2019年上海科技大学考研专业课试题992数值代数.pdf
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- 上海科技大学考研专业课试题
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1、第 1 页 共 4 页 上海科技大学 2019 年攻读硕士学位研究生 招生考试试题上海科技大学 2019 年攻读硕士学位研究生 招生考试试题 科目代码:992 科目名称:数值代数 考生须知: 科目代码:992 科目名称:数值代数 考生须知: 1. 本试卷满分为 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。 2. 所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、考虑矩阵A ? ?31?2?12?22315?4?16202?1. 找出一个单位下三角阵L ?和一个上三角阵U ?,使得A ? LU。 (8分)2. 使用题 1 中获得的LU分解(即三角分解) ,求解线性方程组Ax ? y
2、,其中y ? ?0010?。 (8 分)3. 求A的行列式。 (4 分)4. 题 1 获得的L ?和U ?是否是唯一满足A ? LU的单位下三角阵和上三角阵?为什么?(5 分)5. 是否存在一个A的 Cholesky 分解?如果你认为存在,求出该 Cholesky 分解;如果你认为不存在,请说明理由。 (5 分)二、考虑矩阵A ?,m ? n。假设 A 共有k个非零的奇异值? ? ?,1 ? k ? n,并且令 ? ?为对角元是?,?,?的对角阵。1. 证明存在U ?和 V ?满足U?U ? 和V?V ? I(I表示单位矩阵) ,科目代码:992科目名称:数值代数第 2 页 共 4 页 使得
3、A ? UV?。另外,这样的U 和 V是否一定唯一?为什么?(10 分)2. 证明上述V的每一列均为A?A的一个特征向量。另外,找出其对应的特征值。(6 分)3. 令y ?并假设A的秩为n。用上述U,V, 以及 y 来表示线性方程组 Ax ?y 的最小二乘解。 (7 分)4. 现在考虑m ? n ? k的情况。证明A 关于 2 范数的条件数?A? ? A ? A?(7 分)三、假设我们获得了 m 组数据?s?,g?,i ? 1,2,.,m,s? ,g? ,并希望找到x?,x?,x? ,1 ? 使得?x?s? x?s? ? x?s? x?g?最小。已知上述问题可以表达成一个最小二乘问题min?
4、Ax ? b ?,其中x ? ?x?x? ?。1. 用?s?,g?, i ? 1,2,.,m表示出最小二乘问题中的矩阵A ?和向量b ?。(8 分)2. 上述最小二乘问题的最小二乘解是否一定唯一?如果是,请阐述理由;否则请提供数据?s?,g?, i ? 1,2,.,m需要满足的条件, 以使最小二乘解唯一。(7 分)3. 现假设该最小二乘问题具有唯一的最小二乘解。 我们对 A 进行 QR 分解, 得到A ? Q? R 0?其中Q ? ?q?q? ?是正交矩阵,R ?是上三角阵。证明R 为满秩。另外,用q?,q? ?,R以及 b 来表示该最小二乘解。 (10 分)4. 继续假设该最小二乘问题具有唯
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