2019版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.3二项式定理学案（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.3 二项式定理 知识梳理 1二项式定理 2二项式系数的性质 3常用结论 (1)C0n C1n C2n ? Cnn 2n. (2)C0n C2n C4n ? C1n C3n C5n ? 2n 1. (3)C1n 2C2n 3C3n ? nCnn n2n 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)CrmC0n Cr 1m C1n ? C0mCrn Crm n. (5)(C0n)2 (C1n)2 (C2n)2 ? (Cnn)2 Cn2n. 诊断自测 1概念思辨 (1)(a b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a， b 无关 ( ) (2)二项展开式中，系

2、数最大的项为中间一项或中间两项 (a b)2n 中系数最大的项是第 n 项 ( ) (3)(a b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同 ( ) (4)若 (3x 1)7 a7x7 a6x6 ? a1x a0，则 a7 a6 ? a1的值为 128.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A2 3P30例 1)? ?2 x 1x 6的展开式的常数项为 ( ) A 192x2 B 240x C 160 D.60x 答案 C 解析 ? ?2 x 1x 6 的展开式的通项为 Tr 1 Cr6(2 x)6 r? ? 1x r ( 1)r

3、26 rCr6x3 r(r1,2， ? ， 6)，所以当 r 3 时为常数项，此时 T4 23C 36 160，故选 C. (2)(选修 A2 3P31例 2)二项式 ? ?x 1x 10的展开式中系数最大的项为 ( ) A第六项 B第五项和 第六项 C第五项和第七项 D第六项和第七项 答案 C 解析 二项展开式的通项为 Tr 1 Cr10x10 r( x 12)r ( 1)rCr10 x10 32r，每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等，由二项式系数性质，知展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为 C510，但第六项系数为 C510，显然不是最大的又因第五项和第七项的系数相等且为 C41

4、0 C610，再由二项式系数的增减性规律可知选 C. 3小题热身 (1)(2017 全国卷 )(x y)(2x y)5的展开式中 x3y3的系数为 ( ) A 80 B 40 C 40 D 80 答案 C 解析 因为 x3y3 x( x2y3)，其系数为 C352 2 40， x3y3 y( x3y2)，其系数为 C252 3 80. 所以 x3y3的系数为 80 40 40. 故选 C. (2)(2017 山东高 考 )已知 (1 3x)n的展开式中含有 x2项的系数是 54，则 n _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 4 解析 (1 3x)n的展开式的通项为 Tr 1 Crn(3

5、x)r.令 r 2，得 T3 9C2nx2.由题意得 9C2n54，解得 n 4. 题型 1 二项展开式 角度 1 求二项展开式中的特定项或系数 典例 (2016 全国卷 )(2x x)5 的展开式中， x3 的系数是 _ (用数字填写答案 ) 答案 10 解析 Tr 1 Cr5(2x)5 r( x)r 25 rCr5 x5 r2，令 5 r2 3，得 r 4， T5 10x3， x3的系数为 10. 角度 2 已知二项展开式某项的系数求参数 典例 (2015 湖南高考 )已知 ?x ax5的展开式中含 x32的项的系数为 30，则 a( ) A. 3 B 3 C 6 D 6 答案 D 解析

6、? ?x ax 5的展开式的通项为 Tr 1 Cr5( x)5 r ? ? ax r ( a)rCr5 x5 2r2 . 依题意，令 5 2r 3，得 r 1， ( a)1C 15 30， a 6，故选 D. 角度 3 多项展开式 典例 (2015 全国卷 )(x2 x y)5的展开式中， x5y2的系数为 ( ) A 10 B 20 C 30 D 60 答案 C 解析 (x2 x y)5 (x2 x) y5的展开式中只有 C25(x2 x)3y2中含 x5y2，易知 x5y2的系数为 C25C13 30，故选 C. 方法技巧 1求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将

7、 Tk 1项写出并化简 (2)令字母的指数符合要求 (求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等 )，解出 k. (3)代回通项得所求见角度 1 典例 2求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法 (1)对于三项式问题，一般先变形化为二项式，再用通项公式求解，或用组合知识求解见=【 ;精品教育资源文库 】 = 角度 3 典例 (2)对于 几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合与其他因式相乘情况求解特定项，或根据因式连乘的规律，结合组合知识求解，但要注意适当地运用分类思想，以免重复或遗漏见冲关针对训练 2. (3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题，只需依

8、据各个二项展开式中分别得到符合要求的项，再求和即可 冲关针对训练 1 (2014 湖北高考 )若二项式 ? ?2x ax 7的展开式中 1x3的系数是 84，则实数 a ( ) A 2 B.5 4 C 1 D. 24 答案 C 解析 Tr 1 Cr7(2 x)7 r ? ?ax r 27 rCr7ar 1x2r 7.令 2r 7 3，则 r 5.由 22C 57a5 84得 a 1，故选 C. 2 (2014 全国卷 )(x y)(x y)8 的展开式中 x2y7的系数为 _ (用数字填写答案 ) 答案 20 解析 由二项展开式公式可知，含 x2y7的项可表示为 xC 78xy7 yC 68x

9、2y6，故 (x y)(x y)8的展开式中 x2y7的系数为 C78 C68 C18 C28 8 28 20. 题型 2 二项式系数的性质或各项系数的和 典例 1 (2015 湖北高考 )已知 (1 x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 ( ) A 212 B 211 C 210 D 29 答案 D 解析 (1 x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数分别为 C3n， C7n， C3n C7n，得n 10. 对 (1 x)10， 令 x 1，得 (1 1)10 C010 C110 C210 C310 ? C1010 210， 令 x 1，

10、得 (1 1)10 C010 C110 C210 ? C1010 0， 利用 可得 2(C 010 C210 ? C1010) 210， 奇数项的二项式系数和为 C010 C210 ? C1010 29.故选 D. 典例 2 已知 ?x 124 xn的展开式中前三项 x 的系数为等差数列，则二项式系数最大项为 _ 答案 358x =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 C0n 1， C1n12 n2， C2n? ?12 2 18n(n 1)， 由题设可知 2 n2 1 18n(n 1)， n2 9n 8 0， 解得 n 8 或 n 1(舍去 ) 所以二项式系数的最大项为 C48?x 124 x

11、4 358x. 结论探究 典例 2 中条 件不变，试求展开式中系数最大的项 解 设第 r 1 项的系数 Tr 1最大，显然 Tr 10， 故有 Tr 1Tr1 且 Tr 2Tr 11 ， Tr 1Tr Cr82 rCr 18 2 r 19 r2r ， 由 9 r2r 1 ，得 r3. 又 Tr 2Tr 1 Cr 18 2 ?r 1?Cr8 2 r 8 r2?r 1?， 由 8 r2?r 1?1 ，得 r2. r 2 或 r 3，所求项为 T3 7x52和 T4 7x74. 方法技巧 1赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a， b 的一切值都成立因此，可将 a， b 设定为一些特殊

12、的值在使用赋值法时，令 a， b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取 “1 ，1 或 0” ，有时也取其他值如： (1)形如 (ax b)n， (ax2 bx c)m(a， b R)的式子，求其展开式 的各项系数之和，只需令 x 1 即可 (2)形如 (ax by)n(a， b R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令 x y 1 即可见典例 1. 2二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 (1)一般地，若 f(x) a0 a1x a2x2 ? anxn，则 f(x)的展开式中各项系数之和为 f(1) (2)奇数项系数之和为 a0 a2 a4 ? f?1? f? 1?2 .

13、 (3)偶数项系数之和为 a1 a3 a5 ? f?1? f? 1?2 . 冲关针对训练 1设 m 为正整数， (x y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a， (x y)2m 1展开式的二=【 ;精品教育资源文库 】 = 项式系数的最大值为 b.若 13a 7b，则 m ( ) A 5 B 6 C 7 D 8 答案 B 解析 由题意得 a Cm2m， b Cm2m 1，所以 13Cm2m 7Cm2m 1， 13 ?2m?！m！ m！ 7 ?2m 1?！m！ ?m 1?！ ， 7?2m 1?m 1 13，解得 m 6，经检验为原方程的解，故选 B. 2若将函数 f(x) x5表示为 f(x)

14、a0 a1(1 x) a2(1 x)2 ? a5(1 x)5，其中 a0，a1， a2， ? ， a5为实数，则 a3 _. 答案 10 解析 解法一： (通法 )将 f(x) x5进行转化，利用二项式定理求解 f(x) x5 (1 x 1)5，它的通项为 Tr 1 Cr5(1 x)5 r( 1)r， T3 C25(1 x)3( 1)210(1 x)3， a3 10. 解法二： (赋值法 )对等式 f(x) x5 a0 a1(1 x) a2(1 x)2 ? a5(1 x)5两边连续对 x 求导三次得： 60x2 6a3 24a4(1 x) 60a5(1 x)2，再令 x 1 得 60 6a3，

15、即 a3 10. 题型 3 二项式定理的应用 典例 (1)求证： n N 且 n3 时， 2n 1 n 1； (2)求证： 32n 2 8n 9(n N*)能被 64 整除； (3)计算 1.056.(精确到 0.01) 解 (1)证明： n3 时 ， 2n (1 1)n 1 n C2n ? n 12 2n， 2n 1 n 1. (2)证明：原式 (1 8)n 1 8n 9 1 C1n 181 C2n 182 ? Cn 1n 18n 1 8n 9 C2n 182 C3n 183 ? Cn 1n 18n 1 64(C2n 1 C3n 18 ? Cn 1n 18n 1) C2n 1， C3n 1， ? ， Cn 1n 1均为自然数，上式各项均为 64 的整数倍， 32n 2 8n 9(n N*)能被 64 整除 (3)1.056 (1 0.05)6 1 60.05 150.05 2 ? 1 0.3 0.0375 ?1.34. 方法技巧 二项式定理