高等数学-常微分方程-ppt课件.ppt

1、第九章第九章 常微分方程常微分方程9.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 9.2 9.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 9.3 9.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程1PPT课件利用函数关系可以对客观事物作定量分析利用函数关系可以对客观事物作定量分析.但在许多实际问题中但在许多实际问题中,而根据问题所服从的客观而根据问题所服从的客观含有未知函数的导数或微分的关系式含有未知函数的导数或微分的关系式,关系式称为关系式称为对它进行研究确定出未知对它进行研究确定出未知实际上就解决了最实际上就解决了最不能直接找出所需要的函数关系不能直接找出所需要的函数关系,只能列出只能列出把这样的把

2、这样的牛顿和莱布尼茨牛顿和莱布尼茨)(xfy 求解问题求解问题.微分方程微分方程. .规律规律,函数的过程就是函数的过程就是确定的微积分运算的互逆性确定的微积分运算的互逆性,简单的简单的微分方程微分方程解微分方程解微分方程. .2PPT课件解解yxy dd)(xyy 例例 几何问题几何问题 平面上一条曲线平面上一条曲线,任意一点切线的斜率等于任意一点切线的斜率等于这点的纵坐标这点的纵坐标, 求这曲线的方程求这曲线的方程. 9.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念设所求曲线为设所求曲线为可以验证可以验证xcey 满足这个方程满足这个方程, 其中其中C为任意常数为任意常数.3PPT课件解解,0

3、时时 t,ddkttx , 0 s ktdt, 0 c),(txx 设所求函数为设所求函数为 x 例例 自由落体运动自由落体运动 一个物体在没有空气阻力的情况下一个物体在没有空气阻力的情况下,从某一高处放手下落时的速度与下落时间成正比从某一高处放手下落时的速度与下落时间成正比,求该物求该物体下落距离与时间的函数关系体下落距离与时间的函数关系.则有则有其中其中k为常数，为常数，Ckt 221221ktx 221gtx 进一步有进一步有4PPT课件如如xyy 0dd)(2 xxtxtxeyyy 32yxxz 含有未知函数的导数含有未知函数的导数(或微分或微分)的方程称为的方程称为未知函数是一元函数

4、的方程为未知函数是一元函数的方程为方程中所出现的导数的最高阶数称为方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程微分方程. .常微分方程常微分方程; ;未知函数是多元函数的方程为未知函数是多元函数的方程为偏微分方程偏微分方程. .微分方程的阶微分方程的阶. .一阶一阶一阶一阶二阶二阶一阶一阶 一般的一般的n阶微分方程为阶微分方程为, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy或已解出最高阶导数或已解出最高阶导数定义定义9.15PPT课件代入微分方程能使方程成为恒等式的代入微分方程能使方程成为恒等式的函数函数称为称为微分方程的解微分方程的解. .微分方程的解的分类微分方程的解的分类

5、(1)通解通解微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意且任意常数的个数与微分方程的阶数相同常数的个数与微分方程的阶数相同.(2) 特解特解确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.如方程如方程Cxy 2.12 xy,2ddxxy 通解通解, 4 . 0dd22 ts2122 . 0CtCts 通解通解特解特解特解特解.202 . 02tts 6PPT课件初始条件初始条件 用来确定任意常数的附加条件用来确定任意常数的附加条件.如前例如前例,),(yxfy 一阶方程一阶方程二阶方程二阶方程),(yyxfy 00|yyxx 的初始条件表示为的初始条件表示为0000

6、|,|yyyyxxxx 的初始条件表示为的初始条件表示为, 0, 0 xt即为初始条件，即为初始条件，7PPT课件对于方程：对于方程：xdxdy (或或 )xdxdy 左右两端同时求不定积分左右两端同时求不定积分，得到通解：，得到通解：Cxy 对于对于22xydxdy dxxy22不易求积分，不易求积分，xdxydy22 两端同时求积分，两端同时求积分， 则则Cxy 21启示：启示：如果方程可以化为两端如果方程可以化为两端只含一个变量的形式，则可以只含一个变量的形式，则可以两端分别积分求解方程两端分别积分求解方程. 9.2 9.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程引例：引例：8PPT课

7、件如果一阶微分方程可以写为：如果一阶微分方程可以写为：dxxfdyyg)()( 特点：特点：方程的一端只含有变量方程的一端只含有变量y，一端只含有，一端只含有变量变量x,方程称为方程称为可分离变量的方程可分离变量的方程。5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程9PPT课件 如果函数如果函数g(y)和和f(x)都连续，则可以左右两端都连续，则可以左右两端同时求不定积分同时求不定积分.CxFyG )()(其中，其中，G(y)、F(x)是是g(y)、f(x)的原函数的原函数,C为常数。为常数。 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法得到：得

8、到：CxFyG )()(称为微分方程的隐式通解称为微分方程的隐式通解.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 的解法的解法: :dxxfdyyg)()( 10PPT课件解解xxyyyd1dln1 xxyyd1lndln1xylnlnln Cxln Cxy lnCxey 通解为通解为.ln的通解的通解求方程求方程yyyx 例例Cln 11PPT课件例例 求微分方程求微分方程 0(1)(0)dxxxdtkxx的特解的特解. . 解：解：,()kdxdtx kx分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得 dtxkxkdx )()ln(lnxkx t tcexkx 即即,lnc 方程的通解方程

9、的通解 12PPT课件把把 00,txx代入通解，代入通解，00,xCkx整理后得到整理后得到特解特解: : 001k xtxkxetcexkx 方程的通解方程的通解: : 得到得到例例 求微分方程求微分方程 0(1)(0)dxxxdtkxx的特解的特解. . 13PPT课件, 2lnd2)()(20 ttfxfxfx满足关系式满足关系式设设).()( xf则则; 2ln.xeA; 2ln.2xeB; 2ln. xeC2ln.2 xeD分析分析 有两种方法有两种方法其一，其一， 将所给选项代入关系式直接验算，将所给选项代入关系式直接验算，B(B)正确正确.其二，其二， 对积分关系式两边求导化为

10、微分方程对积分关系式两边求导化为微分方程,并注并注意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程所应满足的初始条件所应满足的初始条件.一阶微分方程一阶微分方程考研数学考研数学 3分分14PPT课件解解 )(xf)(2)(xfxf fx222 可分离变量方程可分离变量方程xxfxfd2)()(d 两边积分两边积分Cxxfln2)(ln xCexf2)( 由原关系式由原关系式2ln)0( f, 2ln C得得得得. 2ln)(2xexf 分离变量分离变量一阶微分方程一阶微分方程,2lnd2)(20两边求导两边求导将关系式将关系式 ttfxfx15PPT课件一阶线性

11、微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式, 0)( xq当当上面方程称为上面方程称为上面方程称为上面方程称为, 0)( xq当当如如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.齐次的齐次的; ;非齐次的非齐次的.线性线性一阶一阶 自由项自由项 9.3 9.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()(ddxqyxpxy 16PPT课件. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy齐次方程齐次方程的通解为的通解为 xxPCeyd)(1. 线性线性齐次齐次方程方程一阶线性一阶线性微分方程的微分方程的解法解

12、法(使用分离变量法使用分离变量法)(C1为任意常数为任意常数)(1CeC ,lnd)(|ln1CxxPy 17PPT课件2. 线性线性非齐次非齐次方程方程 yxPxy)(dd线性线性齐次齐次方程是线性方程是线性非齐次非齐次方程的特殊情况方程的特殊情况.,d)( xxPCe设想设想)()(ddxQyxPxy 非齐次非齐次方程方程 待定函数待定函数线性线性齐次齐次方程的通解是方程的通解是)(xQ xxPeyd)()(xC的解是的解是18PPT课件 xxPexCyd)()(,代代入入原原方方程程和和将将yy )(xQ xxPxxPexPxCexCd)(d)()()()( xxPexCxPd)()()

13、(从而从而C(x)满足方程满足方程,)(d)(求导求导对对 xxPexCy得得)(xC)(xP xxPed)(得得)()(ddxQyxPxy )()(d)(xQexCxxP 一阶微分方程一阶微分方程)()(ddxQyxPxy 19PPT课件即即 xxPexQxCd)()()(xexQxCxxPd)()(d)( C 一阶线性非齐次一阶线性非齐次微分方程的通解为微分方程的通解为d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP xxPexCyd)()(设设常数变易法常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法待定函数的方法. . xd xd.)()(dd的解的解是是

14、xQyxPxy 20PPT课件)()(ddxqyxpxy 用常数变易法解一般的一阶线性非齐次方程用常数变易法解一般的一阶线性非齐次方程得到通解公式：得到通解公式：d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 注注 解一阶线性微分方程，可以直接利用这个公式，解一阶线性微分方程，可以直接利用这个公式，也可以用也可以用常数变易法常数变易法.21PPT课件.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ xxeyd1 Cxxxdsin1 Cxx cos1解解例例一阶线性非一阶线性非齐次方程齐次方程 xxsin xxed1xdC 一阶微分方程一阶微分方程d)(d)(d)

15、(CxexQeyxxPxxP 22PPT课件.)1(1225的通解的通解求方程求方程 xyxy解解例例第一步：先解对应的齐次线性方程第一步：先解对应的齐次线性方程012 yxy分离变量分离变量12 xdxydy两端积分两端积分Cxyln)1ln(ln2 即：即：2)1( xCy第二步：将常数变易为函数第二步：将常数变易为函数2)1)( xxCy两端求导两端求导)1)(2)1)(2 xxCxxCy代入得代入得21)1( xC积分得积分得CxxC 23)1(32)(第三步：代入第三步：代入223)1()1(32 xCxy令令)(xC得通解得通解23PPT课件32()xy xyxxy03d23xyy

16、 解解 xxxf0d)( 积分方程积分方程例例 如图所示如图所示,平行于平行于y 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线 y = f (x)阴影部分的面积阴影部分的面积,一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程 yyx 23即即xyO3xy )(xfy xPQ截下的线段截下的线段PQ之长之长数值上等于数值上等于求曲线求曲线 y = f (x).)0(3 xxy与与24PPT课件0000 Cxexeyxxd3d2d6632 xxCex 0|xy6 C得得所求曲线为所求曲线为)222(32 xxeyx23xyy , 1)( xP23)(xxQ 一阶微分方程一阶微分方程 xyxxy03d00025PPT课件9

17、.4 9.4 微分方程的应用问题微分方程的应用问题例例 把把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高大气压随高度变化而降低的速率与所在高度处的气压成正比度处的气压成正比”所含关系表示出来所含关系表示出来. .解：解：( ),PP x设大气压P和高度x之间的函数关系为第一步，设未知函数：第一步，设未知函数：大气压随高度变化的速率为dxdP第二步，根据条件写出方程第二步，根据条件写出方程 ,PdxdP 为比例系数，为比例系数， 第三步，取比例系数为正：第三步，取比例系数为正：，因因0 dxdP，故故0 , 0 k设设).0( , kkPdxdP故故26PPT课件用微分方程解决实际问题，是微积分的重要

18、应用. 用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究，改进模型. （1）分析问题，根据实际问题的规律建立微分方程，并提出初始条件. 这个过程称为这一步要求掌握和利用相关的自然科学知识及基本规律这一步要求掌握和利用相关的自然科学知识及基本规律. . （2）求微分方程的通解，然后利用初始条件求特解.（3）检验改进模型，具体步骤是：具体步骤是：建立数学模型建立数学模型.观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，27PPT课件例例 冷却问题冷却问题 将一个温度为将一个温度为50 的物体，放在的物体，放在20 的恒温的恒温环境中冷却，求物体温度变化

19、的规律环境中冷却，求物体温度变化的规律.解解 冷却定律：冷却定律：0T冷却的速率与温差冷却的速率与温差 成正比成正比.” ” 0TT“温度为温度为T T的物体，在温度为的物体，在温度为 的环境中的环境中设物体的温度设物体的温度T T与与时间时间 t的函数关系为的函数关系为 ( ),TT t根据冷却定律，有根据冷却定律，有 (20),dTTdt为比例常数为比例常数. . ，故故0 , 0 k设设因为在温度大于因为在温度大于2020时，温度随时间时，温度随时间t t的增加的增加 而降低，而降低，得到得到 (20)dTk Tdt 初始条件是初始条件是 0,50,tT28PPT课件(20)(0)50d

20、Tk TdtT 可分离变量可分离变量的微分方程的微分方程求出通解： 20ktTCe代入上式， 30C 求出求出得到物体温度的变化规律是得到物体温度的变化规律是3020.ktTe0,50,tT29PPT课件例例 一电动机开动后，每分钟温度提高一电动机开动后，每分钟温度提高1010，同时按温度，同时按温度冷却规律散发热量冷却规律散发热量. .假设电动机在一个保持假设电动机在一个保持1515恒温的房恒温的房子里，求电动机温度与时间的函数关系子里，求电动机温度与时间的函数关系. .解：解：设电动机温度与时间的函数关系是 ( ).TT tdTdt电动机温度增高的速率电动机温度降低的速率电动机温度增高的速

21、率电动机温度降低的速率.电动机温度增高的速率 10降低的速率 (15)k T,0.k 初始条件为初始条件为 0t ,15T 得微分方程及初始条件得微分方程及初始条件 10(15)(0)(0)15dTk TkdtT一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程30PPT课件关于物质总量问题的模型关于物质总量问题的模型物质总量变化率物质总量变化率= = 物质进入容器的速率物质进入容器的速率 物质离开容器的速率物质离开容器的速率 研究一个容器内物质总量随时间研究一个容器内物质总量随时间变化的情况，目标是变化的情况，目标是测定某一时刻测定某一时刻t t，物质在容器中的总量，物质在容器中的总量. . 此类

22、模型的依据：此类模型的依据：31PPT课件例例 物质总量物质总量 一个池内有一个池内有100 100 3m的水，现用浓度为的水，现用浓度为2 2 3/kg m3/m以以3 3 秒的速度注入池内，同时被搅秒的速度注入池内，同时被搅拌均匀的混合拌均匀的混合溶液以相同的速度流出溶液以相同的速度流出. . 求任一时刻求任一时刻t t池内池内盐的含量盐的含量. 的盐溶液，的盐溶液，解：解：设任一时刻设任一时刻t t池池内盐的总量内盐的总量为为 ( )x t/dx dt，则则盐的总量随时间变化的速率盐的总量随时间变化的速率为为 盐进入容器的速率盐进入容器的速率为为 mmmkg/3/233 mkg/6 在任

23、一时刻在任一时刻t,t,池内盐的含量为池内盐的含量为 ( )x t kg盐离开容器的速率盐离开容器的速率：则浓度是则浓度是 3/100 xkg m，混合溶液以混合溶液以3 3 的速率离开，的速率离开，3/mm所以盐离开池内的速率是所以盐离开池内的速率是3/100 xkg m 33/mm3/m100 xkg32PPT课件36100dxxdt解得解得 0.03100(6).3txCe初始条件是初始条件是 0,0tx ，代入求出代入求出 6C ，因此池内盐关于时间因此池内盐关于时间t t的函数是的函数是0.03200(1).txe根据上面所述模型的依据，得到根据上面所述模型的依据，得到0,0tx ，

24、盐进入容器的速率盐进入容器的速率为为 ,/6mkg盐离开池内的速率盐离开池内的速率3/m100 xkg33PPT课件一、可降阶的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程9.7 二阶微分方程简介二阶微分方程简介1、 型的方程型的方程),(yxfy 特点特点左端为二阶导数，右端不含有左端为二阶导数，右端不含有y.解法解法将这两个等式将这两个等式则方程变为则方程变为 z这是一个关于变量这是一个关于变量 x, z 的的一阶一阶微分方程微分方程.如果其通解为如果其通解为),(1Cxzz 则由则由),(1Cxzy 再积分一次再积分一次,21d),(CxCxzy y可求出原方程的通解可求出原方程的通解 xzdd

25、.z 代入到方程代入到方程,),(fzx, zy 令令34PPT课件例例 解微分方程 xyy该二阶微分方程的特点是缺含未知函数 的项的项. y解法：,zyzy代入原方程得到 ,xzz 可分离变量的微分方程求出解 1,zC x再积分，得221212CyCxdxCxC-通解 设设先降阶为一阶微分方程，先降阶为一阶微分方程， 解解35PPT课件 xyydd22ddxyy 特点特点解法解法方程缺自变量方程缺自变量x 2、 型的方程型的方程),(yyfy 则则xzdd xydd ,ddyzz 方程变成方程变成 yzzdd这是关于变量这是关于变量y , z 的的一阶方程一阶方程.设它的通解为设它的通解为)

26、.,(1Cyz 分离变量并积分分离变量并积分,得通解为得通解为21),(dCxCyy z设设yzdd ).,(zyf y将将z看成是以看成是以y为中间为中间变量的变量的x的函数的函数.36PPT课件例例 解微分方程 2()0yy特点特点 ：缺含自变量缺含自变量 的项，的项， x解法：解法： 先降阶为一阶微分方程先降阶为一阶微分方程.( ).yz y 设设这时 y成为中间变量，()dzdz dydzyyzdxdy dxdy 有有 将 ,yy代入原方程得到20dzzzdy37PPT课件设 0,z 得到 ,dzdyz 求出解1,yzC e即 1,yyC e 1,ye dyC dx再积分，12yeC

27、xC12ln()yC xC即为所求的通解.0zy的解）. 20dzzzdy得到得到（通解包含了（通解包含了38PPT课件二、二阶常系数线性方程二、二阶常系数线性方程1 1、二阶常系数线性方程的定义、二阶常系数线性方程的定义二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程,形如形如的方程，称为的方程，称为其中其中 是常数是常数.qp、0 qyypy定义：定义：)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程,形如形如的方程，称为的方程，称为其中其中 是常数是常数.qp、39PPT课件2 2、二阶常系数线性方程的解法、二阶常系数线性方程的解法(3) 根据特征根的不同情况根据特征根的

28、不同情况,得到相应的通解得到相应的通解 (1) 写出相应的特征方程写出相应的特征方程(2) 求出特征根求出特征根02 qprr特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式实根实根21rr xrxreCeCy2121 实根实根21rr xreCCy2)(21 复根复根)sincos(21xCxCeyx 称为称为由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法确定其通解的方法特征方程法特征方程法. . ir 21，二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程0 qyypy的解法：的解法：40PPT课件.032的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征

29、方程0322 rr3, 121 rr故所求通解为故所求通解为 y例例特征根特征根xxeCeC321 41PPT课件.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0522 rr故所求通解为故所求通解为 y例例特征根特征根)2sin2cos(21xCxCex ir2121 ，42PPT课件通解结构：0ypyqy二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程)(xfqyypy 的通解：的通解：对应齐次方程对应齐次方程的通解加非齐次方程的一个特解的通解加非齐次方程的一个特解. . 难点难点方法方法如何求如何求非齐次非齐次方程特解？方程特解？待定系数法待定系数法.43PPT课件.133

30、2的通解的通解求方程求方程 xyyy解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程0322 rr特征根特征根1321 rr，xxeCeCY 231例例(1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解10bxby设设为非齐次为非齐次方程的特解方程的特解44PPT课件代入方程代入方程, 得得13323100 xbbxb,31110 bb31 xy于是于是原方程通解为原方程通解为xxeCeC 231.1332的通解的通解求方程求方程 xyyy10bxby yyy,将将 yYy31 x对应对应齐次齐次方程通解方程通解xxeCeCY 23145PPT课件