070(或x2-x-2070=0),故答案为x(x-1)

46、=2070(或x2-x-2070=0).思路分析思路分析根据题意得每人要赠送(x-1)张相片,全班共有x名同学,故可列出方程x(x-1)=2070(或x2-x-2070=0).6.(2018湖南湘潭模拟,12)已知关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2,且+=3,则k的值为.11x21x答案答案-2解析解析由题意得x1+x2=-6,x1x2=k,又+=3,得=3,解得k=-2.11x21x1212xxx x6k思路分析思路分析利用根与系数的关系(即韦达定理)求解.三、解答题三、解答题(共27分)7.(2019湖南常德芷兰中学期末,21)收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增

47、强感情的一部分,下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话.请问:(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到微信红包金额的年增长率是多少?(2)2017年六一儿童节,甜甜和她妹妹各收到了微信红包多少元?解析解析(1)设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到微信红包金额的年增长率是x,依题意得400(1+x)2=484,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(舍去).答:2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到微信红包金额的年增长率是10%.(2)设甜甜在2017年六一收到微信红包金额为y元,依题意得2y+34+y=484,解得y=150.所以484-150=334.答

48、:甜甜在2017年六一收到微信红包金额为150元,她妹妹收到微信红包金额为334元.思路分析思路分析(1)设年增长率为x,2016年收到微信红包金额为400(1+x),2017年收到微信红包金额为400(1+x)(1+x)元,由此可列出方程400(1+x)2=484,求解即可.(2)设甜甜在2017年六一收到微信红包金额为y元,则她妹妹收到微信红包金额为(2y+34)元,根据她们共收到微信红包金额为484元列出方程并解答.8.(2019湖南邵阳城步一模,25)一所学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买了一批树苗,园林公司规定:如果购买树苗不超过60棵,每棵售价为120元;如果购买树苗超过60棵

49、,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元,该校最终向园林公司支付树苗款8800元,请问该校共购买了多少棵树苗?解析解析60棵树苗的售价为12060=7200元8800元,该校购买树苗超过60棵.设该校共购买了x棵树苗,由题意得x120-0.5(x-60)=8800,解得x1=220,x2=80.当x=220时,120-0.5(220-60)=40100,x=80.答:该校共购买了80棵树苗.9.(2018湖南长沙天心模拟,20)已知关于x的一元二次方程x2+3x-m=0有实数根.(1)求m的取值范围;(2)若两个实数根分别为x1和x2,且+=11

50、,求m的值.21x22x解析解析(1)关于x的一元二次方程x2+3x-m=0有实数根,=32+4m0,解得m-.故m的取值范围为m-.(2)x1+x2=-3,x1x2=-m,+=11,(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2+2m=11,解得m=1.949421x22x10.(2018湖南祁阳三模,23)随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进,拥有的养老床位不断增加.(1)该市的养老床位数从2014年底的2万个增长到2016年底的2.88万个,求该市这两年(从2014年底到2016年底)拥有的养老床位数的平均年增长率;(2)若该市某社区今年准备新建一养老中