贪心算法-PPT课件.ppt

1、第4章 贪心算法1学习要点理解贪心算法的概念。掌握贪心算法的基本要素 （1）最优子结构性质（2）贪心选择性质理解贪心算法与动态规划算法的差异理解贪心算法的一般理论通过应用范例学习贪心设计策略。（1）活动安排问题；（2）最优装载问题；（3）哈夫曼编码；（4）单源最短路径；（5）最小生成树；（6）多机调度问题。23一、贪心算法定义 指的是从对问题的某一初始解出发,一步一步的攀登给定的目标,尽可能快地去逼近更好的解。当达到某一步,不能再攀登时,算法便终止。二、贪心算法特点 贪心算法总是做出在当前看来是最好的选择,它并不是从总体最优上加以考虑,他所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。能够得到的解

2、不一定是最优解。概述举例：假设有四种硬币25分、10分、5分、1分若干个。要凑够63分，应该怎样取硬币使得硬币个数最少？描述问题：数组a4存放所取四种硬币 的个数,w4存放四种硬币币值约束条件可行解目标函数4如果把硬币换为：一分、五分、一角一分，而找给顾客如果把硬币换为：一分、五分、一角一分，而找给顾客的是一角五分的是一角五分5背包问题背包问题:共有共有n种物品要装入一个背包中，背包种物品要装入一个背包中，背包可容纳的重量是可容纳的重量是C，每种物品的容量为每种物品的容量为wi，每个物每个物品的价值为品的价值为Vi ，如何装才能获得最大的价值？如何装才能获得最大的价值？q用一个向量（用一个向量

3、（x1,x2,x3,xn）,表示装的个数多少？表示装的个数多少？q约束条件：约束条件：0=xi=1 niiixv1maxnixCxwiniii1,1 ,01q目标函数：目标函数：6假设n=3，C=20， (v1、v2、v3)=(25、24、15)(w1、w2、w3)=(18、15、10)求求niiixv1maxq顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优局部最优选择。q当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路经问题，最

4、小生成树问题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。7 4.1 活动安排问题 活动安排问题就是要在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合相容活动子集合，是可以用贪心算法有效求解的很好例子。该问题要求高效地安排一系列争用某一公共资源的活动。贪心算法提供了一个简单、漂亮的方法使得尽可能多的活动能兼容地使用公共资源。84.1 活动安排问题9 设有n个活动的集合E=1,2,n，其中每个活动都要求使用同一资源，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi,且si fi 。如果选择了活动i，则它在半开

5、时间区间si, fi)内占用资源。 若区间si, fi)与区间sj, fj)不相交，则称活动i与活动j是相容的。也就是说，当sifj或sjfi时，活动i与活动j相容。4.1 活动安排问题templatetemplatevoid void GreedySelector(intGreedySelector(int n, Type s, Type f, n, Type s, Type f, boolbool A) A) A1=true; A1=true; intint j=1; j=1; for ( for (intint i=2;i= i=2;i=fjfj) ) AiAi=true; j=i; =

6、true; j=i; else else AiAi=false;=false; 10下面给出解活动安排问题的贪心算法下面给出解活动安排问题的贪心算法GreedySelectorGreedySelector :各活动的起始时间和各活动的起始时间和结束时间存储于数组结束时间存储于数组s s和和f f中且按结束时间中且按结束时间的非减序排列的非减序排列 4.1 活动安排问题 由于输入的活动以其完成时间的非减序非减序排列，所以算法greedySelector每次总是选择具有最早完成时具有最早完成时间间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也就是说，该算法

7、的贪心选择的意义意义是使剩余的可安使剩余的可安排时间段极大化排时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。 算法greedySelector的效率极高。当输入的活动已按结束时间的非减序排列，算法只需O(n)的时间安排n个活动，使最多的活动能相容地使用公共资源。如果所给出的活动未按非减序排列，可以用O(nlogn)的时间重排。 114.1 活动安排问题 例：例：设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按结束时间的非减序排列如下：i1234567891011Si 130535688212fi 45678910 11 121314124.1 活动安排问题 算法算法greedySelectorgreed

8、ySelector 的计算过程的计算过程如左图所示。如左图所示。图中每行相应于算法的图中每行相应于算法的一次迭代。阴影长条表一次迭代。阴影长条表示的活动是已选入集合示的活动是已选入集合A A的活动，而空白长条的活动，而空白长条表示的活动是当前正在表示的活动是当前正在检查相容性的活动。检查相容性的活动。134.1 活动安排问题 若被检查的活动若被检查的活动i的开始时间的开始时间Si小于最近选小于最近选择的活动择的活动j的结束时间的结束时间fi，则不选择活动，则不选择活动i，否则，否则选择活动选择活动i加入集合加入集合A中。中。 贪心算法并不总能求得问题的贪心算法并不总能求得问题的整体最优解整体最

9、优解。但对于活动安排问题，贪心算法但对于活动安排问题，贪心算法greedySelector却总能求得的整体最优解，即却总能求得的整体最优解，即它最终所确定的相容活动集合它最终所确定的相容活动集合A的规模的规模最大最大。这个结论可以用数学归纳法证明。这个结论可以用数学归纳法证明。144.2 贪心算法的基本要素 本节着重讨论可以用贪心算法求解的问题本节着重讨论可以用贪心算法求解的问题的一般特征。的一般特征。 对于一个具体的问题，怎么知道是否可用对于一个具体的问题，怎么知道是否可用贪心算法解此问题，以及能否得到问题的最优贪心算法解此问题，以及能否得到问题的最优解呢解呢? ?这个问题很难给予肯定的回答

10、。这个问题很难给予肯定的回答。 但是，从许多可以用贪心算法求解的问题但是，从许多可以用贪心算法求解的问题中看到这类问题一般具有中看到这类问题一般具有2 2个重要的性质：个重要的性质：贪贪心选择性质心选择性质和和最优子结构性质。最优子结构性质。 154.2 贪心算法的基本要素1 1、贪心选择性质、贪心选择性质16 所谓所谓贪心选择性质贪心选择性质是指所求问题的是指所求问题的整体最优解整体最优解可以可以通过一系列通过一系列局部最优局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算

11、法的规划算法的主要区别主要区别。 动态规划算法通常以动态规划算法通常以自底向上自底向上的方式解各子问题，的方式解各子问题，而贪心算法则通常以而贪心算法则通常以自顶向下自顶向下的方式进行，以迭代的方的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。题简化为规模更小的子问题。 对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。体最优解。4.2 贪心算法的基本要素

12、当一个问题的最优解包含其子问题当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有的最优解时，称此问题具有最优子结构最优子结构性质性质。问题的最优子结构性质是该问题。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。键特征。 172 2、最优子结构性质、最优子结构性质4.2 贪心算法的基本要素 贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优子结构性质，这是子结构性质，这是2 2类算法的一个共同点。但是，类算法的一个共同点。但是，对于具有对于具有最优子结构最优子结构的问题应该选用贪心算法还是的问题应该选用贪

13、心算法还是动态规划算法求解动态规划算法求解? ?是否能用动态规划算法求解的是否能用动态规划算法求解的问题也能用贪心算法求解问题也能用贪心算法求解? ?下面研究下面研究2 2个经典的个经典的组合组合优化问题优化问题，并以此说明贪心算法与动态规划算法的，并以此说明贪心算法与动态规划算法的主要差别。主要差别。183、贪心算法与动态规划算法的差异4.2 贪心算法的基本要素0-10-1背包问题：背包问题： 给定给定n n种物品和一个背包。物品种物品和一个背包。物品i i的重量是的重量是WiWi，其价值为其价值为ViVi，背包的容量为，背包的容量为C C。应如何选择装入背。应如何选择装入背包的物品，使得装

14、入背包中物品的总价值最大包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? ?19 在选择装入背包的物品时，对每种物品在选择装入背包的物品时，对每种物品i i只有只有2 2种选择，即装入背包或不装入背包。不种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品能将物品i i装入背包多次，也不能只装入部分装入背包多次，也不能只装入部分的物品的物品i i。4.2 贪心算法的基本要素背包问题背包问题： 与与0-10-1背包问题类似，所不同的是在选择物背包问题类似，所不同的是在选择物品品i i装入背包时，装入背包时，可以选择物品可以选择物品i i的一部分的一部分，而不，而不一定要全部装入背包，一定要全部装入背包，1in1

15、in。20 这这2 2类问题都具有类问题都具有最优子结构最优子结构性质，极为相性质，极为相似，但背包问题可以用贪心算法求解，而似，但背包问题可以用贪心算法求解，而0-10-1背包问题却不能用贪心算法求解。背包问题却不能用贪心算法求解。 4.2 贪心算法的基本要素 首先计算每种物品单位重量的价值首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Vi/WiWi，然后，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过背包内的物品总重量未超过C C，则选择单位

16、重量价，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。直地进行下去，直到背包装满为止。 具体算法可描述如下页：具体算法可描述如下页： 21用贪心算法解背包问题的基本步骤：4.2 贪心算法的基本要素void Knapsack(int n,float M,float v,float w,float x)void Knapsack(int n,float M,float v,float w,float x) Sort(n,v,w);Sort(n,v,w); int i; int i; for (i=1;i=n;

17、i+) xi=0; for (i=1;i=n;i+) xi=0; float c=M; float c=M; for (i=1;i=n;i+) for (i=1;ic) break; if (wic) break; xi=1; xi=1; c-=wi; c-=wi; if (i=n) xi=c/wi; if (i=n) xi=c/wi; 22 算法算法knapsackknapsack的主的主要计算时间在于将各种要计算时间在于将各种物品依其单位重量的价物品依其单位重量的价值从大到小排序。因此，值从大到小排序。因此，算法的计算时间上界为算法的计算时间上界为O O（nlognnlogn）。）。为了证

18、明算法的正确性，为了证明算法的正确性，还必须证明背包问题具还必须证明背包问题具有贪心选择性质。有贪心选择性质。4.2 贪心算法的基本要素 对于对于0-10-1背包问题背包问题，贪心选择之所以不能得到，贪心选择之所以不能得到最优解是因为在这种情况下，它无法保证最终能最优解是因为在这种情况下，它无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包空间使每公斤背包将背包装满，部分闲置的背包空间使每公斤背包空间的价值降低了。事实上，在考虑空间的价值降低了。事实上，在考虑0-10-1背包问背包问题时，应比较选择该物品和不选择该物品所导致题时，应比较选择该物品和不选择该物品所导致的最终方案，然后再作出最好选择。由此就

19、导出的最终方案，然后再作出最好选择。由此就导出许多互相重叠的子问题。这正是该问题可用许多互相重叠的子问题。这正是该问题可用动态动态规划算法规划算法求解的另一重要特征。求解的另一重要特征。实际上也是如此，动态规划算法的确可以有实际上也是如此，动态规划算法的确可以有效地解效地解0-10-1背包问题。背包问题。 234.3 最优装载 有一批集装箱要装上一艘载重量有一批集装箱要装上一艘载重量为为c c的轮船。其中集装箱的轮船。其中集装箱i i的重量为的重量为WiWi。最优装载问题要求确定在装载。最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将尽可能体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船。多

20、的集装箱装上轮船。24对最优装载问题进行形式化描述25q用一个向量（用一个向量（x1,x2,x3,xn）,表示装的个数多少？表示装的个数多少？q约束条件：约束条件：xi 0,1 niix1maxnixCxwiniii1,1 ,01q目标函数：目标函数：26 1 1、算法描述、算法描述最优装载问题可用贪心算法求解。最优装载问题可用贪心算法求解。采用重量最轻者先装的贪心选择采用重量最轻者先装的贪心选择策略策略可产生最优装载问题的最优解。可产生最优装载问题的最优解。 4.3 最优装载templatetemplatevoid Loading(void Loading(intint x, Type w,

21、 Type c, x, Type w, Type c, intint n) n) intint * *t = new t = new intint n+1; n+1; Sort(w, t, n); Sort(w, t, n); for ( for (intint i i = 1; = 1; i i = n; = n; i i+) x+) xi i = 0; = 0; for ( for (intint i i = 1; = 1; i i = n & wt = n & wti i = c; = c; i i+) +) xt xti i = 1; c -= wt = 1; c -= wti i;

22、274.3 最优装载2 2、贪心选择性质、贪心选择性质 可以证明最优装载问题具有贪心选择性质。可以证明最优装载问题具有贪心选择性质。 3 3、最优子结构性质、最优子结构性质最优装载问题具有最优子结构性质。最优装载问题具有最优子结构性质。由最优装载问题的贪心选择性质和最优子结构性由最优装载问题的贪心选择性质和最优子结构性质，容易证明算法质，容易证明算法loadingloading的正确性。的正确性。算法算法loadingloading的主要计算量在于将集装箱依其重量的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排序，故算法所需的计算时间为从小到大排序，故算法所需的计算时间为 O(O(nlognnlog

23、n) )。 284.4 哈夫曼编码哈夫曼编码哈夫曼编码是广泛地用于数据文件压缩的十分有效的编码方法。其压缩率通常在20%90%之间。哈夫曼编码算法用字符在文件中出现的频率表来建立一个用0，1串表示各字符的最优表示方式。 给出现频率高的字符较短的编码，出现频率较低的字符以较长的编码，可以大大缩短总码长。1、前缀码对每一个字符规定一个0,1串作为其代码，并要求任一字符的代码都不是其它字符代码的前缀。这种编码称为前缀码前缀码。294.4 哈夫曼编码 编码的前缀性质可以使译码方法非常简单。 表示最优前缀码最优前缀码的二叉树总是一棵完全二叉树完全二叉树，即树中任一结点都有2个儿子结点。平均码长平均码长定

24、义为：使平均码长达到最小的前缀码编码方案称为给定编码字符集C的最优前缀码最优前缀码。30)()()(cdcfTBTCc 4.4 哈夫曼编码2 2、构造哈夫曼编码、构造哈夫曼编码哈夫曼提出构造最优前缀码的贪心算法，由此产生的编码方案称为哈夫曼编码哈夫曼编码。哈夫曼算法以自底向上的方式构造表示最优前缀码的二叉树T。算法以|C|个叶结点开始，执行|C|1次的“合并”运算后产生最终所要求的树T。 314.4 哈夫曼编码 在书上给出的算法huffmanTree中，编码字符集中每一字符c的频率是f(c)。以以f f为键值的优先队列为键值的优先队列Q Q用在贪心选择贪心选择时有效地确定算法当前要合并的2棵具

25、有最小频率的树。一旦2棵具有最小频率的树合并后，产生一棵新的树，其频率为合并的2棵树的频率之和，并将新树插入优先队列Q。经过n1次的合并后，优先队列中只剩下一棵树，即所要求的树T。算法huffmanTree用最小堆实现优先队列Q。初始化优先队列需要O(n)计算时间，由于最小堆的removeMin和put运算均需O(logn)时间，n1次的合并总共需要O(nlogn)计算时间。因此，关于n个字符的哈夫曼算法的计算时间计算时间为O(nlogn) 。324.4 哈夫曼编码3 3、哈夫曼算法的正确性、哈夫曼算法的正确性要证明哈夫曼算法的正确性，只要证明最优前缀码问题具有贪心选择性质贪心选择性质和最优子

26、结构性质最优子结构性质。(1)贪心选择性质(2)最优子结构性质334.5 单源最短路径给定带权有向图给定带权有向图G =(V,E)G =(V,E)，其中每条边的，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定权是非负实数。另外，还给定V V中的一个顶点，中的一个顶点，称为称为源源。现在要计算从源到所有其它各顶点的。现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为和。这个问题通常称为单源最短路径问题单源最短路径问题。1 1、算法基本思想、算法基本思想DijkstraDijkstra算法是解单源最短路径问题的贪算法是解单源

27、最短路径问题的贪心算法。心算法。344.5 单源最短路径基本思想基本思想: :设置顶点集合设置顶点集合S S并不断地作并不断地作贪心选择贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合来扩充这个集合。一个顶点属于集合S S当且仅当从当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，初始时，S S中仅含有源。设中仅含有源。设u u是是G G的某一个顶点，的某一个顶点，把从源到把从源到u u且中间只经过且中间只经过S S中顶点的路称为从源到中顶点的路称为从源到u u的的特殊路径特殊路径，并用数组，并用数组distdist记录当前每个顶点所对记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长

28、度。应的最短特殊路径长度。 DijkstraDijkstra算法每次从算法每次从V-SV-S中取出具有最短特殊路中取出具有最短特殊路长度的顶点长度的顶点u u，将，将u u添加到添加到S S中，同时对数组中，同时对数组distdist作作必要的修改。一旦必要的修改。一旦S S包含了所有包含了所有V V中顶点，中顶点，distdist就记就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。35问题描述:36输入带权有向图输入带权有向图G=(V，E)， V=1，2，n，顶点，顶点V1是源是源Cij表示边表示边(i,j)的权的权disti表示从源到顶点表示从源到顶

29、点vi的最短特殊路径长度的最短特殊路径长度previ表示从源到顶点表示从源到顶点i的最短路径上的最短路径上,结点结点i的前一个顶点。的前一个顶点。输入参数：输入参数：n , v1 , cij输出参数：输出参数：disti, previ算法描述：37基本思想：基本思想：设置顶点集合设置顶点集合S S并不断地作并不断地作贪心选择贪心选择来扩充这个来扩充这个集合。集合。SiSi源点到源点到i i顶点的最短路径是否找到顶点的最短路径是否找到p初始化：初始化：for(ifor(i=1;i=1;i=n;in;i+)+) sisi=0;disti=cv1i;=0;disti=cv1i;Sv1=1,distv

30、1=0;Sv1=1,distv1=0;p每次从每次从V-SV-S中取出具有最短特殊路长度的顶点中取出具有最短特殊路长度的顶点u u，并将，并将u u添添 加到加到S S中中for(numfor(num=2;num=2;num=n;numn;num+)+) 从从dist2dist2到到distndistn 选取一顶点选取一顶点u u且满足且满足susu=0,=0,使使 distudistu=mindist2,dist3,=mindist2,dist3,distndistn; susu=1;=1; 38DijkstraDijkstra算法每次从算法每次从V-SV-S中取出具有最短特殊路长度中取出具

31、有最短特殊路长度的顶点的顶点u u，将，将u u添加到添加到S S中后，同时对数组中后，同时对数组distdist作必要作必要的修改。的修改。for(jfor(j=1;j=1;j=n;jn;j+)+) if(sjif(sj=0&cuj=0&cujmaxintmaxint) ) newdistnewdist= =distu+cujdistu+cuj; if(newdistif(newdist distjdistj) ) distjdistj=newdist;prevjnewdist;prevj=u;=u; 整个过程执行整个过程执行n-1n-1次次4.5 单源最短路径 例如例如，对右图中的有，对右

32、图中的有向图，应用向图，应用DijkstraDijkstra算法计算从源顶点算法计算从源顶点1 1到其它顶点间最短路到其它顶点间最短路径的过程列在下页的径的过程列在下页的表中表中。394.5 单源最短路径迭代迭代S Su udist2dist2 dist3dist3 dist4dist4 dist5dist5初始初始1-10maxint301001 11,221060301002 21,2,44105030903 31,2,4,33105030604 41,2,4,3,551050306040Dijkstra算法的迭代过程： 4.5 单源最短路径2、算法的正确性和计算复杂性算法的正确性和计算复

33、杂性(1)(1)贪心选择性质贪心选择性质(2)(2)最优子结构性质最优子结构性质(3)(3)计算复杂性计算复杂性对于具有对于具有n n个顶点和个顶点和e e条边的带权有向图，如果用条边的带权有向图，如果用带权邻接矩阵表示这个图，那么带权邻接矩阵表示这个图，那么DijkstraDijkstra算法的主循算法的主循环体需要环体需要 时间。这个循环需要执行时间。这个循环需要执行n-1n-1次，所以完次，所以完成循环需要成循环需要 时间。算法的其余部分所需要时间不时间。算法的其余部分所需要时间不超过超过 。41)(nO)(2nO)(2nO4.6 最小生成树 设G =(V,E)是无向连通带权图，即一个网

34、络网络。E中每条边(v,w)的权为cvw。如果G的子图G是一棵包含G的所有顶点的树，则称G为G的生成树。生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费耗费。在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树最小生成树。网络的最小生成树在实际中有广泛应用。例如例如，在设计通信网络时，用图的顶点表示城市，用边(v,w)的权cvw表示建立城市v和城市w之间的通信线路所需的费用，则最小生成树就给出了建立通信网络的最经济的方案。 424.6 最小生成树1 1、最小生成树性质、最小生成树性质用贪心算法设计策略可以设计出构造最小生成树的有效算法。本节介绍的构造最小生成树的PrimPrim算法算法和Kruskal

35、Kruskal算法算法都可以看作是应用贪心算法设计策略的例子。尽管这2个算法做贪心选择的方式不同，它们都利用了下面的最小生成树性质最小生成树性质：设G=(V,E)是连通带权图，U是V的真子集。如果(u,v)E，且uU，vV-U，且在所有这样的边中，(u,v)的权cuv最小，那么一定存在G的一棵最小生成树，它以(u,v)为其中一条边。这个性质有时也称为MSTMST性质性质。 434.6 最小生成树2 2、PrimPrim算法算法 设G=(V,E)是连通带权图，V=1,2,n。构造G的最小生成树的Prim算法的基本思想基本思想是：首先置S=1，然后，只要S是V的真子集，就作如下的贪心选贪心选择择：

36、选取满足条件iS，jV-S，且cij最小的边，将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S=V时为止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小最小生成树生成树。 444.6 最小生成树利用最小生成树性质和数学归纳法容易证明，上述算法中的边集合边集合T T始终始终包含包含G G的某棵最小生成树中的某棵最小生成树中的边。的边。因此，在算法结束时，T中的所有边构成G的一棵最小生成树。 例如例如，对于右图中的带权图，按PrimPrim算法算法选取边的过程如下页图所示。45利用最小生成树性质和数学归纳法容易证明，上述算法中的边集合边集合T T始终始终包含包含G G的某棵最小生成树中的某棵最小生成树中的

37、边。的边。因此，在算法结束时，T中的所有边构成G的一棵最小生成树。 例如例如，对于右图中的带权图，按PrimPrim算法算法选取边的过程如下页图所示。4.6 最小生成树464.6 最小生成树在上述Prim算法中，还应当考虑如何有效地找出如何有效地找出满足条件满足条件i i S,jS,j V V-S-S，且权，且权cijcij 最小的边最小的边( (i,ji,j) )。实现这个目的的较简单的办法是设置2个数组closest和lowcost。在Prim算法执行过程中，先找出V-S中使lowcost值最小的顶点j，然后根据数组closest选取边(j,closestj)，最后将j添加到S中，并对cl

38、osest和lowcost作必要的修改。用这个办法实现的Prim算法所需的计算时间计算时间为 47)(2nO4.6 最小生成树3 3、KruskalKruskal算法算法Kruskal算法构造G的最小生成树的基本思想基本思想是，首先将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支。将所有的边按权从小到大排序。然后从第一条边开始，依边权递增的顺序查看每一条边，并按下述方法连接2个不同的连通分支：当查看到第k条边(v,w)时，如果端点v和w分别是当前2个不同的连通分支T1和T2中的顶点时，就用边(v,w)将T1和T2连接成一个连通分支，然后继续查看第k+1条边；如果端点v和w在当前的同一个连通分支中，就直接再

39、查看第k+1条边。这个过程一直进行到只剩下一个连通分支时为止。 484.6 最小生成树例如，例如，对前面的连通带权图，按Kruskal算法顺序得到的最小生成树上的边如下图所示。494.6 最小生成树关于集合的一些基本运算集合的一些基本运算可用于实现Kruskal算法。 按权的递增顺序查看等价于对优先队列优先队列执行removeMinremoveMin运算。可以用堆堆实现这个优先队列。 对一个由连通分支组成的集合不断进行修改，需要用到抽象数据类型并查集并查集UnionFindUnionFind所支持的基本运算。当图的边数为e时，Kruskal算法所需的计算时间计算时间是 。当 时，Kruskal

40、算法比Prim算法差，但当 时，Kruskal算法却比Prim算法好得多。50)log(eeO)(2ne)(2noe 4.7 多机调度问题多机调度问题多机调度问题要求给出一种作业调度方案，使要求给出一种作业调度方案，使所给的所给的n n个作业在个作业在尽可能短尽可能短的时间内由的时间内由m m台机器加台机器加工处理完成。工处理完成。这个问题是这个问题是NPNP完全问题完全问题，到目前为止还没有有，到目前为止还没有有效的解法。对于这一类问题效的解法。对于这一类问题, ,用用贪心选择策略贪心选择策略有时有时可以设计出较好的近似算法。可以设计出较好的近似算法。51 约定，每个作业均可在任何一台机器上

41、加工处理，但未约定，每个作业均可在任何一台机器上加工处理，但未完工前不允许中断处理。作业不能拆分成更小的子作业。完工前不允许中断处理。作业不能拆分成更小的子作业。 4.7 4.7 多机调度问题多机调度问题采用采用最长处理时间作业优先最长处理时间作业优先的贪心选择策略可的贪心选择策略可以设计出解多机调度问题的较好的近似算法。以设计出解多机调度问题的较好的近似算法。按此策略，当按此策略，当 时，只要将机器时，只要将机器i i的的0, 0, titi 时间区间分配给作业时间区间分配给作业i i即可，算法只需要即可，算法只需要O(1)O(1)时间。时间。当当 时，首先将时，首先将n n个作业依其所需的

42、处个作业依其所需的处理时间从大到小排序。然后依此顺序将作业分配理时间从大到小排序。然后依此顺序将作业分配给空闲的处理机。算法所需的计算时间为给空闲的处理机。算法所需的计算时间为O(nlognO(nlogn) )。52mn mn 4.7 多机调度问题例如，例如，设设7 7个独立作业个独立作业1,2,3,4,5,6,71,2,3,4,5,6,7由由3 3台台机器机器M1M1，M2M2和和M3M3加工处理。各作业所需的处理时加工处理。各作业所需的处理时间分别为间分别为2,14,4,16,6,5,32,14,4,16,6,5,3。按算法。按算法greedygreedy产生产生的作业调度如下图所示，所需

43、的加工时间为的作业调度如下图所示，所需的加工时间为1717。 5354练习练习1：装箱问题装箱问题 设有编号为设有编号为0,1,n-1的的n种物品，体积分别为种物品，体积分别为V0,V1,Vn-1。将这。将这n种物品装到容量都为种物品装到容量都为V的若干箱子里。的若干箱子里。约定这约定这n种物品的体积均不超过种物品的体积均不超过V，要求使装进这，要求使装进这n种物品的种物品的箱子数要少。箱子数要少。 对适当大的对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即

44、贪心法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱即贪心法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。好的解。 设有设有6种物品，它们的体积分别为：种物品，它们的体积分别为：60,45,35,20,20,20单单位体积，箱子的容量为位体积，箱子的容量为100单位体积。单位体积。 按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：1,3、2,4,5、6，而最优解为两只箱子。，而最优解为两只箱子。55算法：算法：输入箱子的容积输入箱子的容积; 输

45、入物品种数输入物品种数n; 按体积从大到小顺序，输入各品种的体积按体积从大到小顺序，输入各品种的体积; 预置已用箱子链为空预置已用箱子链为空; for(i=0;in;i+) 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品的箱子从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品的箱子j; if(已用箱子都不能再放物品已用箱子都不能再放物品i) 另用一只箱子另用一只箱子,并将物品并将物品i放入该箱子放入该箱子; boxcount+; else 将物品将物品i放入箱子放入箱子j; 56练习练习2:删数问题删数问题键盘输入一个正整数键盘输入一个正整数N，去掉其中任意，去掉其中任意S个数字后剩个数字后剩下的数字按左右次

46、序组成一个新的正整数。对给定下的数字按左右次序组成一个新的正整数。对给定的的N和和S，寻找一种删数规则使得剩下的数字组成的，寻找一种删数规则使得剩下的数字组成的新数最小。新数最小。57#include string.hmain() char n10; /*键盘输入的正整数键盘输入的正整数*/ int s; /*要删除的数字个数要删除的数字个数*/ int i,j,k; printf(input the number:); scanf(%s,n); printf(ninput the delete number); scanf(%d,&s); for(i=1;i=s;i+) for(j=0;jstrlen(n);j+) if() for(k=j;knj+1 nk=0