大学高数第一章-PPT课件.ppt
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- 大学 第一章 PPT 课件
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1、 第一章第一章 函数与极限函数与极限 主 要 内 容1 1 1、 函数函数 2 2、初等函数、初等函数 3 3、数列的极限、数列的极限 4 4、函数的极限、函数的极限 5 5、无穷大与无穷小、无穷小的比较、无穷大与无穷小、无穷小的比较 6 6、极限运算法则、极限运算法则 7 7、极限存在准则、两个重要极限、极限存在准则、两个重要极限 8 8、函数的连续性与间断点、函数的连续性与间断点 9 9、连续函数的运算与初等函数的连续性、连续函数的运算与初等函数的连续性 1010、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质2 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1、理解一元函数、复合函数的定义;、理解
2、一元函数、复合函数的定义;2、了解函数的表示和函数的简单性态、了解函数的表示和函数的简单性态有界性、单调性、有界性、单调性、奇偶性、周期性;奇偶性、周期性;3、熟悉基本初等函数与初等函数(包含其定义区间、简单、熟悉基本初等函数与初等函数(包含其定义区间、简单性态和图形);性态和图形);4、理解数列极限的概念;、理解数列极限的概念;5、了解数列极限的存在准则、了解数列极限的存在准则单调有界准则、夹逼准则;单调有界准则、夹逼准则;6、理解函数的极限的定义、理解函数的极限的定义;7 7、熟练掌握极限的四则运算法则(包括数列极限与函数极、熟练掌握极限的四则运算法则(包括数列极限与函数极限)限) 基基
3、本本 要要 求求38、掌握两个重要极限:、掌握两个重要极限:9、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较;、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较;10、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系;、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系;11、理解函数的连续性的概念、了解函数的间断点的分类;、理解函数的连续性的概念、了解函数的间断点的分类;1212、了解初等函数的连续性,掌握闭区间上连续函数性质。、了解初等函数的连续性,掌握闭区间上连续函数性质。 基基 本本 要要 求(续)求(续)01sinlim(1)lim1xxxxexx4一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合: :具有某种特
4、定性质的事物的具有某种特定性质的事物的全体全体.组成集合的事物称为该集合的组成集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记作记作个体个体总体总体 第一节第一节 函数函数 5数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为
5、空集空集.)(记作记作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.62.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxab符号符号 表示表示“对每对每(任)一个任)一个”。7bxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间
6、区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.83.3.常量与变量常量与变量: : 在某过程中始终保持一个数值的量称为在某过程中始终保持一个数值的量称为常量常量,注意注意 常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而不断改变数值的量称为而不断改变数值的量称为变量变量.常量与变量的表示方法:常量与变量的表示方法:用字母用字母x, y, t等表示等表示变变量量. 例如:人的身高例如:人的身高,在研究少儿发育成长的过程中是在研究少儿发育成长的过程中是变量变量;
7、而在研究成人的健康状况时通常是;而在研究成人的健康状况时通常是常量常量94.4.绝对值绝对值: : 00aaaaa)0( a运算性质运算性质:;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax.xaxa或绝对值不等式绝对值不等式: ax.baba .axa 10函数概念函数概念例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长nnrSn sin2, 5 , 4 , 3 n3S5S4S6S圆内接正圆内接正n 边形边形Orn )11 邮件的费用依赖与邮件的重量,邮局公布的费用表可根据邮件的费用依赖与邮件的重量,邮局公布的费用表可根据邮件的重量邮件的重量W W确定邮件的费用确
8、定邮件的费用C C。W W1 W2 WNC C1 C2 CN 自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图,由图形自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图,由图形可以找出在一天中的某个时刻可以找出在一天中的某个时刻t t的温度值的温度值T T。tTo 真空中初速为零的自由落体,下落路程真空中初速为零的自由落体,下落路程S S与时间与时间t t的关系为:的关系为: ,设这一运动花费,设这一运动花费T T秒钟,则秒钟,则t t 0,T0,T。221gts 12因变量因变量自变量自变量.)(,000处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfXx .),()(称称为为函函数数的的值
9、值域域函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集XxxfyyXf 数集数集X叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 13函数的表示法有函数的表示法有:公式法、图像法和表格法公式法、图像法和表格法, 这三这三种表述各有特点并可以相互转化种表述各有特点并可以相互转化 例例1 在出生后在出生后 16个月期间内个月期间内,正常婴儿的体重近似正常婴儿的体重近似满足以下关系满足以下关系:xy603., 61x公式法公式法注意注意 在实际问题中在实际问题中, ,定义域是由实际问题决定的定义域是由实际问题决定的. .14tTo370t)(0tT 例例2 监护仪自动记录了某患者一段时间内体温监护仪自动
10、记录了某患者一段时间内体温T的的变化曲线变化曲线,如下图示如下图示: 例例3 某地区统计了某年某地区统计了某年112月中当地流行性出血热月中当地流行性出血热的发病率的发病率,见下表见下表 (月份)()12345678910111216.68.3 7.1 6.5 7.0 10.0 2.5 3.5 5.7 10.0 17.1 7.0ty15例例1 1 求求 y y = =arcsinarcsin 的定义域和值域。的定义域和值域。x2解:解: 120 x函数的定义域为函数的定义域为: : .20:, 21 yx函数的值域为函数的值域为得定义域为得定义域为 x 0 0 且且, 2, 1 x解:解: 0
11、, 2, 1, 0,12xkkxkxx例例2 2 求求xx2arccoscoty 的定义域的定义域 . . 16()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则.xyX)(Xf定义域和对应法则完全相同的两个函数为相同定义域和对应法则完全相同的两个函数为相同函数函数.21xy 例如,例如,.1 , 0 :)(,1 , 1 :XfX 211xy )., 1 :)(),1 , 1(: XfX17例例3 3 判断下列几对函数是否相等判断下列几对函数是否相等. .(1)f(x)=2lnx, (1)f(x)=2lnx, (x(
12、x)=lnx)=lnx2 2 ; ;(2)f(x)=x, (2)f(x)=x, (x(x)=|x|;)=|x|;(3)f(x)=sin(3)f(x)=sin2 2x+cosx+cos2 2x, x, (x(x)=1.)=1.解:解:f(xf(x) )的定义域为的定义域为),0(,(x(x) )的定义域为的定义域为0 x所以它们不相等。所以它们不相等。解:解: f(xf(x) )与与(x(x) )的对应规律不同的对应规律不同 ,所以是不同的函数。,所以是不同的函数。解:解:f(xf(x) )与与(x(x) )的对应规律相同的对应规律相同 ,定义域也相同,定义域也相同,所以所以 f(xf(x)=)
13、=(x(x) )。181函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ;)()(的的减减少少上上是是单单调调增增加加在在区区间间则则称称函函数数Ixf)()(21xfxf 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI例:例:y=x, y=ey=x, y=ex x 在(在(-,+)-,+)内单调增加。内单调增加。)(xfy )(1xf)(2xfxyoI),)()(21xfxf 二、函数的特性二、函数的特性192函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原
14、点对称设设,DxD , )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf.)(为为偶偶函函数数称称xf20有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD ),()(xfxf .)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 例例1 1 判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶性. .)1ln()(2xxxfy 解:解:)(1ln()(2xxxf )()1ln(2xfxx f(xf(x) )是奇函数是奇函数. .例例2 2 设设f(xf(x) )在在R R上定义,证明上定义,证明f(xf(x) )可分解为一个奇函数与可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。
15、一个偶函数的和。证明:设证明:设显然显然 g g( (x x) )是偶函数,是偶函数,h h( (x x) )是奇函数是奇函数, ,而而 )()()(),()()(xfxfxhxfxfxg 2)()()(xhxgxf 故命题的证故命题的证. . 223函数的周期性函数的周期性:(通常说周期函数的(通常说周期函数的周期周期是指其是指其最小正周期最小正周期).2l 2l23l 23l在在(无穷无穷)多个正周期中多个正周期中若若存在一个最小数,此最小数称为存在一个最小数,此最小数称为最小正周期最小正周期。,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的()( ).
16、f xlf x且为周为周则称则称)(xf.)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl恒 成 立 ,23一个周期函数有无穷多个周期,一个周期函数有无穷多个周期, 如如y=sin x,2,4均为周期。均为周期。一般函数的周期均指最小正周期,但并非所有周期函数一般函数的周期均指最小正周期,但并非所有周期函数都存在最小正周期都存在最小正周期. 如如: f(x) = c例例 设设 c c 0 , x0 , x (-(- , +, + ), ), f(x+cf(x+c)=-)=-f(xf(x),),证明证明f(xf(x) )为周期函数。为周期函数。证明
17、证明: : f(x+2c)= f(x+2c)=f(x+c)+cf(x+c)+c)=-)=-f(x+cf(x+c)=)=f(xf(x) )f(xf(x) )为周期为为周期为2 2c c的函数的函数. .事实上事实上, , 对任何对任何y y (-(- , +, + ) )都有都有f(x+yf(x+y)=)=f(xf(x).).注意注意24oyM-Mxy=f(x)D有界有界无界无界M-MyxoD0 x,)(, 0,)(MxfDxMxfD 有有若若的的定定义义域域是是设设4函数的有界性函数的有界性:.)(否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数Dxf25),)()(, 0MxfMxfDx
18、M(有若.)(上有上(下)界在则称Dxf注注:1.有界函数一定有上、下界,反之,有界函数一定有上、下界,反之,同时同时有上、有上、下界的函数才是有界的!下界的函数才是有界的! 2.有界不是绝对的,是相对于所给定的有界不是绝对的,是相对于所给定的D而言的。而言的。 3.有界函数的界不唯一。有界函数的界不唯一。例例 y=siny=sin2 2x, y=x, y=cosxcosx在(在(-,+)-,+)上均为有界上均为有界函数函数,y=x, y=x,y=x, y=x2 2在在(-,+)(-,+)上无界上无界. .26基本初等函数基本初等函数1.幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(
19、112xy xy xy1 xy 二二 初等函数初等函数272.指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 283.对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 294.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin o30 xycos xycos 余弦函数余弦函数o31正切函数正切函数xytan xytan o32xycot 余切函数余切函数xycot o33正割函数正割函数xysec xysec o34xycsc 余割函数余割函数xycsc o355.反三角函数反三角
20、函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数o365.反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数o37xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数o38xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数o39 常数函数,常数函数, 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数统称为三角函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arco40复合函数复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义: 设函数设函数y=f(u),u U,函数,函数u=
21、 (x), x X, 其值域其值域为为 (X)=u|u= (x), x X U,则称函数,则称函数y=f (x)为为x的的复合函数复合函数。,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y代入法代入法41例例 设设,)(,)(xxxgxxf12试求试求)(),(xffxgf).(),(xggxfg解解42221xxxffxxxgf)()(,)()(xxxxxxxggxxxfg21111122)(,)(42注注: :不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 复合函数可以由两个以上的函
22、数经过复合构复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 43)coslg()(xy211 3kxay21 2)(例例 将下列复合函数将下列复合函数“分解分解”为简单函数为简单函数)sin()(cbxay 1xvvuuycos,lg)(211 3解解cbxuuay,sin)( 1kxvuuayv,)(21 2442. 初等函数初等函数定义定义: 由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数。运算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数。例
23、:例:不是初等函数不是初等函数为初等函数为初等函数1sin2xeyx1xxy00 xx不是初等函数不是初等函数nnxaxaay10为初等函数为初等函数nnxaxaay1045 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同对应法则用不同的的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.3.分段函数分段函数464.反函数反函数0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o习惯上习惯上, 反函数反函数 x= (y)写成写成 y = (x) = f 1(x).定义定
24、义1 设有函数设有函数y=f(x)(x X),其值域,其值域Y=f(X).若对于若对于Y中每一个中每一个y值值, 都可由方程都可由方程f(x)=y确定唯一的确定唯一的x值值:x= (y), 称称为为y=f(x)的的反函数反函数,记作记作x=f-1(y), 读读“f逆逆” 。47)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 48例例1 1.,3 xxy例例2 2 证明若函数证明若函数 y = y = f f (x)(x)是奇函数且存在反函数是奇函数且存在反函数 x = x = f f
25、 1 1(y), (y), 则反函数也是奇函数则反函数也是奇函数。证明:证明: xxy,3的反函数是的反函数是).()()()(1111yfxxffxffyf 反函数是奇函数。反函数是奇函数。例例3 3.0101)(2的反函数的反函数求求 xxxxxf解解: : 当当x x 0 0时时,y,y 1,1,1122 yxxy当当xx0 0时时,y1,x=y-1,y0).解:解: 1)m=n, 原式原式0010101111limbaxbxbbxaxaannnnx 2)mn, 原式原式011lim1010 mmmnmnmnxxbxbbxaaxxa3)mn,原式,原式=.82例例.147532lim23
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