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1、2022年5月27日星期五1第四章 电路定理内容提要1. 叠加定理 齐性定理2. 替代定理3. 戴维南定理和诺顿定理4. 特勒根定理5. 互易定理6. 对偶原理 难点：各电路定理应用的条件、电路定理应用中受控源的处理。2022年5月27日星期五2- - 叠加定理（重点）1. 对于线性电路，任何一条支路的电流(或电压)，都可以看成是各个独立源分别单独作用时，在该支路所产生的电流(或电压)的代数和。线性电路这一性质称叠加定理。+-usR1isR2i2+-u1R11+R21un1=is+R1usun1=R1+R2R1R2is+R1+R2R2us= Kf is+ kf usun1是is和us的线性组合

2、。2022年5月27日星期五3+-usR1isR2i2+-u1当 us单独作用时，is=0，当 is 单独作用时，us=0，un1(1)=un1(2)R1+R2R2us=R1+R2R1R2isun1=un1(1)+un1(2)+-R1R2i2+-u1(1)(1)usR1isR2i2+-u1(2)(2)R11+R21un1=is+R1usun1=R1+R2R1R2is+R1+R2R2us= Kf is+ kf us2022年5月27日星期五4叠加原理是线性电路的根本属性，它一方面可以用来简化电路计算，另一方面，线性电路的许多定理可以从叠加定理导出。在线性电路分析中，叠加原理起重要作用。对于任何线

3、性电路，当电路有g个电压源和h个电流源时，任意一处的电压uf和电流if都可以写成以下形式：uf=m=1g kf m usKf m is+m=1hif=m=1g kf m usKf m is+m=1h2022年5月27日星期五52. 应用叠加定理时注意以下各点：(1)叠加定理不适用于非线性电路；(2)叠加时，电路的联接以及电路所有电阻和受控源都不予更动。 所谓电压源不作用，是指该电压源的电压置零，即在该电压源处用短路替代； 电流源不作用，是把该电流源的电流置零，即在该电流处用开路替代；(3)叠加时要注意电流同电压的参考方向；(4)功率不能叠加！(5)电源分别作用时，可以“单干”，也可以按组。20

4、22年5月27日星期五63. 例题分析 求I 和 U。电压源单独作用时：电流源单独作用时：+-120VIU-6W3W4W2W12A+I(1)=(2+4)3+3(2+4)6 +120=15 AU(1)=(2+4)3+3 I(1)4 =20 VI1 =636+32+4+4 12= 6 AI(2) =36+36 = 2 AU(2)= - 64 = -24 VI=17A ， U=- 4V(1)I(2)U-6W3W4W2W12A+I1I22022年5月27日星期五7P85 例42 含受控源的情况u3= -6 + 25.6=19.6V10i1+-10VR14AR2i2+-u36Wi14W+-i1(1)=i

5、2(1)=6+410=1Au3(1)=-10i1(1)+ 4i2(1)= -6Vi1(2)= -6+444 = -1.6Au3(2)= -10i1(2)- 6i1(2)= 25.6V10i1+-10VR1R2i2+-u36Wi14W+-(1)(1)(1)10i1R14AR2i2+-u36Wi14W+-(2)(2)(2)2022年5月27日星期五8P86 例4310i1+-10VR14AR2i2+-u36Wi14W+-+-6Vu3 = 19.6V(1)把10V电压源和4A电流源合为一组，引用上例结果：i1(2)=i2(2)=6+4-6= - 0.6Au3(2)= -10i1(2)- 6i1(2)

6、= -16(-0.6)10i1+- 6VR1R2i2+-u36Wi14W+-(2)(2)(2)= 9.6 Vu3= 29.2Vu3(1)+ u3(2)2022年5月27日星期五94. 齐性定理 f(Kx) = K f(x) 当所有激励(电压源和电流源)都增大或缩小K倍(K为实常数)时，响应(电流和电压)也将同样增大或缩小K倍。首先，激励指独立电源；其次，必须全部激励同时增大或缩小K倍。显然，当电路中只有一个激励时，响应将与激励成正比。用齐性定理分析梯形电路特别有效。uf=m=1g kf m usKf m is+m=1hKK2022年5月27日星期五10 P87 例44求各支路电流。先用“倒退法

7、”设 i5 = i5 =1A+-120VR1R2i22Wi120WuSR32Wi3i4R420WR52Wi5R620WABCuBC= (2+ 20) i5= 22Vi4=uBCR4=2220=1.1Ai3= i4 + i5= 2.1AuAC= R3i3+ uBC= 22.1+ 22 =26.2Vi2=uACR2=26.220=1.31Ai1= i2+ i3= 3.41AuS= R1i1+ uAC= 23.41+26.2=33.02V2022年5月27日星期五11P87 例44求各支路电流。先用“倒退法”设 i5= i5 =1A得 uS =33.02V再用齐性定理修正：+-120VR1R2i22

8、Wi120WuSR32Wi3i4R420WR52Wi5R620WABC将uS 增大 K=12033.02倍，各支路电流将同时增大K 3.634倍。i1=K i1 12.39Ai2=K i2 4.76Ai3=K i3 7.63Ai4=K i4 4.00Ai5=K i5 3.63A2022年5月27日星期五124- -2 替代定理给定一个线性电阻电路，若第k条支路的电压uk和电流ik为已知，那么这条支路就可以用下列任何一个元件去替代：(1)电压等于uk 的独立电压源；(2)电流等于ik 的独立电流源；替代后，该电路中其余部分的电压和电流均保持不变。(3)阻值等于的电阻。ukik2022年5月27日

9、星期五13替代定理的示意图uskikN+-Rk+-uk注意极性！us=ukN+-用电压源替代N用电流源替代is=ik注意方向！N用电阻替代R=ukik2022年5月27日星期五14直观地理解对给定的一组线性(或非线性)代数方程，只要存在唯一解，则其中任何一个未知量，如果用解答值去替代，肯定不会引起其它变量的解答在量值上有所改变。对电路问题，根据KCL、KVL列出方程，支路电压和电流是未知量，激励源是已知的。把某支路确定的电压uk(或电流ik)用数值为uk (或ik )的理想电压源(或电流源)替代，就相当于把未知量用其解答值去替代，不会引起任何一个支路电压和电流发生变化。2022年5月27日星期

10、五15用uk替代时的情况说明替代前后连接相同，故两个电路的KCL和KVL也相同。两个电路的“N”相同，故“N”部分的支路约束关系也一样。在新电路中，k支路被uk约束，而电流则可以是任意的。可见，原电路的所有电压和电流满足新电路的全部约束关系。若原电路各支路电压和电流均有唯一解，则新电路也有，而且原电路的解就是新电路的解。uskikN+-Rk+-ukikukN+-原电路新电路2022年5月27日星期五16注意： 被替代的支路可以是有源的，也可以是无源的（例如只含有一个电阻）。但不能含有受控源或是受控源的控制量！替代定理也称置换定理。电路分析时可简化电路；有些新的等效变换方法与定理用它导出；实践中

11、，采用假负载对电路进行测试，或进行模拟试验也以此为理论依据。+-uRuskikN+-Rk+-ukikukN+-原电路新电路uR为“N”中某个受控源的控制量，替代后uR不存在了。2022年5月27日星期五17应用举例1 已知 u3 = 8V 求i1、i2、i3 时可用替代定理。+-20Vi26Wi18W+-4V4Wi3+-u3+-20Vi26Wi18Wi3+-us=u3=8V用8V电压源替代 u3 i2 =88= 1Ai1=20- -86= 2Ai3= i1 - i2= 1A2022年5月27日星期五18应用举例2 若已知 i3 = 1A 可用替代定理求 i1、i2、u3+-20Vi26Wi18

12、W+-4V4Wi3+-u3用1A电流源替代 i3 +-20Vi26Wi18W+-is=i3=1Au3i2= i1-16i1+8(i1 -1)=20i1=2A= 1Au3 = 8i2= 8V2022年5月27日星期五19补充例题：求 i1+-i18V3W6W5W8W2W4A+-6V1W+-6V1W2W+-i18V8W2W 4Ai18W2W4A1Ai1 =2+88(4-1) = 2.4A2022年5月27日星期五20 4-3 4-3 戴维宁定理和诺顿定理对一个复杂的电路，有时我们只对局部的电压和电流感兴趣，例如只需计算某一条支路的电流或电压：此时，采用戴维宁定理或者是诺顿定理，就比对整体电路列方程

13、求解简单。+-10VR5kWi3mA20kW16kW+-ui=?或 u=?或 R=?能获得 最大功率?2022年5月27日星期五211. 戴维宁定理（重点）！ 一个线性含源一单口Ns，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合等效置换。电压源的电压等于Ns的开路电压uoc，电阻等于Ns中所有独立源置零时的输入电阻Req。+-10VR5kWi3mA20kW16kW+-u11含独立电源的一单口Ns外电路+-ReqiuocR+u-112022年5月27日星期五22一个线性含源一单口Ns，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合等效置换。电压源的电压等于Ns的开路电压uoc，电阻等于Ns中所

14、有独立源置零时的输入电阻Req。+-ReqiuocR+u-11+-10V5kW3mA20kW16kW+-uoc11NS化为无源网络N0Req2022年5月27日星期五23 理论证明：应用替代定理和叠加定理。iNSR0+-u11iNS+-u11is=ii(1)=0u(1)=uocNS+-11u(2)N0+-11is=ii(2)=i=-iReq+-ReqiuocR+u-11u = u(1) + u(2)= uoc- iReq2022年5月27日星期五24例题分析1 P93例45由结点电压法+- -40VR44Wi35Wus1R1+40V2Wus2R2- -R310WR58WR62Wuocuoc无压

15、降uoc=R11+R21R1us1+=0.25+0.510+20= 40VR44WR12WR210WR58WR62WReqReqR2us2=4+242+10+(8+2)10(8+2)= 1.33+5= 6.33W+-Reqi3uocR3i3= 6.33+5 40= 3.53A2022年5月27日星期五25例题分析2，求戴维宁等效电路。解法1： R3无压降 uoc= uao 由结点法a-+25VR15W3A20W4WR2is2us1R3o11uoc=51201+525+ 3=4 + 1100 + 60=32V+-Requoc11Req= 4 +5 + 20520= 8W2022年5月27日星期五

16、26例题分析2，求戴维宁等效电路。解法2：在端口处加 u，写出ui关系： 与 u = uoc- Req i 比较得 ：i+-ua-+25VR15W3A20W4WR2is2us1R3o11+-Requoc11+-uiuao=51201+525+ 3+41+4u=2u+16uao= 4 i+ u消去uao得u = 32 - 8 iuoc=32VReq=8W2022年5月27日星期五272. 诺顿定理一个线性含源一单口Ns，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合等效置换。电流源的电流等于Ns的短路电流isc，电阻等于Ns中所有独立源置零时的输入电阻Req。iNS+-u11NS+-u11isc

17、N011Req戴维宁定理和诺顿定理统称等效发电机定理。+-11iscReqi2022年5月27日星期五28P93 例46 求下图的等效发电机。本题求短路电流比较方便。+-40V20W3A11+-40V40W+-60V20Wisc+-11iscReqisc =- -2 +1 +3 -3 = - -1 AReq= 10+401040= 8W2022年5月27日星期五29P94 例47 ( (含受控源的情况) )+-40V5kW0.75i120kWi211i1i2 = i1+ 0.75i1 = 1.75i140 = 5i1+ 201.75i1i1= 5 + 201.7540=1 (mA)uoc+-

18、-uoc=20i2 =201.751=35(V)iSciSc=540+ 0.75540= 14 (mA)Req= 1435= 2.5kW+-1135V2.5kW1114mA2.5kW2022年5月27日星期五3044 最大功率传递定理求得：R = = Req 线性单口网络传给外接负载电阻最大功率的条件：负载电阻与戴维宁(或诺顿)等效电阻相等。+-10VR5kWi3mA20kW16kW+-u+-uocReqRip= i2R =(Req+ R)2uoc2R要使p 最大，应使dpdR=uoc2(Req-R)(Req+ R)3= 0d2pdR2R =Req= -uoc28Req3 02022年5月27

19、日星期五31温故知新1. 当含源一端口网络NS的等效电阻Req=0时，则该网络只有戴维宁等效电路，而无诺顿等效电路。2. 当含源一端口网络NS 的等效电阻Req时，则该网络只有诺顿等效电路，而无戴维宁等效电路。NS11教材P110的习题4-13。3. 最大功率传输定理用于一端口电路给定，负载电阻可调的情况；一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率，因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%；计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便。 2022年5月27日星期五32例：求图示电路中的电压U。 +-24V6WU3W1A6W6W6W3W+-解：本题用诺顿定理求比

20、较方便。因短路电流比开路电压容易求。 +-24V6W3W6W6W6W3WISC6W3W6W6W6W3WReq2022年5月27日星期五334- -5 特勒根定理定理1 对于一个具有n个结点b条支路的电路，假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并令 (i1, i2, , ib)、 (u1, u2, , ub) 分别为支路的电流和电压，则对任何时间t，有证明：用结点电压表示各支路电压：123456 0bk=1uk ik = 0un1= u1，un2= u5un3= u6 u2 = un1- un2 u3 = un2- un3 u4= un3 - un12022年5月27日星期五34= =u1i1

21、+ + u2i2 + + u3i3 = un1i1+(un1-un2)i2+(un2-un3)i3+(un3-un1)i4+un2i5+un3i6= un1 (i1+i2-i4) +un2 (-i2+i3+i5)+un3 (-i3+i4+i6)= 0证明：用结点电压表示各支路电压：123456 0un1= u1，un2= u5un3= u6 u2 = un1- un2 u3 = un2- un3 u4= un3 - un16k=1uk ik+ u4i4 + u5i5 + u6i6把支路电压换成结点电压2022年5月27日星期五35定理1表明：对任何一个电路，全部支路吸收的功率之和恒等于零。或者

22、说，发出的功率等于吸收的功率。也称功率守恒定理或功率定理(power theorem)。定理1对支路内容没有任何限制。 对任何由线性、非线性、时变、时不变元件组成的集总电路都适用。bk=1uk ik= 0uk与ik 的参考方向关联：+uk ikuk与ik 的参考方向非关联：-uk ik2022年5月27日星期五36 定理2 如果有两个具有n个结点和b条支路的电路，它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成。假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并分别用 (i1, i2, , ib)、(u1, u2, , ub)表示两电路中b条支路的电流和电压。和 ( i1, i2, , ib )、( u1,

23、u2, , ub ) 则在任何时间t，有 bk=1uk ik = 0bk=1uk ik = 02022年5月27日星期五37与形式的证明过程类似 0u2 u1 u4 u5 u6 u3 0i4 i3 i2 i1 i5 i6 6k=1uk ik=u1i1+ u2i2 + u3i3 + u4i4 + u5i5 + u6i6用结点电压表示各支路电压，并代入整理：= un1(i1+i2-i4) + un2(-i2+i3-i5) + un3(-i3+i4-i6) = 0同理可证6k=1uk ik = 02022年5月27日星期五38两式都有功率的量纲，具有功率守恒的形式，或者说，类似于功率守恒定理，故称似

24、功率守恒定理(quasi-power theorem)。定理2有广泛的适用性，能巧妙地用来解决一些电路问题。取法相似bk=1uk ik = 0bk=1uk ik = 0当两个电路以同一个有向图作参考，uk和 ik 的参考方向与有向图对应支路方向都相同或都相反时，则取 “+uk ik” ，否则取 “-uk ik”。2022年5月27日星期五39定理2的用法 右图的线性电阻网络有两种不同的外部条件。根据特勒根定理2有：11线性电阻网络22+- -usi2i1R2+- -u211线性电阻网络22+- -usi1i2R1+- -u1usi1+ u2i2 第3b项是网络内各支路电阻上的电压与电流，显然b

25、k=3ikuk= 01i1uusi2+bk=3ukik= 0uk=Rk ik ，uk=Rk ikbk=3ikRk ik=bk=3ikRkik将两式相减并整理得：usi1+ u2i2=i1u1usi2+2022年5月27日星期五40补充：应用举例 解：NR为无源电阻网络，只是具有不同的外部条件。 由定理2得：I2+-NR1122Us1I1Us1图中NR为无源电阻网络，当Us1=20V时，测得I1 =10A，I2 =2A；若有Us2接在2-2 端钮处，3W电阻接在1-1 端钮处，并测得I1= 4A。问Us2=？3W+-NR1122Us2I1I1+ 0I2= Us2I2-(3 )I1I1204 =

26、2Us2 - 34 10Us2 =100V2022年5月27日星期五414- -6 互易定理引言 在讨论回路电流法和结点电压法时曾经发现：若电路中只含独立电源和线性电阻， 则有 Rik= Rki， Gik= Gki，即两相邻回路间或是两相邻结点间的相互影响分别相同。 这 一 现 象 说 明 ， 此 类 线 性 电 路 有 一 个 重 要 性 质 互 易 性(reciprocity)。互易定理的表述 一个仅含线性电阻的网路，在只有唯一一个独立电源激励的情况下，把激励与响应互换位置，响应与激励的比值保持不变。2022年5月27日星期五423. 互易定理的三种形式形式 即：把激励与响应互换位置后，若

27、激励不变，则响应也不变。11线性电阻网络22+- -usi2i1R2+- -u211线性电阻网络22+- -usi1i2R1+- -u111线性电阻网络22+-usi211线性电阻网络22+-usi1i2 图中电阻网络有不同的外部条件，根据特勒根定理2有usi1+ u2i2=i1u1usi2+当R1= R2 = 0 时，u1 = 0u2 = 0，us=i2i1us若 us = us则 i2 = i12022年5月27日星期五43例：求下图的I2+-12VR32W6WUs4WR41WR2R11122I2I1直接求解：6+1614+2+I1= 12748= 12A= 74I2= 6+1674= 1

28、.5A+-12VR32W6W4WR41WR2R11122I1Us用一下互易定理：因 Us= Us=12VI1I2=故R1+ R2= 6W = R3I2=I1= 1226+121=1.5A 2022年5月27日星期五44形式在形式的基础上，把电压源换成电流源、短路电流换成开路电压就是形式 。由特勒根定理2可得：-isu1+ 0 = - u2is+ 0isu2u1=is若is=isu2则u1=11线性电阻网络22+-usi211线性电阻网络22+-usi1i211线性电阻网络22isu1+- -11线性电阻网络22isu2+-2022年5月27日星期五45应补充例题2022年5月27日星期五46形

29、式由特勒根定理2可得：11线性电阻网络22isi2+- -11线性电阻网络22usu1+- -isu1us+ i2= 0 + 0isu1=usi2若在数值上有is=usi2=则u12022年5月27日星期五47应用互易定理注意以下几点1. 互易前后应保持网络的拓扑结构及参数不变； 仅激励源搬移，若有内阻应保留在原来支路中。2. 互易前后注意电压(源) 与电流(源)的参考方向。3. 只适用于一个独立电源作用，且不含受控源的线性网络。us=i2i1us11线性电阻网络22+- -usi211线性电阻网络22+-usi1i2形式11线性电阻网络22isu1+- -11线性电阻网络22isu2+-is

30、u1=isu2形式11线性电阻网络22isi2+- -11线性电阻网络22usu1+- -isu1=usi2形式2022年5月27日星期五48补充例题解：用诺顿定理 先求短路电流NR为无源电阻网络，Us1=20V， I1 =10A， I2 =2A。若将Us1接在2-2端钮处，并在1-1端钮处接3W电阻，问 I1=？由互易定理形式I2+-NR1122Us1I13W+NR1122Us1I1-+NR1122Us1Isc-可知：Isc= I2 = 2A2022年5月27日星期五49Req =Us1I1=2010= 2W11IscReq3WI1由互易定理形式I2+-NR1122Us1I13W+NR112

31、2Us1I1-可知：Isc= I2= 2A再求输入电阻ReqI1=23+22= 0.8AReq补充例题NR为无源电阻网络，Us1=20V， I1 =10A， I2 =2A。若将Us1接在2-2端钮处，并在1-1端钮处接3W电阻，问 I1=？2022年5月27日星期五504- -7 对偶原理电路中一些变量、名词之间具有“地位”相同而性质“相反”的特性，这些变量、名词称为对偶元素。常见的对偶元素NRGNLC usisVCCSCCVS串联开路回路 KVL 戴维宁 并联短路结点 KCL诺顿 电路元件电路结构电路定律、定理将一个电路N的元素，改换成对偶元素，所形成的电路 N，称为N的对偶电路。2022年

32、5月27日星期五51对偶关系：将电路中某一关系式中的元素全部改换成对偶元素而得到的新关系式称为原关系式的对偶关系式。R =k=1nRkuk =Rk uR i =Ru串联电路与并联电路G =k=1nGkik =Gk iG u =Gi2022年5月27日星期五52对偶原理：电路中若某一关系式成立，那么其对偶关系式也一定成立。例如 n个网孔的电流方程 与 n个结点的电压方程之间就是互为对偶的关系式。互为对偶的电路及其方程G1G2G3is1is2un1un2R2R1R3+-us1+-us2im1im2(R1+R2) im1-R2 im2= us1-R2 im1+(R2+R3) im2= us2(G1+

33、G2) un1-G2 un2= is1-G2 un1+(G2+G3) un2= is22022年5月27日星期五53若已知原电路的方程及其解答，则能直接写出对偶电路的方程及解答。使原有电路的计算方法及公式的记忆工作减少一半。注意： 对偶原理仅适用于平面电路； 对偶并非等效！利用对偶原理一个电路N，对偶电路为N ，并不是指N与N等效。2022年5月27日星期五54求图示电路的U 和 Uab (与教材P49 题2- -8类似)。6W5A24W5W+-U10W4WUabab10W6W5A24W+-U4WUabab用网孔法或回路法。6W5A24W5W+-U10W4WUabab10W用星角变换U = 1

34、0 (I - I )U ab= 4I +10 I +2452022年5月27日星期五55用结点法6W5A24W5W+-U10W4WUabab10WcfUa+4161-41Uc=5Uc+41101+101-41Ua+=0-101Uf-101Uc+51101+Uf= -5解之得：Ua =15V,Uc =5V,Uf = -15V。Uab = (Ua - Uc)+ (Uc - Uf) + 245 =Ua - Uf + 245 = 150 (V) 解方程的过程较麻烦。2022年5月27日星期五56用戴维宁定理(诺顿定理)求图示电路的U 和 Uab (与教材P49 题2- -8类似)。6W5A24W5W+

35、-U10W4WUabab10W6W5A24W5W+-Uoc10W4WUabab10W6W24W5WReq10W4WUabab+-Uoc Req10W+-U2022年5月27日星期五57求图示电路的U 和 Uab (与教材P49 题2- -8类似)。6W5A24W5W+-U10W4WUabab10Wcd6W24W5W10W4WUab10Wcd5A+-I1I2I1=(10+5)+555=22.5AI2=5-1.252=23.75AU = -23.754+22.510= -7.5+12.5 = 5VU是c、d之间的开路电压，用互易定理形式求U：U = U = 5V2022年5月27日星期五58求图示电路的U 和 Uab (与教材P49 题2- -8类似)。替代定理为求Uab，先用5V电压源替代10W电阻由 4I2-6(5-I2)=-5得 I2=2.5A由 10I1- -5(5- -I1)= =5得 I1=2AUab= 4I2+10I1+2456W5A24W5W+-5V10W4WUabab=10+20+120=150V此法练习了互易定理和替代定理。6W5A24W5W+-U10W4WUabab10WcdI25-I2I15-I1