2019版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.2排列与组合学案（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.2 排列与组合 知识梳理 1排列与组合的概念 2排列数与组合数 (1)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的 所有不同排列 的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 Amn表示 (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的 所有不同组合 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 Cmn表示 3排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)Amn n(n 1)(n 2)?( n m 1) n！?n m?！ (2)Cmn AmnAmmn?n 1?n 2? ?n m 1?m！ n！m！

2、 ?n m?！ 性质 (1)0！ 1； Ann n! (2)Cmn Cn mn ； Cmn 1 Cmn Cm 1n 4常用结论 (1) Amn (n m 1)Am 1n ； Amn nn mAmn 1； Amn nAm 1n 1. (2) nAnn An 1n 1 Ann； Amn 1 Amn mAm 1n . =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)1！ 22 ！ 33 ！ ? n n！ (n 1)！ 1. (4) Cmn n m 1m Cm 1n ； Cmn nn mCmn 1； Cmn nmCm 1n 1. (5) kCkn nCk 1n 1； Crr Crr 1 Crr 2 ? Crn

3、 Cr 1n 1. 诊断自测 1概念思辨 (1)从 1,2,3， ? ， 9 任取两个不同的数，分别填入和式 中求和有多少个不同的结果？此题属于排列问题 ( ) (2)从 2,4,6,8 任取两个数，分别作对数 “log ” 的底数、真数，有多少个不同的对数值？此题属于排列问题 ( ) (3)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微 信，共有多少条微信？此题属于组合问题 ( ) (4)若组合式 Cxn Cmn，则 x m 成立 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A2 3P18例 3)6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( ) A 720 种

4、B 360 种 C 240 种 D 120 种 答案 C 解析 先把甲、乙两人 “ 捆绑 ” 在一起看成一个人，因而有 A55种不同排法，再把两人 “ 松绑 ” ，两人之间有 A22种排法，因此所求不同排法总数为 A55A22 240.故选 C. (2)(选修 A2 3P28A 组 T17)从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是 ( ) A 18 B 24 C 30 D 36 答案 C 解析 解法一：选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有 C24C13 18 种，选出的 3人中有 1 名男 同学 2 名女同学的方法有 C14C23

5、12 种，故 3 名学生中男女生都有的选法有 C24C13 C14C23 30 种故选 C. 解法二：从 7 名同学中任选 3 名的方法数，再减去所选 3 名同学全是男生或全是女生的方法数，即 C37 C34 C33 30.故选 C. 3小题热身 (1)某学校要召开 期末考试总结表彰会，准备从甲、乙等 7 名受表彰的学生中选派 4 人发言，要求甲、乙 2 名同学至少有 1 人参加，那么不同的发言种数为 ( ) A 840 B 720 C 600 D 30 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 B 解析 由题知可分两种情况第一种：甲、乙 2 人中恰有 1 人参加，方法种数为 C12C 35A

6、44 480，第二种：甲、乙 2 人同时参加，方法种数为 C25A 44 240.根据分类计数原理，不同的发 言种数为 480 240 720.故选 B. (2)从 1,3,5,7 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被 5 整除的四位数共有 _个 答案 300 解析 符合条件的四位数的个位必须是 0 或 5，但 0 不能排在首位，故 0 是其中的特殊元素，应优先安排按照 0 排在个位， 0 排在十、百位和不含 0 为标准分为三类： 0 排在个位能被 5 整除的四位数有 A11(C 14C24)A33 144 个； 0 排在十、百位，

7、但 5 必须排在个位有 A12A 11(C14C13)A 22 48 个； 不含 0，但 5 必须排在个位有 A11 (C 13C24)A33 108 个 由分类加法计数原理得所求四位数共有 300 个 题型 1 排列问题 典例 7 位同学站成一排： (1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ (4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ (5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ (6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (7)甲总在乙的前面的排法有多少种？ 解 (1

8、)其中甲站在中间的位置，共有 A66 720 种不同的排法 (2)甲、乙只能站在两 端的排法共有 A22A55 240 种 (3)7 位同学站成一排，共有 A77种不同的排法； 甲排头，共有 A66种不同的排法； 乙排尾，共有 A66种不同的排法； 甲排头且乙排尾，共有 A55种不同的排法； 故共有 A77 2A66 A55 3720 种不同的排法 (4)先将甲、乙两位同学 “ 捆绑 ” 在一起看成一个元素与其余的 5 个元素 (同学 )一起进行全排列有 A66种方法；再将甲、乙两个同学 “ 松绑 ” 进行排列有 A22种方法，所以这样的排法一共有 A66A22 1440 种 (5)甲、乙两同

9、学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有： 解法一：将甲、乙两同学 “ 捆绑 ” 在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A25种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A44种方法；最后将甲、乙两个同学 “ 松绑 ” 进行排列=【 ;精品教育资源文库 】 = 有 A22种方法，所以这样的排法一共有 A25A44A22 960 种方法 解法二：将甲、乙两同学 “ 捆绑 ” 在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素 若丙站在排头或排尾有 2A55种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有 (A66

10、 2A55)A 22 960 种方法 解法三：将甲、乙两同学 “ 捆绑 ” 在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有 A14种方法 再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法，最后将甲、乙两同学 “ 松绑 ” ，所以这样的排法一共有 A14A55A22 960 种方法 (6)甲、乙两同学不能相 邻的排法共有： 解法一： (间接法 )A77 A66A 22 3600 种 解法二： (插空法 )先将其余五个同学排好有 A55种方法，此时他们留下六个位置 (就称为“ 空 ” 吧 )，再将甲、乙同学分别插入这六个位置 (空 )有 A

11、26种方法，所以一共有： A26A 55 3600种 (7)甲总在乙的前面则顺序一定，共有 A77A22 2520 种 结论探究 1 若将本例结论变为 “ 甲、乙、丙三个同学都不能相邻 ” ，则有多少种不同的排法？ 解 先将其余四个同学排好，有 A44种方法，此时他们隔开了五个空位，再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，故共有 A44A35 1440 种方法 结论探究 2 若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？ 解 7 位同学站成一排，共有 A77种不同的排法； 甲、乙和丙三个 同学都相邻的排法共有 A55A33 720 种 故共有 A77 A55A33 4320 种不同的排法 结论

12、探究 3 (1)若将 7 人站成两排，前排 3 人，后排 4 人，共有多少种不同的排法？ (2)若现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加 1 人，后排加 2 人，其他人保持相对位置不变，则有多少种不同的加入方法？ 解 (1)站成两排 (前 3 后 4)，共有 A77 5040 种不同的排 法 (2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有 3 种，第二步，前排 3 人形成了 4个空，任选一个空加一人，有 4 种，第三步，后排 4 人形成了 5 个空，任选一个空加一人有5 种，此时形成 6 个空，任选一个空加一人，有 6 种，根据分步计数原理有 3456 360种方法 方法技巧 1求解有限制条件排

13、列问题的主要方法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2.解决有限制条件排列问题的策略 (1)根据特殊元素 (位置 )优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置 (2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类 提醒： (1)分类要全，以免遗漏 (2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数 (3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确 冲关针对训练 (2018 北京西城区质检 )把 5 件不同产品摆成一排若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A与产品 C 不相邻，则不同的摆法有 _种 答案 36 解析 记其余两种产品为 D， E，将相邻的 A， B 视

14、为一个元素，先与 D， E 排列，有 A22A33种方法；再将 C 插入，仅有 3 个空位可选，共有 A22A33C13 263 36 种不同的摆法 题型 2 组合问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 典例 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种 (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 解 (1)从余下的 34 种商品中

15、，选取 2 种有 C234 561 种， 某一种假货必须在内的不同取法有 561 种 (2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C334 5984 种 某一种假货不能在内的不同取法有 5984 种 (3)从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 C120C215 2100 种 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2100 种 (4)选取 2 种假货有 C120C215种，选取 3 件假货有 C315种，共有选取方式 C120C215 C315 2100455 2555 种 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2555 种 (5)选取 3 件的总数为 C335，因此共有选取方式 C335 C315 654