高中数学3-2-1对数及其运算精品课件新人教版必.ppt

1、32.1对数及其运算 1在指数函数yax(a0，且a1)中，幂指数x，又叫做_，记作_，即_数a叫做对数的_，y叫做_，读作_2对数恒等式：_.3对数logaN(a0且a1)的性质：(1)_；(2)_；(3)_4以10为底的对数叫做_，即把log10N记作_答案：1.以a为底y的对数logayxlogay(a0，且a1)底数真数x等于以a为底y的对数3零和负数没有对数，即N01的对数为零，即loga10底的对数等于1，即logaa14常用对数lgN5logaMlogaNlogaN1logaN2logaNk同一底数的各因数对数的和同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂指数乘以同一底数幂的底数的对

2、数1对数式与指数式有何关系？在对数符号logaN中，为什么规定a0，a1，N0呢？对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a0且a1)的b次幂等于N，即abN，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫做对数的底数，N叫做真数从定义不难发现无论是指数式abN，还是对数式logaNb都反映的是a、b、N三数之间的关系在对数符号logaN中，若a0且a1.因为logaNbabN，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N0.题型一 对数式中底数和真数的范围求解【例1】对数式log(a3)(7a)b中，实数a的取值范围是()A(，7) B(3,7)C(3,4)(4,7) D(3，)答案

3、：C分析：根据对数的定义知，先看底数a30，且a31，再看真数7a0，要使对数式有意义，必须以上条件都适合，因此，应该解以上不等式组成的不等式组评析：求a的范围问题，往往转化为求不等式的解集变式训练 1求log(12x)(3x2)中的x的取值范围分析：根据对数式的定义求解评析：明确对数的定义是解题的关键指数式与对数式是互逆的，二者能够相互转化，熟练掌握二者的互化，能够加深对指数式和对数式的理解，为后面学习对数函数打下坚实的基础评析：(1)解题要注意寻找已知和所求之间的联系，寻找共同点和不同点，再化异为同，就能解决问题本题的共同点是已知和所求中都是以3为底的对数，不同点是真数不同，因此，将真数3

4、0化为325，从而与已知产生联系(2)已知条件中有a、b、c三个量，令人无所适从，这时，设3a4b6ck，则a、b、c都统一用一个量k来表示，则称k为基本量，用基本量法解题，能够减少未知量，并能很快地找出各个量之间的联系，能够迅速架起已知和未知的桥梁，能够集中目标，提高解题速度分析：反复使用对数恒等式，即可得解 分析：本题考查对数的运算性质的灵活运用 答案：A分析：本题主要考查对数的运算性质，首先看真数和底数的取值范围，其次看符合哪条运算法则解：、犯了相同的错误，歪曲了运算法则logaMnnlogaM.评析：初学对数的运算法则，最容易犯的错误就是对运算法则记忆不牢，从而引起混乱避免出错的方法是

5、：首先会用文字语言叙述运算法则，其次多做一些对数运算的习题，在实践中掌握运算法则，在实践中巩固和记忆运算法则分析：利用对数的运算性质先进行化简，再代入即可 分析：利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算评析：(1)在(1)题中，log32为最简形式，以此为目标，化简各项，使各项都统一到log32，必能合并同类项，求出结果(2)在(2)题中，lg2到lg5都很简单，本题统一到用lg2或lg5表示都可以，但式子中出现了(lg2)2，因此，将各项都转化为用lg2表示较好(3)当所给式子较繁琐时，可以先将各个式

6、子分别化简对于分式，要联想到能约分，要将分子、分母分别构造相同的因式；对于根式，要联想到能够构造完全平方式，以便消去根号分析：(1)由于24,12,6都可分解成2和3的这两个质因子的积或幂，所以可运用对数运算性质直接将原式转化为含log23的式子再化简即可或利用题中各对数均为同底的对数，可逆用运算性质将之化为一个对数的计算问题(2)所含对数底数不同，因此可考虑用对数换底公式化为同底对数的运算分析：观察底数是否相同，若不同，换底求值；对积、商、幂的公式应多练多用变式训练 6分析：用换底公式求解题型一 对数运算法则的应用【例1】若log567a，求：(1)log568；(2)log562.分析：对

7、于第(1)题，已知与未知的对数式中，底数相同，真数不同，寻找真数的联系，8567，第(1)问解决；第(2)问可以用第(1)问的结果，因此，找8与2的联系，2 ，问题获解评析：在本题中，log56561，起到了桥梁的作用，沟通了7与8的联系，可见，在解题中，要注意联想logaa1这个重要恒等式题型二 整体思想在解题中的应用分析：根据对数的性质，loga10，logaa1，逐层消去对数符号评析：本题要以整体的思想去解决，首先视中括号为一个整体消去中括号后，再视小括号为一个整体，逐层深入，使问题得到解决题型三 对数性质及运算法则的应用【例3】已知lgxlgy2lg(x2y)，求 的值分析：先根据对数

8、的运算法则和对数的定义化简，找出x与y的关系，然后求值解：lgxlgy2lg(x2y)，xy(x2y)2，即x25xy4y20，即(xy)(x4y)0，解得xy，或x4y.评析：在使用对数的运算性质中，要特别注意公式成立的前提条件，要注意等价变形，当变形不等价时，要将解方程后的结果根据条件进行取舍题型四 指数式和对数式的转化【例4】已知log23a,3b7，求log1256的值分析：先将3b7转化为log37b，然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式，即可求值解法一：log23a，2a3.又3b7，7(2a)b2ab.故5623ab.又12342a42a2.评析：解法一

9、借助指数变形来解；解法二与解法三是利用换底公式来解，显得较简明，应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可题型五 对数恒等式的证明【例5】(1)设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c1，求证：log(cb)alog(cb)a2log(cb)alog(cb)a.(2)已知lg20.3010，lg30.4471，lgx20.7781，求x.(2)解：lg20.3010，lg30.4771，而0.30100.47710.7781，lgx2lg2lg3，即lgxlg102lg6，lgxlg(6102)，则x61020.06.评

10、析：(1)证明恒等式问题的关键，是认真观察等式两边的结构的异同，然后本着化繁为简的原则，“凑”出恒等式(2)本着化异为同的原则，要注意将2化为对数式lg102，然后才能应用对数的运算性质 题型六 恒成立问题【例6】已知f(x)x2(lga2)xlgb，f(1)2，当xR，f(x)2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值分析：不等式恒成立问题，可以转化为二次函数与x轴的交点问题即lg(10b)24lgb0，(1lgb)24lgb0，化简整理得(lgb1)20，lgb10，即b10，则a100.f(x)x24x1(x2)23x2时，f(x)min3.评析：在本题中，最容易犯的错误是混淆了lga，lgb，x这三个量中，哪个是常量，哪个是变量，要认真审题，始终明确f(x)是关于x的一元二次函数，lga与lgb是系数的一部分，是常数评析：在实际应用题中，已知的等量关系是解题的关键，要根据已知条件建立合适的数学模型