无穷小的比较ppt课件.ppt

1、第七讲第七讲 无穷小量的比较无穷小量的比较 内容提要内容提要 无穷小量的比较。无穷小量的比较。 教学要求教学要求 1. 熟练掌握无穷小的比较；熟练掌握无穷小的比较； 2. 等价无穷小量的性质及一些常见的等价无穷小。等价无穷小量的性质及一些常见的等价无穷小。由无穷小的性质可知由无穷小的性质可知 , 两个无穷小的和、差、积两个无穷小的和、差、积仍为无穷小仍为无穷小 , 但两个无穷小的商会出现不同的情况但两个无穷小的商会出现不同的情况 。如当如当0 x时时 , 函数函数x2 , xsin 都是无穷小。都是无穷小。但是但是0= = = =21= =而而0sinx与与02x的的 “快快”、 “慢慢”差不

2、多。差不多。,2xxxx2lim)1(202lim0 xx= =202lim)2(xxx(3)2sinxx0limxxxxsinlim210= =比比02x“快些快些” , 事实上事实上02x反之反之“慢些慢些”02x比比02x由此可见由此可见 , 无穷小虽然都是以无穷小虽然都是以 0 为为极限的变量极限的变量, , 但它们趋向但它们趋向0的速度不一样的速度不一样 , 趋向趋向 0的的 “快快”、 “慢慢”程度程度 , 我们引我们引 入无穷小的入无穷小的“阶阶”的概念。的概念。下面仅给出下面仅给出0 xx 时的无穷小比较的定义时的无穷小比较的定义, ,对于对于+ +0 xx ,- -0 xx

3、, x ,+x-x等情况的无穷小比较的定义可类似。等情况的无穷小比较的定义可类似。为了为了反映无穷小反映无穷小定义定义 设设0)(lim0= =xxxa a 0)(lim0= =xxxb b0)()(lim0= =xxxxa ab b（1）如果）如果 , 则称则称)(xb b是比是比)(xa a高阶高阶的无穷小的无穷小 , 记为记为)()(xoxa ab b= =（2）如果）如果 = =)()(lim0 xxxxa ab b , 则称则称)(xb b是比是比)(xa a低阶低阶 的无穷小。的无穷小。)1, 0( （3）如果）如果)()(lim0= =Cxxxxa ab b 则称则称)(xb b

4、与与)(xa a是是同阶同阶 无穷小。无穷小。（4）如果）如果1)()(lim0= =xxxxa ab b 则称则称)(xb b与与)(xa a为为等价等价无穷小无穷小 , 记为记为)()(xxa ab b例如例如 03lim30= =xxxQ )0(x)3(3= =xox1sinlim0= =xxxQ )0(xsinxx1- -x与与12- -x同阶无穷小同阶无穷小) 1(x02lim0= =xxQ)2(ox = =)0(x11lim21- - -xxxQ11lim1+ += =xx21= =210,11xxxx- - 比较当时无穷小与 的阶数的高低.例2解20111limxxxx- -=

5、因为201 (1)(1)lim(1)xxxxx-+-22001limlim1,(1)1xxxxxx=-221101,1.11xxxxxxx- - -所以当时与 是等价的无穷小即例如 , 当当)(o=0 x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx-220sin2limxx=又如又如 ，22)(4x21=故0 x时xcos1-是关于 x 的二阶无穷小,xcos1-221x且例1. 证明证明: .1exx-证证:, 1e -=xy令, )1ln(yx+=则,0,0yx时且01limexxx-)1ln(lim0yyy+=yyy1)1ln(1lim0+=eln1=1=

6、xx1e -xx )1ln( +因此 即有等价关系: 说明说明: 上述证明过程也给出了等价关系: )1ln(1lim10yyy+=例2. 证明证明: 当当0 x时,11-+nx.1xn证证: 0limx11-+nxxn10lim=x11-+nnxxn111-+nnx21-+nnx1+,0时当 x11-+nxxn1=-nnba)(ba-1(-naban 2-+)1-+nb1=x=分子常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx- - -+ +xx2111- -+ +xnxn111- -

7、+ +xxa aa a1)1(- -+ +注注上述上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握指、三）必须熟练掌握都成立都成立换成换成将将0)(. 2 xfx定理定理设当设当0 xx 时时 , )()(xxa aa a ,)()(xxb bb b 且且)()(lim0 xxxxa ab b 存在存在( 或或 ) , )()(lim0 xxxxa ab b = =则则)()(lim0 xxxxa ab b证明证明 因因)()(lim0 xxxxa ab b)()(lim0 xxxxa ab b = =(证毕证毕)()(xxa aa a )()(xxa

8、ab b )()(xxb bb b lim0 xx= = )()(lim0 xxxxa aa a )()(lim0 xxxxa ab b )()(lim0 xxxxb bb b = = 23lim0= =xxx例例1 1 求求2tan3sinlim0 xxx23= =0= =0lim30= =xxlim30- -= =xxxx这种解法是错误的！这种解法是错误的！.tanxx,0时时当当xQ,sinxx30sintanlimxxxx- -30sintanlim2xxxx- -求求例例解解正确的解法如下正确的解法如下.xxx- - sinlimxxx- -= = lim = =xxx- - sin

9、lim.sin不不是是无无穷穷小小是是无无穷穷小小，而而时时，xxx Qxxx- - -= = )sin(lim1= =正确的解法如下正确的解法如下.cos21lim0= =xxcos2lim320. .= =xxxxxcos)cos1(sinlim30- -= =xxxxxsintanlim30- -xxxx30sintanlimxxxx- -求求)sincossin(1lim30 xxxxx- -= =21= =,0时时当当x,2cos12xx- -解解注意：注意：无穷小量替换分子或分母，也可替换分无穷小量替换分子或分母，也可替换分用无穷小的等价替换简化极限运算时，可用用无穷小的等价替换简

10、化极限运算时，可用“- -”号连接的各号连接的各部分不能分别作替换。部分不能分别作替换。等价等价分母分母子或子或的因子，而对分子或分母中的因子，而对分子或分母中“+ +”，231x221x-例3. 求求.1cos1)1 (lim3120-+xxx解解:,0时当 x1)1 (312-+ x231x1cos -x221x-0lim=x原式32-=例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx- -求求解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx- -= =- -,213x,22sinxx330)2(21limxxx= =原式原式.161= =不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无

11、穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换. .注意注意,sin,arctan,3)31ln(,0 :22xxxxxxx+ + 时时解解Q.sinarctan)31ln(lim :520 xxxx+求例xxxx20sinarctan)31ln(lim + +. 33lim20= = = =xxxx.sincos11lim :6220 xxxexx-求例. 422lim220= = = =xxxxx xxxexxsincos11lim220- - - -,sin,2cos1 ,21,0 :2222xxxxxexx- - - 时时解解Q内容小结0a=ablim,0, )0(C,1,0lim=Ckab1. 无穷小的比较设 a , b 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且b 是 a 的高阶无穷小b 是 a 的低阶无穷小b 是 a 的同阶无穷小b 是 a 的等价无穷小b 是 a 的 k 阶无穷小,0时当 xsin xtan xarcsinx,x,x,xcos1x-,221x11-+nx,1xn常用等价无穷小 :)1ln(x+1e -x, xx