常微分方程初值问题的数值解法-ppt课件.ppt
- 【下载声明】
1. 本站全部试题类文档,若标题没写含答案,则无答案;标题注明含答案的文档,主观题也可能无答案。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
2. 本站全部PPT文档均不含视频和音频,PPT中出现的音频或视频标识(或文字)仅表示流程,实际无音频或视频文件。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
3. 本页资料《常微分方程初值问题的数值解法-ppt课件.ppt》由用户(三亚风情)主动上传,其收益全归该用户。163文库仅提供信息存储空间,仅对该用户上传内容的表现方式做保护处理,对上传内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知163文库(点击联系客服),我们立即给予删除!
4. 请根据预览情况,自愿下载本文。本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
5. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007及以上版本和PDF阅读器,压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微分方程 初值问题 数值 解法 ppt 课件
- 资源描述:
-
1、常微分方程初值问题的数值解法第第7章章引言引言在实际问题中,常需要求解微分方程在实际问题中,常需要求解微分方程(如发电机转子运动如发电机转子运动方程方程)。只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解,只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解,而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解。而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解。常微分方程:常微分方程: 0)(),(yaybxayxfy-(1) )(,)(),(0ayyaybxayyxfy-(2)一阶常微分方程一阶常微分方程 nybyyaybxayyxfy)(,)(),(0-(3)(1),(2)式称为式称为初值问题初值问题,(,(3)式称为式称为
2、边值问题边值问题 2002212210012111)(),()(),(yxyyyxfyyxyyyxfy-(4)另外另外, ,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组在实际应用中还经常需要求解常微分方程组: 本课程主要研究问题本课程主要研究问题一阶常微分方程一阶常微分方程(1)的数值解法的数值解法,我们首先介绍初值问题我们首先介绍初值问题(1)(1)的解存在的条件的解存在的条件定理定理 只要只要 f (x, y) 连续,且关于连续,且关于 y 满足满足 Lipschitz 条件条件,即存在与即存在与 x, y 无关的常数无关的常数 L 使使对任意定义在对任意定义在 a, b 上的上的 y1(x)
3、和和 y2(x) 都成立,则初值问都成立,则初值问题(题(1)存在唯一解存在唯一解。| ),(),(|2121yyLyxfyxf bxxxxan 210), 2 , 1()(nkyxykk 的近似值的近似值上函数值上函数值的数值解的数值解就是问题就是问题而而)1(), 2 , 1(nkyk 上的一系列离散点上的一系列离散点在区间在区间就是求未知函数就是求未知函数,)(baxy(通常采用(通常采用等距节点)等距节点)对于问题对于问题(1)(1) 0)(),(yaybxayxfy要求它的要求它的数值解数值解常微分方程数值解公式的推导常微分方程数值解公式的推导 求初值问题数值解的方法是求初值问题数值
4、解的方法是步进法步进法,即从已知的初值,即从已知的初值y0出发,通过出发,通过一定的计算一定的计算求求y1 ,然后由,然后由y1或或y0和和y1求出求出y2 ,依次计算到依次计算到yn ,即在计算出,即在计算出yk后计算后计算yk+1 ,这时有,这时有单步法单步法:计算:计算yk+1时,只利用时,只利用yk多步法多步法:计算:计算yk+1时,用到时,用到yk, yk-1, yk-2,常微分方程数值解公式常微分方程数值解公式的主要推导方法的主要推导方法泰勒展开泰勒展开利用差商利用差商利用数值积分法利用数值积分法1、泰勒展开的求解思路、泰勒展开的求解思路:将将 按泰勒级数展开按泰勒级数展开 hxy
5、xykk 1 kkkkyhxhyxyxy 21! 2)( 211() , ()kkkkkkkhy xy xhy xy xy xhfxy x 略略去去 1, 1 , 0,10nkyxhfyyyaykkkk用用 的近似值的近似值 代入上式右端,记所得结果代入上式右端,记所得结果为为,则得到数值解序列的计算公式,则得到数值解序列的计算公式:()ky xky1ky 2、化导数为差商的求解方法思路:、化导数为差商的求解方法思路:若在点若在点 处的导数用差商来近似代替,如向前差商处的导数用差商来近似代替,如向前差商 hxyxyxykkk 1kx则微分方程初值问题化为则微分方程初值问题化为 1, 1 , 0
6、01nkyayxyhxyxykkk将近似号改为等号,精确解将近似号改为等号,精确解 改为近似解改为近似解 ,得,得ky kxy 1, 1 , 0,10nkyxhfyyyaykkkk3、数值积分的求解思路、数值积分的求解思路:如果将微分方程如果将微分方程 在各小区间在各小区间 上对其两边进行积分,即上对其两边进行积分,即 yxfy, 1, kkxx 111, 1 , 0,kkkkxxxxnkdxxyxfdxy 011,yaydxxyxfxyxykkxxkk如用矩形数值积分公式可得:如用矩形数值积分公式可得: 1, 1 , 0,10nkyxhfyyyaykkkk以上三种方法推导出同一个数值求解公式
7、以上三种方法推导出同一个数值求解公式: :这个数值公式称为这个数值公式称为欧拉欧拉(Euler)(Euler)公式。公式。 1, 1 , 0,10nkyxhfyyyaykkkk7.1 欧拉方法欧拉方法一、一、 欧拉格式:欧拉格式:x0 x1向前差商近似导数向前差商近似导数hxyxyxy)()()(010 ),()()()(000001yxfhyxyhxyxy 1y记为记为欧拉公式几何意义欧拉公式几何意义 用一条通过初始点的折用一条通过初始点的折线近似表示解曲线线近似表示解曲线 ,亦称为亦称为欧欧拉折线法拉折线法 ,或称为或称为矩形法。矩形法。)1,., 0(),(1 nkyxfhyykkkk一
8、般形式一般形式1 1、显式欧拉公式、显式欧拉公式在假设在假设 yk = y(xk),即第,即第 k 步计算是精确的前提下,考步计算是精确的前提下,考虑的截断误差虑的截断误差 Rk = y(xk+1) yk+1 称为称为局部截断误差局部截断误差 。定义定义 若某算法的局部截断误差为若某算法的局部截断误差为O(hp+1),则称该算法有,则称该算法有p 阶精度。阶精度。定义定义 欧拉法的局部截断误差:欧拉法的局部截断误差:),()()()()(2112kkyxhfyyxyhxyyxyRkhkkkki )(22 yh 欧拉法具有欧拉法具有 1 阶精度。阶精度。局部截断误差和阶数局部截断误差和阶数1 k
9、kxx 2、隐式欧拉格式、隐式欧拉格式向后差商近似导数向后差商近似导数hxyxyxy)()()(011 x0 x1)(,()(1101xyxfhyxy )1,., 0(),(111 nkyxfhyykiik由于未知数由于未知数 yk+1 同时出现在等式的两边,不能直接得到,故同时出现在等式的两边,不能直接得到,故称为称为隐式隐式 欧拉公式,而前者称为欧拉公式,而前者称为显式显式 欧拉公式。欧拉公式。一般先用显式计算一个初值,再一般先用显式计算一个初值,再迭代迭代求解。求解。 隐式隐式欧拉法的局部截断误差:欧拉法的局部截断误差:11)( kkkyxyR)(22 yh 即隐式欧拉公式具有即隐式欧拉
10、公式具有 1 阶精度。阶精度。二、两步欧拉格式(中点公式)二、两步欧拉格式(中点公式)中心差商近似导数中心差商近似导数hxyxyxy2)()()(021 x0 x2x1)(,(2)()(1102xyxfhxyxy 1,., 1),(211 nkyxfhyykkkk假设假设 ,则可以导出则可以导出即两步欧拉格式具有即两步欧拉格式具有 2 阶精度。阶精度。)(),(11kkkkxyyxyy 311()()kkkRy xyO h 该方法需要该方法需要2个初值个初值 y0和和 y1来启动递推过程,这样的算法称来启动递推过程,这样的算法称为为双步法双步法。三、三、 梯形公式梯形公式 显、隐式两种算法的显
11、、隐式两种算法的平均平均)1,., 0(),(),(2111 nkyxfyxfhyykkkkkk注:注:有局部截断误差有局部截断误差 , 即梯形公式具有即梯形公式具有2 阶精度,比欧拉方法有了进步。阶精度,比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是但注意到该公式是隐式隐式公式,计算时不得不用到公式,计算时不得不用到迭代法迭代法,不易求解。,不易求解。)()(311hOyxyRkkk 对欧拉法进行改进,用梯形公式计算右侧积分,即对欧拉法进行改进,用梯形公式计算右侧积分,即 11,2,1 kkkkxxyxfyxfhdxyxfkk(0)1(1)( )111(,),0,1,2(,)(,)2kkkkikkkk
12、kkkyyhf xyk ihyyf xyf xy计算计算公式公式梯形格式算法计算步骤:梯形格式算法计算步骤: 先用先用(1)式计算出式计算出 处处 。1kx (0)1ky 再用再用(2)式反复进行迭代,得到式反复进行迭代,得到(1)(2)11,kkyykkkkiikkkkkkyyhf xyhyyf xyf xy(0)1(1)( )111(,)(,)(,)2 计算计算公式公式-(1)-(2)类似地得到类似地得到 用用 控制迭代次数,控制迭代次数, 为允许误差。为允许误差。把满足误差要求的把满足误差要求的 作为作为 的近似值。的近似值。 (1)( )11iikkyy (1)1iky 1ky x 2
13、3,kkyy四、四、改进欧拉法(预报改进欧拉法(预报-校正法)校正法)Step 1: 先用先用显式显式欧拉公式作欧拉公式作预报预报,算出,算出),(1iiiiyxfhyy Step 2: 再将再将 代入代入隐式隐式梯形公式的右边作梯形公式的右边作校正校正,得到,得到1 iy),(),(2111 iiiiiiyxfyxfhyy )1,., 0(),(,),(211 niyxfhyxfyxfhyyiiiiiiii它可表示为嵌套形式它可表示为嵌套形式表示为平均化形式表示为平均化形式 pcipiiciiipyyyyxhfyyyxhfyy21,11此法称为此法称为预报预报-校正法,校正法,是是显式算法显
14、式算法。注:注:可以证明该算法具有可以证明该算法具有 2 阶精度,同时可以看到它是个阶精度,同时可以看到它是个单单步步递推格式(只迭代一次)递推格式(只迭代一次) ,比隐式梯形公式的迭代,比隐式梯形公式的迭代求解过程求解过程简单简单。脚标用脚标用 i方方 法法 显式欧拉法显式欧拉法 隐式欧拉法隐式欧拉法 梯形公式梯形公式 中点公式中点公式 简单简单 精度低精度低 稳定性最好稳定性最好 精度低精度低, 计算量大计算量大 精度提高精度提高 计算量大计算量大 精度提高精度提高, 显式显式 多一个初值多一个初值, 可能影响精度可能影响精度 不同方法比较不同方法比较举例:举例:进行比较。进行比较。精确解
15、精确解并与并与法求解法求解法和改进法和改进试分别用试分别用设初值问题设初值问题例例xyyyxydxdy21,EulerEuler1)0(2 计算结果如下表所示:计算结果如下表所示:法:法:改进的改进的法:法:上结果,此时上结果,此时计算计算解:取解:取 ,.)2 , 1 , 0()(21)2()2(Euler,.)2 , 1 , 0()2( 1 . 01 , 0, 1 . 0111iyyyyxyhyyyxyhyyiyxyyyEulerxhcpipipiciiiipiiiiixEuler法y改进的Euler法y精确解01.0000001.0000001.0000000.11.0000001.09
16、59091.0954450.21.1918181.1840971.1832160.31.2774381.2662011.2649110.41.3582131.3433601.3416410.51.4351331.4164021.4142140.61.5089661.4859561.4832400.71.5803381.5525141.5491930.81.6497831.6164751.6124520.91.7177791.6781661.6733201.01.7847701.7378671.732051欧拉方法的几何意义x0 x1x4x2x3y1y0y2y3y47.2 龙格龙格 - 库塔法库
17、塔法一、一、 泰勒级数法泰勒级数法 龙格龙格库塔库塔(Runge-Kut ta)法法(简称为简称为R-K方法方法)是一类高精是一类高精度的一步法,这类方法与泰勒级数法有着密度的一步法,这类方法与泰勒级数法有着密 切的关系。切的关系。 设有初值问题设有初值问题 00)()(,()(yxyxyxfxy由由 泰勒展开式泰勒展开式 1)(21! 2)( kkkkkkkkhxykhxyhxhyxyxy 从理论上讲,只要解从理论上讲,只要解y(x)有任意阶导数,泰勒展开方有任意阶导数,泰勒展开方法就可以构造法就可以构造任意阶任意阶求求yk+1公式。但由于计算这些导数是公式。但由于计算这些导数是非常复杂的,
展开阅读全文