2022届天津市和平区高三下学期第三次质量调查数学试卷(含答案).pdf

1、高三年级数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高三年级数学试卷 第 2 页（共 4 页） 温馨提示：本试卷包括第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分. 考试时间 120 分钟.祝同学们考试顺利！ 第第 卷卷 （选择题（选择题 共共 45 分）分） 注意事项：注意事项： 1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号 3.本卷共 9小题， 每小题 5分，共 45分 参考公式：参考公式： 球的表面积公式24SR球，其中R表示球的半径. 锥体的体积公式13V

2、Sh锥体，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高. 如果事件 AB、互斥，那么()( )( )P ABP AP B. 如果事件 AB、相互独立，那么()( ) ( )P ABP A P B. 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知全集1 2 3 4 5U ， ，集合1 2= 3 4MN， ， ，则()UCMN=（ ） A1 2， B 5 C3 4， D1 2 3 4， 2设 na是公比为q的等比数列，则“1q ”是“ na为递增数列”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3函数2ln|( )1xxf xx的图象大致为

3、（ ） A B C. D 4某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况， 随机抽取了高一年级 100 名学生进行调查， 将收集到的做义工时间 （单位： 小时）数据分成 6 组：0 1)，1 2)，2 3)，3 4)，4 5)，5 6， （时间均在06，内） ，如图，已知上述时间数据的第 70 百分位数为 3.5，则m与n的值分别为（ ） A0.3，0.35 B0.4，0.25 C0.35，0.25 D0.35，0.3 5设3log 2a ，5log 3b ，23c ，则a b c，的大小关系为（ ） Acab Bacb Cbac Dbca 6 已知某圆柱的

4、轴截面为正方形， 则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为 （ ） A3:4 B1:2 C3 2 :8 D 2:1 7已知双曲线22122:1(00)xyCabab，与抛物线22:4Cyx有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若52PF ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A12yx B2yx C3yx D33yx 8函数23( )cos(2)sin(2)32f xxx，将函数( )f x的图象向左平移(0) 个单位长度，得到函数( )g x的图象，若( )g x为偶函数，则的最小值是（ ） A12 B 512 C6 D 3 9已知函数e( )|xf xx，关于x的方程2( )+(1)

5、( )40()fxmf xmmR有四个相异的实数根，则m的取值范围（ ） A4( 4e)e1 ， B( 43)， C4( e3)e1 ， D4( e)e1 ， x y o 频率频率/ /组距组距 0.04 0.11 0.15 O 1 2 3 4 5 6 时间时间/ /小时小时 0.05 n m x y o x y o x y o 高三年级数学试卷 第 3 页（共 4 页） 高三年级数学试卷 第 4 页（共 4 页） 第第 卷（非选择题卷（非选择题 共共 105 分）分） 注意事项注意事项: : 1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上； 2.本卷共 11 题，共 105 分。 二、填空题（本大题

6、共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案写在题中横线上） 10已知i为虚数单位，设复数z满足(1+i)3+iz ，则z的虚部为 1141(1)(1) xx的展开式中含2x项的系数为 12 已知圆C的圆心坐标是(0)m， ，若直线230 xy与圆C相切于点( 21)A ， 则C圆的标准方程为 13已知0a b ，5ab ，则13ab 的最大值为 14清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共 7 人进入决赛，其中高一年级 2 人，高二年级 3 人，高三年级 2 人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件A为“高二年级 3 人相邻”，事件A的排法为 种

7、；在事件A“高二年级 3 人相邻”的前提下，事件B“高一年级 2 人不相邻”的概率(|)P B A 为 15在平面内，定点A B C O，满足2OAOBOC ，且0OAOBOC ，则 AB ；平面内的动点P M，满足1APPMMC，则2BM的最大值是 . 三、解答题(本大题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16(本小题满分 14 分) 在ABC中，已知46 cos.54ACBC， （）求AB的长； （）求cosA的值； （III）求cos(2)6A的值. 17(本小题满分 15 分) 如图，正四棱柱1111ABCDABC D中，且124ABDD， 点E F，

8、分别是1D B AD，的中点. （）求直线CE与直线1D D所成角的正切值； （）求平面1D BF与平面1BCD的夹角的余弦值； （III）求点A到平面1D BF的距离. 18(本小题满分 15 分) 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，且椭圆过点2(1)2，. （）求椭圆C的标准方程； （）过右焦点F的直线l与椭圆C交于M N，两点，线段MN的垂直平分线交直线l于点P,交直线2x 于点Q，求PQMN的最小值. 19(本小题满分 15 分) 已知等比数列 na的公比1q ，123213141aaaaa a，是 ，的等差中项.等差数列 nb满足12834 = .b a ba，

9、 （）求数列 na, nb的通项公式； （）将数列 na与数列 nb的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前 50 项和； （III）224(2)nnnnnnbnacbbna，为奇数，为偶数(*)nN，求数列 nc的前2n项和21.niic 20(本小题满分 16 分) 设函数2( )lnf xaxax，111( )exg xx，(ee2.718).aR，是自然对数的底数， （）讨论( )f x的单调性； （）证明：当1x 时，( )0g x ； （III）若( )( )f xg x在区间(1)，内恒成立，求实数a的取值范围. 1C 1D 1A A E 1B B C D F

10、 高三年级数学试卷 第 1 页（共 6 页） 高三年级数学试卷 第 2 页（共 6 页） 和平区和平区 20212022 学年学年度第二学期第度第二学期第三三次质量调查次质量调查 高三数学试卷参考答案及评分标准高三数学试卷参考答案及评分标准 一、一、选择题（选择题（9 5分分=45分分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B D A D D A C B A 二、填空题（二、填空题（6 5分分=30分分） 10、1 11、2 12、22(2)5xy 13、3 2 14、720、35 15、492 34、 三、解答题（三、解答题（共共 75 分）分） 16、 （14 分）解：（）4cos05BB

11、，23sin1cos5BB， -1 分 由正弦定理得26sin25 2.3sinsinsin5ACABACCABBCB， -3 分 （）ABC中，ABC ， coscos()cos()(coscossinsin).444ABCBBB -6 分 43cossin55BB又， 42322cos().525210A -7 分 （III）27 20sin1cos.10AAA， -8 分 7 227sin22sincos2()101025AAA ，22224cos22cos12()11025AA ， -12 分 24371724 3cos(2)=cos2 cossin2 sin=()()=.666252

12、25250AAA -14 分 17、 （15 分）解： （）如图，以点D为坐标原点，以1DA DC DD，分别为x轴y轴z轴 正方向，建立空间直角坐标系，则有： (0 0 0)D， ，1(0 0 4)D， ，(2 0 0)A， ，(0 2 0)C， ， (2 2 0)B， ，(1 1 2)E ， ， ，(1 0 0)F ， ， -2 分 1(0 0 4)DD ， ，(11 2)CE ， ， ， -3 分 设直线CE与直线1D D所成角为1，11186cos346DD CEDDCE， -5分 1111sin32sintan3cos2， 直线CE与直线1D D所成角的正切值为2.2 -6分 （）设

13、平面1D BF与平面1BCD的夹角为2， 设平面1D BF的法向量为1111()nxyz， ， ，11110( 4,2, 1)0nBDnnBF 可取， 设平面1BCD的法向量2222()nxyz， ， ，21220(0 2 1)0nCDnnBC可取， -10 分 122121233105coscos,=3535215nnn nnn ， 平面1D BF与平面1BCD的夹角的余弦值为105.35 -12 分 （III）平面1D BF的法向量为1( 4,2, 1)n ，(0 2 0)AB ， ， -13 分 1144 21.2121nABdn -15 分 点A到平面1BFD的距离为4 21.21 1

14、A 1C 1D A E 1B B C D F x y z 高三年级数学试卷 第 3 页（共 6 页） 高三年级数学试卷 第 4 页（共 6 页） 18、 （15 分）解： （）由222222cacabcabc， - 2 分 222212xycc椭圆方程为， 将2(1)2，代入椭圆方程2222()1212cc ， 12cba ， -3 分 椭圆C的标准方程为221.2xy -4 分 （） （i）直线l垂直于x轴时，22222bMNa，23PQc ， 33=2.22PQMN -5 分 （ii）直线l不垂直于x轴时， 设直线l的方程为：(1)yk x，1122()()M xyN xy， ， ， -6

15、 分 由题意知直线l斜率不为 0，22(1)+12yk xxy联立， 整理得：2222(21)4220kxk xk ，1222222214+2122=28018xxkkkkkx x ， -8 分 2212122222222221()4422 121218 = 1()4821MNkxxx xkkkkkkkk， -10 分 2222222221+222121)2112(1)2221ppkkkkkkkkxxxkPkyk， -11 分 直线PQ为线段MN的垂直平分线， 直线PQ方程为222221211()kykkxkk ， 令222252522( 2)(21)(21)kkxyQkkkk ， 22222

16、62()()1(21)PQPQkPQxxyykkk， -12 分 22222222222621(21)6231=882112881kkPQkkkkMNkkkkkkk， -13 分 222222231=2+12 21kkkkk ， 2222222312 21=22121kkkkkkk， -14分 当且仅当222=1kk ，即211kk ，时等号成立. 2PQMN，32222，为PQMN的最小值. 1k 时，PQMN取得最小值为 2. -15 分 19、 （15 分）解： （）12322131442(1)aaaaaaa， 21344444142520aaqqqqqq又， 即，12()2qq或舍 ，

17、 -2分 2nna， -3 分 数列 nb是等差数列，设公差为d， -4 分 211441abb，38818771.abdbbd ， .nbn -5 分 （）数列 na与数列 nb都是递增数列，565325066450nana， 61234522=6212aaaaa， -6 分 124545145=10352bbb（）， -7分 新数列的前 50 项和为： 1+2+2+3+4+4+5+6+45=62+1035=1097. -8 分 高三年级数学试卷 第 5 页（共 6 页） 高三年级数学试卷 第 6 页（共 6 页） （III）222221( )24(2)(2)22nnnnnnnnnbnnna

18、cbbnnann，为奇数，为奇数，为偶数，为偶数 -10 分 设1321242nnAcccBccc奇偶， 1352111111 ( ) +3 ( ) +5 ( ) +(21)()2222nAn 奇 3572 +111111 1 ( ) +3 ( ) +5 ( ) +(21)()42222nAn奇 -11 分 两式相减有 357212 +1212 +13111111+2( ) +() +() +()(21)()4222222112( )1182 =+(21)()122145 54 666nnnnnAnnn奇， -12 分 11065.918 4=nAn奇 -13 分 22222222204264

19、242222204264222()()()222222) =()22nnnBcccnn偶 2222201204.2244()nnnnnn -14 分 22111211065101865918449184nninninnnnc. -15 分 20 （15 分）解： （）由题意，2121( )=2(0)axfxaxxxx， -1 分 0( )0( )afxf x当时，在(0)，内单调递减， -3 分 0a 当时，令( )0fx，有2210ax ，解得22axa， 2(0)( )0( )2axfxf xa，单调递减， 2()( )0( )2axfxf xa，单调递增. -5 分 0( )af x当时

20、，在(0)，内单调递减， 0a 当时，2(0)( )2axf xa，单调递减，2()( )2axf xa，单调递增. （）由题意，证明( )0g x ，即证111exx，1e0 xx即证明成立 -6 分 令1( )exs xx ，则1( )e1xs x ， 当1x 时，( )0s x ， ( )s x单调递增,(1)0s ， ( )(1)0.s xs 1x 时，111( )0exg xx得证. -9 分 （）由（）知，当1( )0 xg x时， 当0a时，由题意1x ，有2( )(1)ln0f xa xx ， 故当( )( )f xg x在区间(1)，内恒成立，必有0a ， -11 分 102a当时，112a ， 由（）有1()(1)02ffa ，1()02ga ， ( )( )f xg x此时在区间(1)，内不恒成立， -13 分 当12a时，令( )( )( )h xf xg x， 1x 时，3212222111112121( )2e0 xxxxxh xaxxxxxxxxx 1x 时，( )h x单调递增， (1)0h又， 1x 时，( )( )( )0h xf xg x ，即( )( )f xg x恒成立， -15 分 综上，1.2a， -16 分 212213212421=()()ninnnicccccccccc