2016年南京航空航天大学考研专业课试题814高等代数.pdf

1、科目代码：814 科目名称：高等代数 第 1 页 共 3 页 南京航空航天大学南京航空航天大学2016 年硕士研究生招生考试初试试题（ A 卷 ） 2016 年硕士研究生招生考试初试试题（ A 卷 ） 科目代码: 814 科目名称: 高等代数 满分: 150 分 注意: 认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无 认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、(15 分)设矩阵=abA10050100016000，E是四阶单位矩阵

2、. 1计算多项式AxExf=)(； 2若22 xx能够整除)(xf,求ba,的值； 3若2, 1是A的两个特征值,求A的其余特征值. 二、(15 分)设有向量组 .11,11,11:II;2,42,11: I321321=aaaaaaa 1求a的值，使得向量组I线性相关； 2求a的值，使得向量组I不能由向量组II线性表出； 3 在题 1 和题 2 同时成立的情况下， 将向量T)5, 2, 1 (=用321,线性表出,这里 “T”表示转置，以下各题相同. 三、(20 分)已知非齐次线性方程组 =+=+=+13, 1534, 1432143214321bxxxaxxxxxxxxx 有三个线性无关的

3、解. 1证明方程组系数矩阵A的秩为 2； 2求ba,的值; 3求方程组在超平面043=xx上的模（长度）最小的特解. 科目代码：814 科目名称：高等代数 第 2 页 共 3 页 四、(20 分)设n阶矩阵BA,满足方程EBAAB36+=，这里E表示n阶单位矩阵. 1证明：若是B的任一特征值，则6； 2证明：BAAB =； 3若A的伴随矩阵为=8030010100100001*A，求B. 五、(20 分)设 3 维实向量空间3R的线性变换使得+=132133212xaxxxxxxx 1求在基TTT) 1, 1, 1 (,)0, 1, 1 (,)0, 0, 1 (321=下的矩阵A; 2若有三个

4、线性无关的特征向量，求a的值； 3若T)2, 3, 2(=是的一个特征向量，证明A不能与对角矩阵相似，并求A的 Jordan标准形. 六、(20 分)设A是 3 阶实对称矩阵，三元二次方程 0)(31),(=+zyxzyxAzyx 经正交变换=wvuPzyx化为06622=+uwv. 1求矩阵A的全部特征值； 2求正交矩阵P的第一列； 3求矩阵A. 七、(20 分)设A是n阶实反对称矩阵，证明： 1若A不可逆，则A的实特征值只能是 0； 22A的特征值均小于或等于 0; 3若i是A的一个纯虚数特征值，iyx+是对应的特征向量（这里1,=iRyxn） ，则x与y正交 科目代码：814 科目名称：高等代数 第 3 页 共 3 页 八、(20 分)设BA,是两个n阶正定矩阵，实可逆矩阵P使得 ,00,21=nTTBPPEAPPO 这里E表示n阶单位矩阵，证明： 1n,21L是矩阵1BA的全部特征值; 2BA为正定矩阵的充分必要条件是对1BA的每一个特征值，有1; 3若22BA 是正定矩阵，则BA也是正定矩阵.