平面向量应用举例-ppt课件.ppt

1、 1、体会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题、体会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题的过程及其他一些实际问题的过程2、体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，提高、体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力运算能力和解决实际问题的能力3、掌握用向量方法解决实际问题的基本方法；向量方法解决、掌握用向量方法解决实际问题的基本方法；向量方法解决几何问题的几何问题的“三步曲三步曲”自学教材自学教材P109P112 解决下列问题解决下列问题一、掌握用向量方法解决实际问题的基本方法；向量掌握用向量方法解决实际问题的基本方法

2、；向量方法解决几何问题的方法解决几何问题的“三步曲三步曲”二、二、创新设计创新设计 新知导学新知导学.三、三、教材教材 P113 习题习题1、2.平面几何图像的许多性质如平面几何图像的许多性质如距离距离、平行平行、三点共线三点共线、垂直垂直、夹角夹角等几何问题等几何问题充分利用向量这个工具来解决充分利用向量这个工具来解决1.平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.,ACABAD ,DBABAD ABCD2.如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

3、边长度之间的关系吗？| |DBAC ABCDba例例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD。求证：求证：222222BDACDACDBCAB解：设解：设 ，则，则 bADaAB ,baDBbaAC;)( 2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB选基底，用基底表示有关向量选基底，用基底表示有关向量找几何元素间的关系，并用向量运算找几何元素间的关系，并用向量运算把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何

4、关系成几何关系(基向量法基向量法)“长度或距离问题长度或距离问题”一一般般过过程程ab（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：如距离、夹角、共线、垂直等问题；如距离、夹角、共线、垂直等问题；(基向量法基向量法;坐标法坐标法)简述：简述

5、：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形例例2. 如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD 、 DC边的中点，边的中点，BE 、 BF分别与分别与AC交于交于R 、 T两点，你能发现两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？之间的关系吗？猜想：猜想：AR=RT=TCABCDEFRTABCDEFRT1122()()n abbm ab 因因此此,ABa ADb ARr ACab解：解：设设 则则因为因为 所以所以1122()rbm ab ARAEER 又因为又因为 共线，共线，所以设所以设12() ERmEBm ab EREB与与ab由于由于 与与

6、 共线，所以设共线，所以设AR AC(),rn ab nR12EBABAEab 102()()mnm anb 即即0102nmmn ,ab不共线，不共线，1 1解解 得得 ： n n= =m m= =3 3111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是故故AT=RT=TC111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是1122()()n abbm ab 因因此此ABCDEFRTab用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO分析：要证分析：要证ACB=9

7、0，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。ACCB 0AC CB 设设 则则 ，由此可得：由此可得：,AOa OCb ,ACa b CBa b AC CBabab 2222| | |abab 220rr即即 ，ACB=900AC CB “垂直问题垂直问题”已已知知直直角角三三角角形形的的两两直直角角边边长长为为4 4和和6 6, ,试试用用向向量量方方法法求求两两直直角角边边中中线线所所成成钝钝角角的的余余弦弦值值. .如如图图以以分分别别为为 轴轴, ,轴轴建建立立平平面面直直角角坐坐标标系系, ,AB ACxyABC64解法一：解法一：xyO 则则，A 0 0 ,B 4 0 ,C 0 6 ,

8、EF 易易知知两两中中点点为为，E 0 3 ,F 2 0 , 4,3 ,2, 6 BECFcos,BE CFBE CFBECF 423626BE CF 2222435,262 10 BECF 2613105052 10已已知知直直角角三三角角形形的的两两直直角角边边长长为为4 4和和6 6, ,试试用用向向量量方方法法求求两两直直角角边边中中线线所所成成钝钝角角的的余余弦弦值值. .ABC64EF法二法二:设设则则 11,22 ABa ACbBEab CFbacos,BE CFBE CFBECF 1122BE CFabba 22118182622 ab 5,2 10 BECF 26131050

9、52 103.已知正方形已知正方形ABCD中，如图点中，如图点P为对角线为对角线AC上任上任一点，一点，PEAB于点于点E，PFBC于点于点F，连接，连接DP、EF，求证：，求证：DPEF.AFEPDBC证明：证明：设设, ABa ADb三三点点共共线线, ,A P C 则则设设 APACab 1 DPAPADabbab ,1, AEABa PFEBa EPADb 1 EFEPPFba 11DP EFabba 22110 ab 0,a bab 即即 . DPEFDPEF基向量法基向量法3.已知正方形已知正方形ABCD中，如图点中，如图点P为对角线为对角线AC上任上任一点，一点，PEAB于点于点

10、E，PFBC于点于点F，连接，连接DP、EF，求证：，求证：DPEF.AFEPDBC证明二：证明二：如如图图以以分分别别为为 轴轴, ,轴轴建建立立平平面面直直角角坐坐标标系系, ,AB ADxy不不妨妨令令正正方方形形边边长长为为1 1, , 0 0 ,1 0 ,11 ,0 1ABCD设设， ,E0 ,F 1,P 设设点点， = =, ,= = ,11, DPEF ,11,DP EF = = = = 110 即即 . DPEFDPEF建系坐标法建系坐标法xy2、向量在物理中的应用举例、向量在物理中的应用举例情景情景1：两人一起提一个重物时：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力怎样提它最省力?

11、情景情景2:一个人静止地垂挂在单杠上时一个人静止地垂挂在单杠上时,手臂的拉力与手臂手臂的拉力与手臂握杠的的姿势有什么关系握杠的的姿势有什么关系?两力的夹角越小越省力两力的夹角越小越省力两臂的夹角越小两臂的夹角越小,手臂就越省力手臂就越省力例例3.在日常生活中在日常生活中,你是否有这样的经验你是否有这样的经验:两个人共提一个两个人共提一个旅行包旅行包,夹角越大越费力夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动在单杠上做引体向上运动,两臂两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？2F 分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，分析：上述的问题跟

12、如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：抽象为数学模型如下： 用向量用向量F1 ,F2表示两个提力表示两个提力,它们它们的合向量为的合向量为F，物体的重力用向量，物体的重力用向量G来表示，来表示， F1，F2的夹角为的夹角为，如右图，如右图所示，只要分清所示，只要分清F，G和和三者的关系，三者的关系，就得到了问题得数学解释！就得到了问题得数学解释！1F G F 解：不妨设解：不妨设 ,由向量的由向量的 平行四边形平行四边形法则法则,力的平衡以及直角三角形的知识力的平衡以及直角三角形的知识, 通过上面的式子，知当通过上面的式子，知当由由0到到180逐渐变大时，逐渐变大时， 由由0到到90逐渐逐

13、渐变大，变大， 的值由大逐渐变小的值由大逐渐变小. 12| |FF 1|2cos2GF 可以知道：可以知道：2F 1F G F 2 cos2 即即 之间的夹角越大越费力之间的夹角越大越费力,夹角越夹角越小越省力！小越省力！1|F 由小逐渐变大由小逐渐变大.12FF 与与 （1）为何值时，为何值时， 最小，最小值是多少？最小，最小值是多少？（2） 能等于能等于 吗？为什么？吗？为什么？ 答：在上式中，当答：在上式中，当 =0时，时， 最大，最大， 最小最小且等于且等于答：在上式中，当答：在上式中，当 即即=120时，时，1|F 1|2cos2GF cos2 1|F |.2G 1|F |G 1co

14、s,22 1| |FG （3）生活中常遇到两根等长的绳子挂一个）生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体物体.绳子的最大拉力为绳子的最大拉力为 ,物体重量为物体重量为 ,分析绳子受到的拉力大小分析绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角与两绳子间的夹角的关系？的关系？|G 1|F 1|2cos2GF 2F 1F G F (4)如果绳子的最大承受力为如果绳子的最大承受力为 在什么范围内在什么范围内,绳子才不会断？绳子才不会断？1|200,FN | 200 3,GN 200 3200,2cos2 由由 3cos,22 2F 1F G F 62030从而可知，当从而可知，当 时绳子不会断。时绳子不会断。3

15、0向量在物理中的应用一般步骤：向量在物理中的应用一般步骤：（1）问题的转化）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题即把物理问题转化为数学问题.（2）模型的建立）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决即建立以向量为主题的数学模型，解决问题问题.（3）问题的答案）问题的答案,即回到问题的初始状态即回到问题的初始状态,解释相关的物解释相关的物理现象理现象.向量在物理中的应用向量在物理中的应用（三步曲）：（三步曲）： 如图所示，用两条成如图所示，用两条成120的等长的绳子悬挂一个的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是，则每根绳子的拉力是_.1

16、2010N1|2cos2GF G v1v 2v 例例4.如图如图,一条河的两岸平行一条河的两岸平行,河的宽度河的宽度d=500m,一一艘船从艘船从A处出发到河对岸处出发到河对岸,已知船的速度已知船的速度 水流速度水流速度 问行驶航程最短时问行驶航程最短时,所用时间所用时间是多少？是多少？(精确到精确到0.1min) 1| 10/ ,vkm h 2| 2/ ,vkm h 1212210/ ,2/.vvvvkm hvkm hvvt 分分析析：如如图图，已已知知， ，求求AB1v 2v v 2212|96(/ ),vvvkm h0.5603.1(min).|96dtv所以答：行驶的航程最短时，所用的

17、时间是答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。解：如图，由已知条件得解：如图，由已知条件得2vv 三、三、教材教材 P113 习题习题2.B 三个力三个力F1、F2、F3同时作用于同时作用于O点且处于平衡状态，已知点且处于平衡状态，已知F1与与F3的夹角为的夹角为120，又，又|F1|F2|20 N，则，则|F3|_.解析：解析：由由F1F2F30知知F1F3F2，|F1|2|F3|22|F1|F3|cos 120|F2|2.|F3|F1|20 N.20 N设设P，Q分别是梯形分别是梯形ABCD的对角线的对角线AC与与BD的中点，试用的中点，试用向量证明：向量证明：PQAB. 求证：求

18、证：ABC的三条高交于一点的三条高交于一点 求证：求证：ABC的三条高交于一点的三条高交于一点 求证：求证：ABC的三条高交于一点的三条高交于一点你学会了吗你学会了吗?对自己说，你有什么收获？对自己说，你有什么收获？对同学说，你有什么提示？对同学说，你有什么提示？对老师说，你有什么疑惑？对老师说，你有什么疑惑？（1）问题的转化）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题即把物理问题转化为数学问题.（2）模型的建立）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题即建立以向量为主题的数学模型，解决问题.（3）问题的答案）问题的答案,即回到问题的初始状态即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象解释相关的物理现象.1.向量在几何中的应用（三步曲）：向量在几何中的应用（三步曲）：2.向量在物理中的应用（三步曲）：向量在物理中的应用（三步曲）：转化的方法：、选取恰当基向量转化的方法：、选取恰当基向量、建系坐标化。、建系坐标化。形到向量形到向量向量的运算向量的运算向量和数到形向量和数到形