旋转体的体积-ppt课件.ppt

1、1PPT课件 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台一、旋转体的体积一、旋转体的体积2PPT课件一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄

2、片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy 3PPT课件y例例 1 1 连接坐标原点连接坐标原点O及点及点),(rhP的直线、直线的直线、直线hx 及及x轴围成一个直角三角形将它绕轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋轴旋转构成一个底半径为转构成一个底半径为r、高为、高为h的圆锥体，计算的圆锥体，计算圆锥体的体积圆锥体的体积r解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ，xo直线直线 方程为方程为OP4PPT课件以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形

3、绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为dxxhrdV2 圆圆锥锥体体的的体体积积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo5PPT课件a aoyx例例 2 2 求求星星形形线线323232ayx )0( a绕绕x轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋转体的体积旋转体的体积dxxaVaa33232 .105323a 6PPT课件及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体旋转体(旋转椭球体)的体积体积元素为于是所求旋转椭球体的体积为abxyOdV y 2dx ， 例3 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转

4、而成的12222byax 解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆22xaabyV y 2dxaa (a 2x 2)dxaa22ab a 2x x 322ab31aa a b 234ab22xaaby7PPT课件 类类似似地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(yx 、直直线线cy 、dy 及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为xyo)(yx cddyy2)( dcV8PPT课件解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)cosco

5、s3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy9PPT课件绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积可可看看作作平平面面图图OABC与与OBC分分别别绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积之之差差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 10PPT课件补充补充 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直线直线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y

6、轴旋转一周而成的立体，体积为轴旋转一周而成的立体，体积为dxxfxVbay| )(|2 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 11PPT课件例例 4 4 求由曲线求由曲线24xy 及及0 y所围成的图形所围成的图形绕直线绕直线3 x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dy

7、PQM12PPT课件xoab二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积13PPT课件例例 5 5 一一平平面面经经过过半半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底

8、底面面交交成成角角 ，计计算算这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积.RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 14PPT课件例例 6 6 求求以以半半径径为为R的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于底底圆圆半半径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积.解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂直于垂直于

9、x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 15PPT课件旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结三、小结16PPT课件思考题思考题 求求曲曲线线4 xy，1 y，0 x所所围围成成的的图图形形绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.17PPT课件思考题解答思考题解答xyo 14yxy交点交点),1 , 4(立体体积立体体积dyxVy 12dyy 1

10、216 116y.16 1 y18PPT课件一、一、 填空题：填空题：1 1、 连续曲线连续曲线,)(xfy 直线直线ax ，bx 轴轴及及 x所所围图形围图形轴轴绕绕 x旋 转 一周 而成的 立体的体 积旋 转 一周 而成的 立体的体 积 v_，轴轴绕绕 y旋转一周而成的立体的旋转一周而成的立体的体体 v积积_；2 2、 badxxfv)(常用来表示常用来表示_立立体的体积；体的体积；3 3、 抛物线抛物线axy42 及直线及直线)0(00 xxx所围成的图所围成的图形形轴轴绕绕 x旋转而成的立体的体积旋转而成的立体的体积_；4 4、 0, 0,cosh yaxxaxay所围成的图所围成的图

11、x形绕形绕轴旋转而成的立体的轴旋转而成的立体的 v体积体积_；练练 习习 题题19PPT课件二、二、 有一铁铸件，它是由抛物线有一铁铸件，它是由抛物线、2101xy 11012 xy与直线与直线10 y围成的图形，围成的图形，轴轴绕绕 y旋旋转而成的旋转体，算出它的质量转而成的旋转体，算出它的质量（长度单位是厘（长度单位是厘米，铁的密度是米，铁的密度是38 . 7厘厘米米克克）. .三、三、 把星形线把星形线323232ayx 轴轴绕绕 x旋转，计算所得旋转旋转，计算所得旋转体的体积体的体积 . .四、四、 求摆线求摆线)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱，的一拱，0 y，绕直线，

12、绕直线ay2 旋转所成旋转体的体积旋转所成旋转体的体积. .20PPT课件五、五、 求求222ayx 绕绕)0( abbx旋转所成旋转旋转所成旋转体的体积体的体积 . .六、六、 设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为长分别为和和BA 2,2ba 2,2, ,h高为高为，求这截锥体，求这截锥体的体积的体积 . .七、七、 设直线设直线baxy 与直线与直线0 x，1 x及及0 y所围所围成梯形面积等于成梯形面积等于A，试求，试求ba ,使这个梯形使这个梯形轴轴绕绕 y旋转所得体积最小旋转所得体积最小 . .21PPT课件一、一、1 1、 badxxf)(2, , badxxxf)(2；2 2、已知平行截面面积的；、已知平行截面面积的； 3 3、202 ax ；4 4、2243sha . .二、二、 ( (克克) . ) . 三、三、310532a . . 四、四、327a . .五、五、ba222 . . 六、六、)(261bAaBABabh . .七、七、Aba ,0. .练习题答案练习题答案22PPT课件