高等代数第9章欧几里得空间习题-ppt课件.ppt

1、第第9 9章章 欧几里得空间习题课欧几里得空间习题课 n1 1 定义与基本性质定义与基本性质n2 2 标准正交基的定义及求法标准正交基的定义及求法n3 3 正交变换，对称变换正交变换，对称变换n4 4 子空间的正交补子空间的正交补n5 5 实对称矩阵的标准形实对称矩阵的标准形n6 6 向量到子空间的距离向量到子空间的距离1ppt课件1 1 定义与基本性质定义与基本性质定义定义 设设V是实数域是实数域R上的线性空间上的线性空间,在在V上上定义了一个二元实定义了一个二元实函数函数, 即对于即对于V中任意两个中任意两个向量向量 , , 都有惟一确定的实数与之对应都有惟一确定的实数与之对应, 该实数记

2、作该实数记作( , ), ), 它满足如下性质它满足如下性质: : (1)( , )=( , ); (2)( + , )= ( , ) + ( , ); (3) (k , )= k( , ); (4) ( , ) 0, ( , )=0当且仅当当且仅当 =0.2ppt课件例例1 在线性空间在线性空间Rn中，对于向量中，对于向量 =(a1, a2, , an)， = (b1, b2, , bn)定义定义 ( , ) = a1b1+a2b2+anbn则则 Rn是一个欧几里得空间是一个欧几里得空间, 仍用仍用Rn来表示来表示 其中其中 , , 都是都是V中向量中向量, k为任意实数为任意实数.则称则称

3、( , )为向量为向量 与与 的的内积内积 定义了内积的实线性空间称为定义了内积的实线性空间称为欧几里得空间欧几里得空间 3ppt课件内积的性质内积的性质 (1) ( , k )=(k , )= k( , )= k( , ); (2) ( , + )= ( + , )= ( , ) + ( , ); = ( , ) + ( , ); (3) ( , 0)=0.1111(4)(,)(,).nmnmiijjijijijijklk l 4ppt课件n二二. . 长度与夹角长度与夹角n由于由于( , ) 0, 在欧氏空间可引进向量在欧氏空间可引进向量 的的长度的概念长度的概念定义定义 在欧氏空间中在欧

4、氏空间中, ,非负实数非负实数 称为向量称为向量 的的长度长度, , 记作记作 由于由于( , ) 0, ,所以向量的长度一般所以向量的长度一般是非负数是非负数, , 有且仅有零向量的长度才是零有且仅有零向量的长度才是零 长度为的向量称为长度为的向量称为单位向量单位向量. . ),( 5ppt课件如果如果 0, , 则则 是一个单位向量是一个单位向量. .通常称此过程为把通常称此过程为把 单位化单位化 1定理定理( (Cauchy-Schwarz不等式不等式) )设设V是欧氏空间，则关于任意是欧氏空间，则关于任意 , V，有，有 ( , ) ,且等号成立当且仅当且等号成立当且仅当 与与 线性相

5、关。线性相关。6ppt课件定义定义 在欧氏空间在欧氏空间V中中, 任意两个非零向量任意两个非零向量 , 之间的之间的夹角夹角定义为定义为注注(1) 显然有显然有0 (2)由由C-S不等式不等式,上述定义有意义上述定义有意义.定义定义 设设V是欧氏空间是欧氏空间, 对对 , V, 如果如果 ( , ) = 0则称则称 与与 正交正交, 记作记作 . 零向量零向量0与任何向量正交与任何向量正交. . ),(arccos,7ppt课件定理定理 在在欧氏空间中，下述式子成立：欧氏空间中，下述式子成立： (1) 三角形不等式三角形不等式: + + ; (2) 勾股定理勾股定理: 当当 时时, + 2=

6、2+ 2.8ppt课件定理定理 在在欧氏空间中勾股定理成立：欧氏空间中勾股定理成立：设设 1 1, , 2 2, , , s s两两正交，两两正交，则则 1+ 2+ s 2 = 1 2+ 22 + + s 29ppt课件n三三. . 度量矩阵度量矩阵n定义定义 设设 1, 2, n是是n维欧氏空间维欧氏空间V的一组基的一组基, , 作矩阵作矩阵 称称A为基为基 1, 2, , n的的度量矩阵度量矩阵),(,(),(),(),(),(),(),(),()nnnnnnA 21222121211110ppt课件度量矩阵性质度量矩阵性质 （1 1）度量矩阵是对称矩阵度量矩阵是对称矩阵（2 2）设）设A

7、为基为基 1， n的度量矩阵。的度量矩阵。若若 =x1 1+xn n, =y1 1+yn n,则则 ( , )=XTAY, 其中其中X,Y为为 , 的坐标列向量。的坐标列向量。11ppt课件（3 3）度量矩阵是正定矩阵）度量矩阵是正定矩阵. .因为因为 关于关于 X 0, , ( , )= XTAX0. .（4 4）不同基的度量矩阵是合同的。）不同基的度量矩阵是合同的。（5 5）每一个）每一个n阶正定矩阵都可作为阶正定矩阵都可作为Rn中中某个基的度量矩阵（见习题某个基的度量矩阵（见习题1 1）。）。 12ppt课件2 2 标准正交基的定义与求法标准正交基的定义与求法一一. . 正交向量组正交向

8、量组定义定义 设设 1, 2, s是一组非零实向量是一组非零实向量, ,如果它们两两正交如果它们两两正交, ,则称为则称为正交向量组正交向量组; ; 如果其中每个向量的长度都是如果其中每个向量的长度都是1 1, ,则称则称为为正交单位向量组正交单位向量组( (或标准正交向量组或标准正交向量组).).13ppt课件事实事实 向量组向量组 1, 2, , s是一个是一个标准标准正交向量组正交向量组, , 当且仅当当且仅当.,),(jijiji01 14ppt课件定理定理 正交向量组是线性无关的正交向量组是线性无关的推论推论 n维欧氏空间维欧氏空间V中中, 两两正交的非零两两正交的非零向量的个数不会

9、超过向量的个数不会超过n二二. . 正交基正交基定义定义 在在n维欧氏空间中维欧氏空间中, 由由n个两两个两两正交的非零向量构成的向量组称为正交的非零向量构成的向量组称为正交基正交基. . 由单位向量组成的正交基称为由单位向量组成的正交基称为标准正交基标准正交基. .15ppt课件 一组基是标准正交基当且仅当它的度一组基是标准正交基当且仅当它的度量矩阵是单位矩阵量矩阵是单位矩阵. .定理定理 设设 1, 2, n是是n维欧氏空间维欧氏空间V的的一组标准正交基一组标准正交基, 对对 , V,设向量设向量 , 的的坐标分别是坐标分别是X=(x1,x2,xn)T, Y=(y1,y2,yn)T则则 (

10、1) xi = ( , i ) i=1,2,n (2) (2) ( , )=XTY=x1y1+x2y2+xnyn.。16ppt课件三三. . 求标准正交基的办法：求标准正交基的办法： Schmidt正交化方法正交化方法 定理定理 n维欧氏空间中任一个正交向量维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基组都能扩充成一组正交基. . 17ppt课件定理定理 设设 1, 2, , m是欧氏空间是欧氏空间V中一组线性无关的向量中一组线性无关的向量, ,则一定存在则一定存在一个正交单位向量组一个正交单位向量组 1, 2, , m, 使得使得 1, 2, , i与与 1, 2, , i 等价等价( i

11、 = 1, 2, , m )18ppt课件令令 1= 1, ,若已构作出正交向量组若已构作出正交向量组 1, 2, j-1,则令则令 121211221111(,)(,)(,)(,)(,)(,)1,.,jjjjjjjjjjm 19ppt课件然后将正交向量组然后将正交向量组 1, 2, m单位化单位化即令即令 则向量组则向量组 1, 2, , m即为与向量组即为与向量组 1, 2, m等价的正交单位向量组等价的正交单位向量组 ),(,miiii21 20ppt课件四四. . 正交矩阵正交矩阵定义定义 设设A是是n阶实矩阵阶实矩阵, 如果满足如果满足 ATA = AAT = E则称则称A为为正交矩

12、阵正交矩阵 (orthogonal matrix) 21ppt课件正交矩阵性质定理定理 设设A, B都是都是n阶正交矩阵，阶正交矩阵，则则 (1) A = 1; (2) A可逆可逆, 且且A1 = AT; (3) AT(即即A1 )也是正交矩阵也是正交矩阵; (4) AB也也是正交矩阵是正交矩阵. .22ppt课件定理定理 n阶实矩阵阶实矩阵A是正交矩阵的是正交矩阵的充要条件是充要条件是, A的列的列( (行行) )向量组为向量组为Rn的的正交单位向量组正交单位向量组( (标准正交基标准正交基).). 23ppt课件n定理定理 设设 1, 2, , n与与 1, 2, n是欧氏空间是欧氏空间V

13、中两组基中两组基, 由基由基 1, 2, , n到基到基 1, 2, n的过渡矩的过渡矩阵是阵是C。若若 1, 2, , n是标准正交是标准正交 基，基， 则则C是正交矩阵是正交矩阵, 当且仅当当且仅当 1, 2, n是标准正交基。是标准正交基。 24ppt课件4 正交变换，对称变换正交变换，对称变换一一. . 定义定义定义定义 若若A A是欧氏空间是欧氏空间V的线性变换的线性变换, , 如如果它保持向量的内积不变果它保持向量的内积不变, , 即即 ( (A A , , A A ) = () = ( , , ) ) , , V V, ,则称则称A A是是正交变换正交变换.25ppt课件定义定义

14、 设设A A是欧氏空间是欧氏空间V上的一个线性变上的一个线性变换换,如果满足如果满足 (A A , )=( , A A )则称则称A A是是对称变换对称变换.定理定理 n维维欧氏空间欧氏空间V上的一个线性变换上的一个线性变换A A是对称变换的充分必要条件为是对称变换的充分必要条件为:A A在任何在任何（某）一组标准正交基下的矩阵都是（某）一组标准正交基下的矩阵都是对称矩阵对称矩阵. .26ppt课件定理定理 设设A A是是n维欧氏空间维欧氏空间V的一个线性变的一个线性变换。则下面几个命题相互等价：换。则下面几个命题相互等价： (1) A A是正交变换是正交变换; (2) A A保持向量的长度不

15、变保持向量的长度不变, 即即 V,有有 A A = ; (3) A A保持向量间的距离不变保持向量间的距离不变, 即即 ， V,有有 A A( )- A A( ) = - ; (4)若若 1, 2, n是标准正交基是标准正交基,则则A A 1, A A 2,A A n也是标准正交基也是标准正交基; (5) A A在任一组标准正交基下的矩阵是正在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵交矩阵. .27ppt课件注注: : (1) (1)因为正交矩阵可逆因为正交矩阵可逆, ,故正交变换也故正交变换也可逆可逆. . (2) (2)正交变换作为欧氏空间的自同构正交变换作为欧氏空间的自同构, ,其其乘积和逆也

16、是正交变换乘积和逆也是正交变换. . (3) (3)在标准正交基下在标准正交基下, ,正交变换与正交矩正交变换与正交矩阵对应，对称变换与对称矩阵对应。阵对应，对称变换与对称矩阵对应。28ppt课件引理引理 设设A A是欧氏空间是欧氏空间V上的一个对称上的一个对称变换变换, W是是A A-子空间子空间, 则则W 也也是是A A-子子空间空间.设设A A是欧氏空间是欧氏空间V上的一个正交变换上的一个正交变换, W是是A A-子空间子空间, 则则W 也也是是A A-子空间子空间.29ppt课件4 4 子空间的正交补子空间的正交补一一. . 正交正交定义定义 设设V1,V2是欧氏空间是欧氏空间V中两个

17、子空中两个子空间间.如果对于任意的如果对于任意的 V1, V2,恒有恒有( , )=0.则称则称V1,V2是是正交的正交的,记为记为V1 V2. 对于向量对于向量 V，如果关于任意的如果关于任意的 V1,恒有恒有( , ) =0.则称则称 与子空间与子空间V1正交正交,记为记为 V1. . 30ppt课件性质（1 1）若）若 V1, 且且 V1, 则有则有 =0.（2 2）若）若V1 V2,则则V1V2=0 ; ;定理定理 如果子空间如果子空间V1,V2,VS两两正交两两正交,那么和那么和V1+V2+VS是直和是直和. .31ppt课件定义定义 子空间子空间V2称为子空间称为子空间V1的的正交

18、补正交补,如果如果V1 V2,并且并且V1+V2=V.注注 正交补的概念是相互的正交补的概念是相互的. 定理定理 n维欧氏空间维欧氏空间V的每一个子空间的每一个子空间V1都有唯一的正交补都有唯一的正交补. .32ppt课件注注 V1 的唯一正交补记作的唯一正交补记作V1 .显然有显然有 dimV1 + dimV1 = dimV =n.推论推论 V1 恰由与恰由与V1 正交的向量组成正交的向量组成, 即即 V1 = V V1.内射影内射影 设设 V= V1 V1 则关于则关于 V, = 1+ 2, 其中其中 1 V1, 2 V1 , 就称就称 1为向量为向量 在子在子空间空间V1上的上的内射影内

19、射影. .33ppt课件5实对称矩阵的标准形实对称矩阵的标准形 定理定理 实对称矩阵实对称矩阵A的特征值都是实数。的特征值都是实数。引理引理 设设A A是对称变换是对称变换(A是对称矩阵是对称矩阵), 则属于则属于A A（A) )的不同特征值的特征向量必的不同特征值的特征向量必正交正交.34ppt课件定理定理 对于对于n 维欧氏空间维欧氏空间V 上任意一个上任意一个对称变换对称变换A A,都存在都存在V的一组标准正交基的一组标准正交基,使得使得A A在在该基下矩阵为对角矩阵。该基下矩阵为对角矩阵。35ppt课件推论推论 对于任意一个对于任意一个n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A,都存在一个都存在一个

20、n阶正交矩阵阶正交矩阵T,使得使得 TTAT=T-1AT成对角形成对角形. .36ppt课件根据上述结论，利用正交矩阵将实根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：为： 利用正交矩阵将实对称矩阵利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法对角化的方法1. . 解特征方程解特征方程0,EA 求出对称矩阵求出对称矩阵 的全部不同的特征值。的全部不同的特征值。A37ppt课件()0iEA X 即即求求齐齐次次线线性性方方程程组组的的基基础础解解系系。2.2.对每个特征值对每个特征值 ，求出对应的特征向量，求出对应的特征向量，i 3.3.将属于每个将属

21、于每个 的特征向量先正交化，再单位化。的特征向量先正交化，再单位化。i 38ppt课件这样共可得到这样共可得到n 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量有有1TA T 12,n 4.4.以以 为列向量构成正交阵为列向量构成正交阵12(,)nT 12,n 39ppt课件即即111rrTAT 必须注意：对角阵中必须注意：对角阵中 的顺序要与特征向量的顺序要与特征向量 的排列次序一致。的排列次序一致。12,n 12,n 40ppt课件定理（主轴定理）：定理（主轴定理）：任给二次型任给二次型,1,AXXxxafTnjijiij 总有正交变换总有正交变换,CYX 使之化为标准形使之化为标准形2

22、222211nnyyyf . 21的全部特征值的全部特征值矩阵矩阵的对称的对称是二次型是二次型，其中其中Afn 二次型的语言二次型的语言41ppt课件用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,. 1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 42ppt

23、课件6 向量到子空间的距离，最小二乘法向量到子空间的距离，最小二乘法n一. 向量到子空间的距离向量到子空间的距离欧氏空间欧氏空间V的两个向量的两个向量 和和 的的距离定义为距离定义为: : n d( , ) = - n距离的性质距离的性质: :nd( , )=d( , ); nd( , ) 0, 并且仅当并且仅当 = 时等号成立时等号成立; nd( , ) d( , ) + d( , ) ( (三角不等式三角不等式) ) 43ppt课件命题命题 设设W是是欧氏空间欧氏空间V的一个子空间的一个子空间, 是是V中的一个向量中的一个向量. 又设又设 是是W中一个向中一个向量量, 使使 - 垂直于垂直

24、于W, 则对则对W中任一向量中任一向量 ,都有都有 - - 44ppt课件反过来，反过来，设设W是是欧氏空间欧氏空间V的一个子空间的一个子空间, 是是V中的一个向量中的一个向量. 又设又设 是是W中一个向量中一个向量, 若对若对W中任一向量中任一向量 , ,都有都有 - - , 则则 - 垂直于垂直于W。45ppt课件二二. . 最小二乘法最小二乘法n最小二乘问题最小二乘问题: :实系数线性方程组实系数线性方程组可能无解可能无解, ,即任一组实数即任一组实数x1, x2, ,xs,都使都使 (1)(1)不等于零不等于零. .nsnsnnssssbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211

25、2222212111212111niisisiibxaxaxa122211)(46ppt课件现设法找现设法找x10, x20, ,xs0, 使使(1)(1)为最小为最小, , 称此称此x10, x20, ,xs0为方程组为方程组的最小二乘解的最小二乘解; ; 此类问题称为此类问题称为最小二乘问题最小二乘问题. .niisisiibxaxaxa122211)(47ppt课件 ATAX=ATB.这就是最小二乘法所满足的代数方程这就是最小二乘法所满足的代数方程, 它是一个线性方程组它是一个线性方程组, 系数矩阵是系数矩阵是ATA, 常数项是常数项是ATB.这种线性方程组总是有这种线性方程组总是有解的

26、解的.（为什么？为什么？）48ppt课件例例1 1 设设A是是n阶实反对称矩阵，则阶实反对称矩阵，则1()()UEA EA （1 1）E+A 可逆；可逆； (2)(2)是正交矩阵是正交矩阵。解解 (1)(1)（法一）（法一）因为因为A反对称，故它的特征值只反对称，故它的特征值只能是能是0或纯虚数，从而或纯虚数，从而-1不是不是A的特征值，故的特征值，故E+A可逆。可逆。49ppt课件例例1 1 设设A是是n阶实反对称矩阵，则阶实反对称矩阵，则1()()UEA EA 0000000000()0XEA XX XX AXX XX（1 1）E+A 可逆；可逆； (2)(2)是正交矩阵是正交矩阵。解解

27、(1)（法二）（法二）若若E+A不可逆，则方程组不可逆，则方程组(E+A)X=0有非零解有非零解X0. 从而从而矛盾。矛盾。50ppt课件例例1 1 设设A是是n阶实反对称矩阵，则阶实反对称矩阵，则1()()UEA EA 1 1111() ()() ()() ()()() () ()UEAEAEAEAEAEAUUEA EAEAEAE （1 1）E+A 可逆；可逆； (2)(2)是正交矩阵是正交矩阵。解解 (2)1111() ()() () .SinceEAEAEAEA51ppt课件例例2 2 设设A A是是n维欧氏空间维欧氏空间V上的线性变换，则上的线性变换，则下任两条可推出第三条：下任两条可

28、推出第三条：2(1) (3)(2)( ,) (,)(3)(, )(1).AAAfromAfrom 2(2)(3)(1)( ,)(,)(3)(,)(2).AfromAAfrom （1）A A 是正交变换；是正交变换； (2) A A 是对称变换是对称变换； (3) A A 2=E E.证证52ppt课件例例2 2 设设A A是是n维欧氏空间维欧氏空间V上的线性变换，则上的线性变换，则下任两条可推出第三条：下任两条可推出第三条：（1）A A 是正交变换；是正交变换； (2) A A 是对称变换是对称变换； (3) A A 2=E E.证证22222222(2)(1)(3)(,)(,)2( ,)(

29、,)( ,)2( ,)( ,)(1)( ,)2(,)( ,)(2)0(1).0.AAAAAAfromAAfromfromAAE 53ppt课件例例3 3 设设V1 ,V2是是n维欧氏空间维欧氏空间V的子空间，且的子空间，且dimV1 dimV2 , ,则则V2中有非零向量与中有非零向量与V1 正交正交. .210.VV 21dim()0.VV 证证 将结论翻译成另一语言将结论翻译成另一语言只需证明只需证明21212111dim()dim()dim()dim()dim()dim()0.VVVVVVnVV 54ppt课件例例4 4 设设W是是R R3 3中过点中过点（0,0,0),(1,2,2,)

30、,(3,4,0)的平的平面。求点面。求点A(5,0,0)到平面到平面W的最短距离的最短距离. .(1,2,2),(3,4,0),(5,0,0) 解解 令令问题化为求问题化为求到到的距离的距离( ,)WL 即求即求12,. .(,)0,(,)0.xxWs tW 55ppt课件(1,2,2),(3,4,0),(5,0,0) 解解 令令问题化为求问题化为求到到的距离的距离( ,)WL 即求即求12,. .(,)0,(,)0.xxWs t 1212122222121219115011251504080,104104200(35)(24)423461023xxxxxxxxxxx 56ppt课件例例5 5

31、 设三阶实对称矩阵设三阶实对称矩阵A的特征值为的特征值为1,2,-2.1,2,-2. 是属于是属于1 1的特征向量。的特征向量。记记 B=A5- 4A3+E.(1)求求B的特征值与特征向量；的特征值与特征向量；(2)求矩阵求矩阵B. .112B 1(1, 1,1)T 解解 （1）B的特征值为的特征值为-2，1，1.属于属于1的特征向量与的特征向量与 正交。解方程组正交。解方程组得基础解系得基础解系所以属于所以属于1的线性无关特征向量是的线性无关特征向量是.(1,1,0) ,(1,0, 1)TT 1230.xxx1 .(1,1,0) ,(1,0, 1)TT 57ppt课件111326111326

32、12036T 解解 （2）令）令201111011110T BTB 58ppt课件例例6 6 设设 是是V 的一组基，其度量矩阵为的一组基，其度量矩阵为 令令(1)求求W 的一组标准正交基；的一组标准正交基；(2)求求W 的正交补的维数与一组基的正交补的维数与一组基. .221231112 123, 解解 （1）令）令单位化得单位化得W 的一组标准正交基的一组标准正交基1112223112111,()2 11223122313111,(,).(,) 1223(,).WL 59ppt课件3123,W3132331213112233133(,)(,)1().(,)(,)211()6 解解 （2）易

33、见）易见为为W的正交补一组标准正交基。的正交补一组标准正交基。13().WL 是是V 的一组基。的一组基。令令3 60ppt课件证明证明n 维欧氏空间中两两互为钝角的向量维欧氏空间中两两互为钝角的向量个数不超过个数不超过n+1个。个。两种方法两种方法61ppt课件法法1 1：先证事实：设：先证事实：设则则 的任何真子组线性无关。的任何真子组线性无关。设有某个真子组线性相关，适当交换次序，不妨设设有某个真子组线性相关，适当交换次序，不妨设 线性相关。线性相关。11,.,(,)0()mijVij 11,.,m 1,.,m62ppt课件设设 线性相关。则线性相关。则1,.,m11221111.iii

34、iimmkkkkk可以断言可以断言ki不能都大于不能都大于0，也不能都小于等于，也不能都小于等于0.可设可设1111111111111111.,.,0,.,0.0(,.)(.,.)(.,.)0.issssttsstissssssssssttllllllllllllllllll 63ppt课件法法2 2：对维数：对维数n n进行归纳。进行归纳。当当n=1n=1时，结论显然成立。时，结论显然成立。假设对假设对n-1n-1时成立。在时成立。在V V中任取一组两两互为钝角的向中任取一组两两互为钝角的向量量令令11(),2,., .iiiiWLkWik 1,.,k1111111(,)(,)(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0ijijijiiiijijijk kkkk k 64ppt课件即即W的正交补中有的正交补中有k-1个两两互为钝角的向量，由个两两互为钝角的向量，由归纳假设，归纳假设，11.knkn65ppt课件