正交设计终身受益-PPT课件.ppt

1、正交试验设计正交试验设计 在试验研究中，对于单因素或两因素试验，在试验研究中，对于单因素或两因素试验，因其因素少因其因素少 ，试验的设计，试验的设计 、实施与分析都比较简、实施与分析都比较简单单 。但在实际工作中。但在实际工作中 ，常常需要同时考察，常常需要同时考察 3个或个或3个以上的试验因素个以上的试验因素 ，若进行全面试验，若进行全面试验 ，则试验的，则试验的规模将很大规模将很大 ，往往因试验条件的限制而难于实施，往往因试验条件的限制而难于实施 。正正 交设计就是安排多因素试验交设计就是安排多因素试验 、寻求最优水平组、寻求最优水平组合合 的一种高效率试验设计方法。的一种高效率试验设计方

2、法。 1正交试验设计的意义正交试验设计的意义 正交试验属于试验设计方法的一种。简正交试验属于试验设计方法的一种。简单地讲，试验设计是研究如何科学安排试验，单地讲，试验设计是研究如何科学安排试验，以较少的人力物力消耗而取得较多较全面的以较少的人力物力消耗而取得较多较全面的信息。信息。 试验安排得好，事半功倍；反之则事倍试验安排得好，事半功倍；反之则事倍功半，甚至达不到预期目的。因此，如何进功半，甚至达不到预期目的。因此，如何进行试验设计是一个至关重要的问题。行试验设计是一个至关重要的问题。 正交试验设计是试验优化的常用技正交试验设计是试验优化的常用技术。术。所谓试验优化，是指在最优化思想所谓试验

3、优化，是指在最优化思想的指导下，进行最优设计的一种优化方的指导下，进行最优设计的一种优化方法。法。它从不同的优良性出发，合理设计它从不同的优良性出发，合理设计试验方案，有效控制试验干扰，科学处试验方案，有效控制试验干扰，科学处理试验数据，全面进行优化分析，直接理试验数据，全面进行优化分析，直接实现优化目标，已成为现代优化技术的实现优化目标，已成为现代优化技术的一个重要方面。一个重要方面。 正交设计的正交设计的基本特点基本特点是：是：用部分试验来用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。了解全面试验的情况。 .试验为什么要设计

4、试验为什么要设计全面试验包含的水平组合数较多，工作全面试验包含的水平组合数较多，工作量大量大 ，由于受试验场地、试验材料、经费等，由于受试验场地、试验材料、经费等限制而难于实施限制而难于实施 。例如，有。例如，有6个因素：个因素： 每每因素取因素取 5个水平，全面试验就需要个水平，全面试验就需要56=15625个组合。个组合。 若试验的主要目的是若试验的主要目的是 寻寻 求求 最最 优水优水平组合平组合 ，则，则 可利用正交可利用正交 设设计来安排试验。计来安排试验。 3 因因 素素 3 水水 平平 的的 全全 面试验水平组面试验水平组合数为合数为33=27，4 因素因素3水平的全面试验水水平

5、的全面试验水平组合数为平组合数为34=81 ，5因素因素3水平的全面试水平的全面试验水平组合数为验水平组合数为35=243，这在试验中是不，这在试验中是不可能做到的。可能做到的。 正交设计就是从选优区全面试验正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。图分试验点（水平组合）来进行试验。图11-A中标有试验号的九个中标有试验号的九个“()”，就是，就是利用正交表利用正交表L9(34)从从27个试验点中挑选个试验点中挑选出来的出来的9个试验点。即：个试验点。即：数据点分布是均匀的数据点分布是均匀的每一个面都有每一个

6、面都有3个点个点每一条线都有每一条线都有1个点个点1.3正交试验设计正交试验设计 正交试验设计也称正交设计正交试验设计也称正交设计(orthogonal design)，是用来科学地设计多因素试验的一，是用来科学地设计多因素试验的一种 方 法 。 它 利 用 一 套 规 格 化 的 正 交 表种 方 法 。 它 利 用 一 套 规 格 化 的 正 交 表(orthogonal table)安排试验，得到的试验结安排试验，得到的试验结果再用数理统计方法进行处理，使之得出科学果再用数理统计方法进行处理，使之得出科学结论。结论。正交表是试验设计的基本工具，它是根正交表是试验设计的基本工具，它是根据均

7、衡分布的思想，运用组合数学理论构造的据均衡分布的思想，运用组合数学理论构造的一种数学表格，均衡分布性是正交表的核心。一种数学表格，均衡分布性是正交表的核心。 19世纪世纪20年代，英国统计学家年代，英国统计学家R. A. Fisher首先后马铃薯肥料试验当中，运用排首先后马铃薯肥料试验当中，运用排列均衡的拉丁方，解决了试验时的不均匀试列均衡的拉丁方，解决了试验时的不均匀试验条件，获得成功，并创立了验条件，获得成功，并创立了“试试验设计验设计”这一新兴学科。这一新兴学科。“均衡分布均衡分布”思想在思想在20世世纪纪50年代应用于工业领域，年代应用于工业领域， 60年代应用年代应用于农业领域，使正

8、交试验在科研生产实际中于农业领域，使正交试验在科研生产实际中得到推广得到推广。2、正交表、正交表. 正交正交表表 正交拉丁方的自然推广正交拉丁方的自然推广 由于正交设计安排试验和分析试验结果都要由于正交设计安排试验和分析试验结果都要 用用 正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。 安排的安排的4因素因素3水平的试验，编上试验号，列成另外水平的试验，编上试验号，列成另外一种形式，见正交表一种形式，见正交表L9(34)（表（表11-6） 。可以由此得到可以由此得到系列正交表系列正交表(orthogonal table)。 常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进

9、行常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行正交设计时选用。正交设计时选用。2水平正交表除水平正交表除L8(27)外，还有外，还有L4(23)、L16(215)等；等；3水平正交表有水平正交表有L9(34)、L27(213)等（详见附表等（详见附表17及有关参考书）。及有关参考书）。 表表11-6是一张正交表，记号为是一张正交表，记号为L9(34)，其中其中“L”代表正交表；代表正交表；L右下角的数字右下角的数字“9”表示表示有有9行行 ，用这张正交表安排试验包含，用这张正交表安排试验包含3个处理个处理(水平组合水平组合) ；括号内的底数；括号内的底数“3” 表示因素的水表示因素的水平数，括号

10、内平数，括号内3的指数的指数“4”表示有表示有4列列 ，也指，也指安排的因素数，用这张正交表最多可以安排安排的因素数，用这张正交表最多可以安排4个个3水平因素。水平因素。 L9（34）正交表列数正交表列数一列中出现的数字个数一列中出现的数字个数正交表行数正交表行数正交表的代号正交表的代号 正交表中正交表中1列可以安排列可以安排1个因素，个因素，因此它可安排的因此它可安排的因素数可以小于或等于因素数可以小于或等于q，但不能大于，但不能大于q。 括号内的括号内的tq表示表示q个因素、每个因素个因素、每个因素t个水平全面个水平全面试验的水平组合数（即处理数）试验的水平组合数（即处理数）。因为安排因素

11、个数不。因为安排因素个数不能大于能大于q，所以，所以n /tq为最小部分实施。为最小部分实施。 显然显然，L4(23)是最简单的正交表，有是最简单的正交表，有4列列3行用行用它最多能安排它最多能安排3个个2水平因素的试验。部分试验为水平因素的试验。部分试验为4次，次，全面试验为全面试验为8次，最小部分实施为次，最小部分实施为1/2，即用它安排试，即用它安排试验可比全面试验少做验可比全面试验少做1/2。所以，当试验因素数。所以，当试验因素数q及每个及每个因素的水平数因素的水平数t增加时增加时n /tq则下降，节省试验则下降，节省试验次数的效果次数的效果更明显。更明显。 一般非等水平正交表表示为一

12、般非等水平正交表表示为Ln (t1q1 X t2 q2）（）（q1不等于不等于q2）Ln (tlq1 X t2q2 X t3q3）（q1q2q），它们各代表一个具体的数字表），它们各代表一个具体的数字表格。又称混合型正交表。格。又称混合型正交表。 当用非等水平正交表示为当用非等水平正交表示为Ln (t1q1 X t2 q2 )安排试验时。则因素数应不大于安排试验时。则因素数应不大于q1 +q2 ,且且t1水平的因素数不大于水平的因素数不大于q1 ，t2水平的因素水平的因素数不大于数不大于q2，最小部分实施为最小部分实施为n/(t1q1+t2 q2）。）。 2.3 常用正交表的分类及特点常用正交

13、表的分类及特点 1、标准表（、标准表（相同水平正交表）相同水平正交表） 2水平水平:L4(23）,L8 (27）,L16 (215），）， 3水平水平:L9 (34），），L27（313），），L81(340），）， 4水平：水平：L16 (45）,L64 (4 21）,L256 (485），）， 5水平：水平：L25（56）,L125(5 31）,L625 (5156），）， 各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表。如正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数等各列中最大数字为字为2，称为两水平正交表；，称为两

14、水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列等各列中最大数字为中最大数字为3，称为，称为3水平正交表。水平正交表。凡是标准表，水凡是标准表，水平数都相等。且水平数只能取素数或素数幂。因此有平数都相等。且水平数只能取素数或素数幂。因此有7 7水平，水平，9 9水平的标准表，没有水平的标准表，没有6 6水平，水平，8 8水平的标准表。水平的标准表。2.3 常用正交表的分类及特点常用正交表的分类及特点 2、非标准表（、非标准表（混合水平正交表）混合水平正交表） 各列中出现的最大数字不完全相同的各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为混合水平正交表。正交表称为混合水平正交表。如如L8(424)表

15、中有一列最大数字为表中有一列最大数字为4，有，有4列最大数字列最大数字为为2。也就是说该表可以安排一个。也就是说该表可以安排一个4水平因水平因素和素和4个个2水平因素。水平因素。再如再如L16(4423)，L16(4212)等都混合水平正交表。等都混合水平正交表。2.4正交表的基本性质正交表的基本性质 任何一张正交表都有如下三个特性：任何一张正交表都有如下三个特性：（）正交性（）正交性1、任一列中，不同数字出现的次数相等任一列中，不同数字出现的次数相等 例如例如L8(27)中不同数字只有中不同数字只有1和和2，它们各出现它们各出现4次；次；L9(34)中不同数字有中不同数字有1、2和和3，它们

16、各出现，它们各出现3次次 。 2、任两列中，同一横行所组成的数字任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相等对出现的次数相等 例如例如 L8(27)中中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次；各出现两次；L9(34) 中中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现各出现1次。即每个因素的一个水平与另一因素次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。之间的搭配是

17、均匀的。 由正交表的正交性可以看出：由正交表的正交性可以看出：正交表各列的地位是平等的，表中各列之间可正交表各列的地位是平等的，表中各列之间可以互相置换，称为列间置换；以互相置换，称为列间置换；正交表各行之间也可相互置换，称行间置换；正交表各行之间也可相互置换，称行间置换；正交表中同一列的水平数字也可以相互置换，正交表中同一列的水平数字也可以相互置换，称水平置换。称水平置换。 上述上述3种置换即正交表的种置换即正交表的3种初等置换。经种初等置换。经过初等置换所能得到的一切正交表，称为原正交过初等置换所能得到的一切正交表，称为原正交表的同构表或等价表，显然，实际应用时，可以表的同构表或等价表，显

18、然，实际应用时，可以根据不同需要进行变换。根据不同需要进行变换。 (2)代表性。代表性。代表性的含义之一，在于正交代表性的含义之一，在于正交表的正交性中：表的正交性中： 任一列的各水平都出现，使得部分试验任一列的各水平都出现，使得部分试验中包含所有因素的所有水平。中包含所有因素的所有水平。 任意任意2列间的所有组合全部出现，使任列间的所有组合全部出现，使任意两因素间都是全面试验。因此，在部分试意两因素间都是全面试验。因此，在部分试验中，所有因素的所有水平信息及两两因素验中，所有因素的所有水平信息及两两因素间的所有组合信息都无一遗漏。这样，虽然间的所有组合信息都无一遗漏。这样，虽然安排的是部分试

19、验，却能够了解全面试验的安排的是部分试验，却能够了解全面试验的情况，从这个意义上情况，从这个意义上讲可以代表全面试验。讲可以代表全面试验。 因为正交性，使部分试验点必然因为正交性，使部分试验点必然均衡地分布后全面试验的试验点中。均衡地分布后全面试验的试验点中。所所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的布是均匀的 。 由由 图图11-2可以看出，可以看出，在立方体中在立方体中 ，任一平面内都包含，任一平面内都包含 3 个个“()”， 任一直线上都包含任一直线上都包含1个个“()” ，因此因

20、此 ，这些点代表性强，这些点代表性强 ，能够较好地，能够较好地反映全面试验的情况。反映全面试验的情况。 在这在这9个水平组合中，个水平组合中，A因素各水平下因素各水平下包括了包括了B、C因素的因素的3个水平，虽然搭配方式个水平，虽然搭配方式不同，但不同，但B、C皆处于同等地位，当比较皆处于同等地位，当比较A因因素不同水平时，素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵因素不同水平的效应相互抵消，消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素因素3个水平间具有可比性。同样，个水平间具有可比性。同样，B、C因素因素3个水平间亦具有可比性。个水平间亦具有可比性。 根据以

21、上两个特性，我们用正交表安排根据以上两个特性，我们用正交表安排的试验，具有的试验，具有均衡分散均衡分散和和整齐可比整齐可比的特点。的特点。 正正交表的交表的3个基本性质中，正交性即均衡性是核心，个基本性质中，正交性即均衡性是核心，是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结果，从而使正交表得以具体应用。结果，从而使正交表得以具体应用。 正交表集其正交表集其3个性质于一体，成为正交试验个性质于一体，成为正交试验设计的有效工具，用它来安排试验，也必然具设计的有效工具，用它来安排试验，也必然具有有“均衡分散，整齐可比均衡分散，整齐可比”的特性，代表性强，的特性，

22、代表性强，效率也高。因而，实际应用越来越广。效率也高。因而，实际应用越来越广。 交互作用的处理。在试验设计中，交互交互作用的处理。在试验设计中，交互作一律当做因素看待，这是处理交互作用作一律当做因素看待，这是处理交互作用的一条总原则。的一条总原则。 正交试验设计（简称正交设计）的基本程正交试验设计（简称正交设计）的基本程序是设计试验方案和处理试验结果两大部分。序是设计试验方案和处理试验结果两大部分。主要步骤可归纳如下：主要步骤可归纳如下： 第一步，明确试验目的，确定考核指标。第一步，明确试验目的，确定考核指标。 第二步，挑因素，选水平。第二步，挑因素，选水平。 第三步，选择合适的正交表。第三步

23、，选择合适的正交表。 第四步，进行表头设计。第四步，进行表头设计。 第五步，确定试验方案。第五步，确定试验方案。 第六步，试验结果分析。第六步，试验结果分析。 试验目的，就是通过正交试验要想解决试验目的，就是通过正交试验要想解决什么问题。什么问题。 考核指标，就是用来衡量或考核试验效考核指标，就是用来衡量或考核试验效果的质量指标。试验指标一经确定，就应当果的质量指标。试验指标一经确定，就应当把衡量和评定指标的原则、标准，测定试验把衡量和评定指标的原则、标准，测定试验指标的方法及所用的仪器等确定下来。这本指标的方法及所用的仪器等确定下来。这本身就是一项细致而复杂的研究工作。身就是一项细致而复杂的

24、研究工作。 影响指标者称为因素。因素在试验中变化影响指标者称为因素。因素在试验中变化的各种状态，称为水平。因素的变化引起指的各种状态，称为水平。因素的变化引起指标的变化，正交试验法适用于试验中能人为标的变化，正交试验法适用于试验中能人为加以控制和调节的因素加以控制和调节的因素可控因素。选好的可控因素。选好的因素、水平通常可列成因素水平表。因素、水平通常可列成因素水平表。 总原则：能容纳所有考察因素，又使试验号最小。总原则：能容纳所有考察因素，又使试验号最小。一般有这样几条规则：一般有这样几条规则： (1)先看水平数。根据水平数选用相应的水平的先看水平数。根据水平数选用相应的水平的正交表。正交表

25、。 (2)其次看试验要求。如只考察主效应，则可选其次看试验要求。如只考察主效应，则可选择较小的表，只要所有因素均能顺序上列即可。择较小的表，只要所有因素均能顺序上列即可。如果还需考察交互效应，那么就要选用较大的表，如果还需考察交互效应，那么就要选用较大的表，而且各因素的排列不能任意上列，要按照各种能而且各因素的排列不能任意上列，要按照各种能考察交互作用的表头设计来安排因素。考察交互作用的表头设计来安排因素。 (3)再看允许做试验的正交表的次数和有无重点因素再看允许做试验的正交表的次数和有无重点因素要考察。如果只允许做要考察。如果只允许做9次试验，而考察因素只有次试验，而考察因素只有3-4个，则

26、用个，则用3水平的水平的L9 (34）表来安排试验。若）表来安排试验。若有重点因素要详细考察则可选用水平数不等的正交有重点因素要详细考察则可选用水平数不等的正交表如表如L8(4X24）等，将重点因素多取几个水平加以）等，将重点因素多取几个水平加以详细考察。详细考察。 要求精度高，可选较大的要求精度高，可选较大的n值的值的L表。表。 切不可遗漏重要因素，所以可倾向于多考察些切不可遗漏重要因素，所以可倾向于多考察些因素。因素。 可以先用水平数少的正交表作试验，找出重要可以先用水平数少的正交表作试验，找出重要因素后，对少数重要因素再作有交互作用的细致考因素后，对少数重要因素再作有交互作用的细致考察察

27、。 所谓表头设计，就是将试验因素安排到所选所谓表头设计，就是将试验因素安排到所选正交表的各列中去的过程。正交表的各列中去的过程。 (1)只考察主效应，不考察交互效应，只考察主效应，不考察交互效应，正交表正交表中每一列的位置是一样的，可以任意变换中每一列的位置是一样的，可以任意变换。因此，。因此，不考察交互效应的表头设计非常简单，将所有因不考察交互效应的表头设计非常简单，将所有因素任意上列即可。素任意上列即可。 (2)考察交互作用的表头设计，各因素及各交考察交互作用的表头设计，各因素及各交互作用不能任意安排，必须严格按交互作用列表互作用不能任意安排，必须严格按交互作用列表进行配列。这是有交互作用

28、正交设计的重要特点，进行配列。这是有交互作用正交设计的重要特点，也是试验方案设计的关键一步。也是试验方案设计的关键一步。 避免混杂，是表头设计的一个重要原则，也避免混杂，是表头设计的一个重要原则，也是表头设计选优的一个重要条件。所谓混杂，是是表头设计选优的一个重要条件。所谓混杂，是指在正交表的同一列中，安排了指在正交表的同一列中，安排了2个或个或2个以上的个以上的因素或交互作用。这样，就无法确定同一列中的因素或交互作用。这样，就无法确定同一列中的这些不同因素或交互作用对试验指标的作用效果。这些不同因素或交互作用对试验指标的作用效果。为避免混杂，使表头设计合理、更优，那些主要为避免混杂，使表头设

29、计合理、更优，那些主要因素，重点考察的因素，涉及交互作用较多的因因素，重点考察的因素，涉及交互作用较多的因素，就应该优先安排；而另一些次要因素，涉及素，就应该优先安排；而另一些次要因素，涉及交互作用较少的因素和不涉及交互作用的因素，交互作用较少的因素和不涉及交互作用的因素，可放在后面安排。表可放在后面安排。表11-10是是L8(4X24)的的表头设计。表头设计。 3.5 排出试验方案排出试验方案 【例例1】 鸭肉保鲜天然复合剂的筛选。虽然鸭肉保鲜天然复合剂的筛选。虽然有机酸和盐处理对鸭肉保鲜有明显效果，但是大部有机酸和盐处理对鸭肉保鲜有明显效果，但是大部分有机酸和盐属于合成的化学药剂，在卫生安

30、全上分有机酸和盐属于合成的化学药剂，在卫生安全上得不到保证，并且不符合消费者纯天然，无污染的得不到保证，并且不符合消费者纯天然，无污染的要求，试验以茶多酚作为天然复合保鲜剂的主要成要求，试验以茶多酚作为天然复合保鲜剂的主要成分，分别添加不同的增效剂、被膜剂和不同的浸泡分，分别添加不同的增效剂、被膜剂和不同的浸泡时间，进行了时间，进行了4因素和因素和4水平的正交试验，试安排一水平的正交试验，试安排一个正交试验方案。个正交试验方案。 正交设计正交设计一般有以下几个步骤：一般有以下几个步骤：（1）明确目的，确定指标）明确目的，确定指标：本例是一个食品加工工：本例是一个食品加工工艺的研究试验，目的是通

31、过试验，寻求一个最佳的艺的研究试验，目的是通过试验，寻求一个最佳的鸭肉天然复合保鲜剂鸭肉天然复合保鲜剂。 （2）挑因素、选水平）挑因素、选水平 影响试验结果的因素很多，我们不影响试验结果的因素很多，我们不可能把所有影响因素通过一次试验都予以研可能把所有影响因素通过一次试验都予以研究，只能根据以往的经验，挑选和确定若干究，只能根据以往的经验，挑选和确定若干对试验指标影响最大、有较大经济意义而又对试验指标影响最大、有较大经济意义而又了解不够清楚的因素来研究。同时还应了解不够清楚的因素来研究。同时还应根据根据实际经验和专业知识，定出各因素适宜的水实际经验和专业知识，定出各因素适宜的水平，列出因素水平

32、表平，列出因素水平表。【例例1】的因素水平的因素水平表如表表如表11-11所示，选定了所示，选定了4个因素，每个因素，每个因素个因素4个水平的正交试验。个水平的正交试验。 (3) 选用合适的正交表选用合适的正交表 确定了因素及其水平后，根据因素、水平及确定了因素及其水平后，根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。选用正交表的原则是：既要能安排下试验的全部因选用正交表的原则是：既要能安排下试验的全部因素，又要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。素，又要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交

33、表一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包括交互作用）记号中括号内的底数；因素的个数（包括交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交应不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度，互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度，以便估计试验误差。若各因素及交互作用的自由度以便估计试验误差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采用有重复正之和等于所选正交表总自由度，则可采用有重复正交试验来估计试验误差。本例选交试验来估计试验误差。本例选L16（45）最合适，）最合适，有有1空列，可以作

34、为试验误差以衡量试验的可靠性。空列，可以作为试验误差以衡量试验的可靠性。 (5) 排出试验方案排出试验方案 把正交表中安排各因素的每个列把正交表中安排各因素的每个列(不不包含欲考察的交互作用列包含欲考察的交互作用列)中的每个数字依次中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个正交试换成该因素的实际水平，就得到一个正交试验方案。表验方案。表11-12就是就是例例11-2 的正交试的正交试验方案。验方案。 从而得出试验的从而得出试验的16个处理，即：个处理，即：123 3，241 2，343 4，421 1，131 4，213 1，311 3，433 2，114 2，232 3，334 1，4

35、12 4，142 1，224 4，322 2，444 3。 【例例2】要生产某种食品添加剂，根据试验发现影响添加剂要生产某种食品添加剂，根据试验发现影响添加剂收率的因素有收率的因素有4个，每个因素设置个，每个因素设置2种水平（表种水平（表11-13）。）。 本例有本例有4个因素，如果安排后个因素，如果安排后L8 (27）表中，从表）表中，从表11-8 L8(27)表头设计可以查出表头设计可以查出,4个因素应安排在个因素应安排在1,2,4,7列为好，列为好，这样考察这样考察4个因素各自的效应都不会与交互作用混杂。另个因素各自的效应都不会与交互作用混杂。另外根据专业知识可知，外根据专业知识可知，D

36、因素与因素与A，B，C3因素之间没有因素之间没有或者少有交互作用。故将或者少有交互作用。故将D因素安排后第七列，则因素安排后第七列，则3，5，6列就仅为列就仅为AXB，AXC和和BXC单独的交互作用。单独的交互作用。 本例有本例有4个因素，如果安排后个因素，如果安排后L8 (27）表中，从表）表中，从表11-8 L8(27)表头设计可以查出表头设计可以查出,4个因素应安排在个因素应安排在1,2,4,7列为好，这样考察列为好，这样考察4个因素各自的效应都不个因素各自的效应都不会与交互作用混杂。另外根据专业知识可知，会与交互作用混杂。另外根据专业知识可知，D因因素与素与A，B，C3因素之间没有或者

37、少有交互作用。因素之间没有或者少有交互作用。故将故将D因素安排后第七列，则因素安排后第七列，则3，5，6列就仅为列就仅为AXB，AXC和和BXC单独的交互作用。单独的交互作用。 凡采用正交表设计的试验，都可用正交凡采用正交表设计的试验，都可用正交表分析试验的结果，正交试验的结果表分析试验的结果，正交试验的结果分析，分析，有直观分析和方差分析有直观分析和方差分析2种方法，现分别予种方法，现分别予以介绍。以介绍。 4.1.1不考虑交互作用的分析法不考虑交互作用的分析法 现对现对【例例1】进行分析，该试验的结果见进行分析，该试验的结果见表表11-14。 分析方法：首先从分析方法：首先从1616个处理

38、中直观地找出最优处理组合个处理中直观地找出最优处理组合为为9 9号处理，即号处理，即A A1 1B B1 1C C4 4D D2 2，指标为，指标为38.7938.79；其次为；其次为1313号处理号处理A A1 1B B4 4C C2 2D D1 1，指标为，指标为38.0238.02，但是究竟哪一个是最好的指标呢？，但是究竟哪一个是最好的指标呢？现后通过直观分析进行验证：现后通过直观分析进行验证：4、正交试验结果的结果分析、正交试验结果的结果分析 若各号试验处理都只有一个观测值，则若各号试验处理都只有一个观测值，则称之为单独观测值正交试验；若各号试验处称之为单独观测值正交试验；若各号试验处

39、理都有两个或两个以上观测值，则称之为有理都有两个或两个以上观测值，则称之为有重复观测值正交试验。重复观测值正交试验。 下面分别介绍单独观测值和有重复观测下面分别介绍单独观测值和有重复观测正交试验结果的方差分析。正交试验结果的方差分析。 考察交互作用的试验结果的分析方法与前面并无本质不同，只是：考察交互作用的试验结果的分析方法与前面并无本质不同，只是：应把每个互作当成一个因素看待进行分析；应根据互作的效应，应把每个互作当成一个因素看待进行分析；应根据互作的效应，选择出最优试验组选择出最优试验组合。见表合。见表11-1511-15。 4.2.1 无重复试验的方差分析无重复试验的方差分析 这种分析方

40、法要求用正交表设计试验时，必这种分析方法要求用正交表设计试验时，必须留有不排入因素或互作的空例，以作为误差的须留有不排入因素或互作的空例，以作为误差的估计值。估计值。 【例例3】某食品厂或产口香糖，检验口香糖的某食品厂或产口香糖，检验口香糖的质量好坏需要分析：拉伸率（越大越好）；质量好坏需要分析：拉伸率（越大越好）；变形（越小越好）；耐弯曲次数（越多越好）变形（越小越好）；耐弯曲次数（越多越好）这这3种指标，要求对种指标，要求对3种指标都取得较好水平，种指标都取得较好水平，现要进行口香糖配方的试验分析，因素水平表见现要进行口香糖配方的试验分析，因素水平表见表表11-17，结果分析见表，结果分析

41、见表11-18。 资料整理：本试验资料整理：本试验3个指标同等重要，我们只以拉伸个指标同等重要，我们只以拉伸率率1项为例作方差分析，其余项为例作方差分析，其余2项及综合考察留给大家项及综合考察留给大家作练习之用。作练习之用。 表表11-18中一共有中一共有A，B，C，D4项因素，每一因项因素，每一因素为素为4水平，每一水平的重复次数为水平，每一水平的重复次数为4次，总次数为次，总次数为16次次(n)。 自由度与平方和分解：自由度与平方和分解： 该次试验的该次试验的16个观测值总变异由个观测值总变异由A因素、因素、B因因素、素、C因素、因素、D因素及误差变异五部分组成，因而进行因素及误差变异五部

42、分组成，因而进行方差分析时平方和与自由度的划分式为：方差分析时平方和与自由度的划分式为： SST = SSA+SSB+SSC + SSD +SSe dfT = dfA + dfB + dfC + dfD + dfe表表11-18中，中，Ki为各因素同一水平试验指标（拉为各因素同一水平试验指标（拉伸率伸率%）之和。）之和。 如如 A因素第因素第1水平水平 K1=y1+y2+y3 +y4 =545+490+515+505=2055 A因素第因素第2水平水平 K2=y5+ y6 + y7 + y8 =492+485+499+480=1956， A因素第因素第3水平水平 K3=y9+ y10+ y11

43、+ y12 =566+539+511+515=2131， A因素第因素第4水平水平 K4=y13+ y14+ y15+ y16 =535+488+495+475=1993和。和。 为各因素同一水平试验指标的平均数。为各因素同一水平试验指标的平均数。 如如A因素第因素第1水平水平 =2055/4=513.75， A因素第因素第2水平水平 =1956/4=489.0， A因素第因素第3水平水平 =2131/4=532.75， A因素第因素第4水平水平 =1993/4=489.25，同理可求得同理可求得B、C因素各水平试验指标的平均数。因素各水平试验指标的平均数。1KK2K4K3KA因素平方和 SS

44、A= /a-C =(20552+19562+21312+19932)/4 4136139.063=4403.6875 B因素平方和 SSB = /b-C =(21382+20022+20202+19752)/4-4136139.063 =3897.18752AT2BT C因素平方和因素平方和 SSC=T2C/c-C =(20162+19922+20212 +20782)/4 4136139.063 =1062.1875 D因素平方和因素平方和 SSD=T2D/d-C =(20472+20162+20212 +20512)/4 4136139.063 =237.6875误差平方和误差平方和 SS

45、e=SST-SSA-SSB-SSC-SSD =10167.9375-4403.6875-3879.1875 1062.1875-237.6875 =585.18753 -3= 3 2、列出方差分析表，进行列出方差分析表，进行F检验检验 F 检验结果表明，四个因素对拉伸率的检验结果表明，四个因素对拉伸率的影响都不显著。究其原因可能是本例试验误差大影响都不显著。究其原因可能是本例试验误差大且误差自由度小且误差自由度小(仅为仅为3)，使检验的灵敏度低，使检验的灵敏度低，从而掩盖了考察因素的显著性。由于各因素对增从而掩盖了考察因素的显著性。由于各因素对增重影响都不显著，不必再进行各因素水平间的多重影响

46、都不显著，不必再进行各因素水平间的多重比较。此时，可直观地从表重比较。此时，可直观地从表11-18中选择平中选择平均数大的水平均数大的水平A3、B1、C3、 D4组合成最优水组合成最优水平组合平组合A3B1C3 D4 。 上述无重复正交试验结果的方差分析，其上述无重复正交试验结果的方差分析，其误差是由误差是由“空列空列”来估计的。然而来估计的。然而“空列空列”并不并不空，实际上是被未考察的交互作用所占据。这种空，实际上是被未考察的交互作用所占据。这种误差既包含试验误差，也包含交互作用，称为误差既包含试验误差，也包含交互作用，称为模模型误差型误差。若交互作用不存在，用模型误差估计试。若交互作用不

47、存在，用模型误差估计试验误差是可行的；若因素间存在交互作用，则模验误差是可行的；若因素间存在交互作用，则模型误差会夸大试验误差，有可能掩盖考察因素的型误差会夸大试验误差，有可能掩盖考察因素的显著性。这时，试验误差应通过重复试验值来估显著性。这时，试验误差应通过重复试验值来估计。所以，进行正交试验最好能有二次以上的重计。所以，进行正交试验最好能有二次以上的重复。正交试验的重复，可采用完全随机或随机单复。正交试验的重复，可采用完全随机或随机单位组设计。位组设计。 多重比较。从本试验的方差分析，相对多重比较。从本试验的方差分析，相对来说来说A因素和因素和B因素为重要因素，因素为重要因素，C因素和因素

48、和D因素为次要因素。对因素为次要因素。对A，B两因素进行多重比两因素进行多重比较表较表11-20至表至表11-22，用用LSR法。法。 多重比较的结果以A3和B1为最好，另外A3和B1也可考虑，作为分析其他指标后综合平衡选择之用。从拉伸率这一指标来讲，最优组合为：A：胶基添加量21；B：葡萄糖浆添加量17；C，D因素不论。 983. 64063.19542SeSX 4.2.2 有重复观测值正交试验结果的有重复观测值正交试验结果的方差方差 有重复试验的方差分析与无重复试验的方差有重复试验的方差分析与无重复试验的方差分析，除误差平方和、自由度的计算有所不同分析，除误差平方和、自由度的计算有所不同外

49、，其余各项计算基本相同。外，其余各项计算基本相同。【例例4】有一水稻有一水稻3因素试验，因素试验，A因素为品种因素为品种(4水水平）；平）；B因素为栽插密度因素为栽插密度(2水平水平);C因素为施肥量因素为施肥量(2水平水平)；选用；选用L8 (4 X24)，其表头设计和产量结果，其表头设计和产量结果（小（小区面积区面积30 m2）。见表。见表11-23。 用用n表示试验表示试验(处理处理)号数，号数，r表示试验处理的重复数。表示试验处理的重复数。a、b、c、ka、kb、kc的意义同上。的意义同上。 对于有重复、且重复采用随机单位组设计对于有重复、且重复采用随机单位组设计的正交试验，总变异可以

50、划分为处理间、单位组的正交试验，总变异可以划分为处理间、单位组间和误差变异三部分，而处理间变异可进一步划间和误差变异三部分，而处理间变异可进一步划分为分为A因素、因素、B因素、因素、C因素与模型误差变异四因素与模型误差变异四部分。此时，平方和与自由度划分式为：部分。此时，平方和与自由度划分式为： SST=SSt+SSr+SSe2 dfT = dft + dfr + dfe2 而而 SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1 dft = dfA + dfB + dfC + dfe1 于是于是 SST=SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+SSe2 dfT = dfA + dfB + dfC +