数学分析课件PPT之第四章函数的连续性.ppt

1、第四章第四章 函数的连续性函数的连续性4.1 连续性概念连续性概念 连续函数的性质连续函数的性质 4.3 初等函数的连续性初等函数的连续性 4.24.1连续性概念连续性概念一、函数在一点的连续性一、函数在一点的连续性1.函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy 2.连续的定义连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(0 xU

2、 内有定义内有定义, ,如如果当自变量的增量果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函对应的函数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点. .,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如果如果函数函数)(xf当当0 xx 时的极限存在时的极限存在, ,且等于它在且等于它在点点0

3、 x处的函数值处的函数值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续. .:定义定义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当0lim( )xxf x0()f x在x0有定义1.在x0附近定义;2.极限存在 左右极限存在并相等例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又),0()(lim0fxfx 由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(00

4、00处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf .)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不

5、连续在点在点故函数故函数 xxf4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(内是连续的内是连续的有理整函数在区间有理整函数在区间例例3 3.),(sin内内连

6、连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对任意的对任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy例例4 证明证明 内连续内连续在在),( xay证证只须证明只须证明，有，有对对),(0 x00limxxxxaa limlim0000 xxxxxaay 1lim00 xxxaa )1(lim00 xxxaa 0 处连续处连续在在故故),(0 xayx二、函数的间断点二、函

7、数的间断点:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf1.在x0 及其附近定义;2.极限存在 左右极限存在并相等001. ( );2.lim( ).xxf xxf x在 无定义或不存在1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(

8、0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例5 5.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2

9、)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为为函函数数的的可可去去间间断断点点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例6中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy112跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都

10、存存在在函函数数在在点点 x3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例7 7.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间oxy第一类间断点第二类间断点.)(1 . 1 0处无定义在：情形xxfxOy0 xx)(xfy x0 xx自由地趋于A注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )

11、()(lim 0000处连续在那么这个新的处的值为在新定义存在，因此如果我们重在这种情形下，xxfAxfxxfAxfxxxOy0 xx)(xfy x注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )()(lim 0000处连续在那么这个新的处的值为在新定义存在，因此如果我们重在这种情形下，xxfAxfxxfAxfxx.)(lim)(lim.)(1.1 000存在但处有或无定义在：情形xfxfxxfxxxxA.)( .)(2 . 1 00的值太高了但处有定义在：情形xfxxfxOy)(xfy 注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )( ).()(lim 00000处连续在那么这个新的处的值

12、为在我们修改定义因此如果存在，但是在这种情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxA0 xxx.)( .)(2 . 1 00的值太低了但处有定义在：情形xfxxfxOy)(xfy 0 xxx注意到：这种间断点称为可去间断点.)(,)( )( ).()(lim 00000处连续在那么这个新的处的值为在我们修改定义因此如果存在，但是在这种情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxAxOy)(xfy .),(lim)(lim.)(2 000都存在但处有定义在：情形xfxfxxfxxxx0 xxx注意到：这种间断点称为跳跃间断点.)( ,)()(lim 000限存在，有较好的性质的单侧极的左右两边，但

13、分别考虑处连续在不存在，因此无法使得在这种情形下，xfxxxfxfxx 这点放哪儿能接上呢？xOy0 xx)(xfy x.)( .)(lim)(lim.)(3 0000的渐进线称为此时，直线或或一个为至少有和或无定义处有在：情形xfyxxxfxfxxfxxxx哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间断点称为无穷间断点0 xx xx. )(4 0无限震荡（无）定义，处有在：情形xxf：Hi, 小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？：Hi, 小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！xy1sinxy11这种间断点称为震荡间断点。例例8 8.01sin

14、)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间xy1sin 注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 狄利克雷函数狄利克雷函数 , 0, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点. ,)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在x=0处连续处连续,

15、 其余各点处处间断其余各点处处间断. , 1, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxf在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断, 但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:o1x2x3xyx xfy 例例9 9.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解,)0(af xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ),0()00()00(fff 要使要使, 1 a,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数

16、 xxf例例10 讨论讨论的连续性的连续性xxxxfnnn 2211lim)(若有间断点判别其类型，并作出图形若有间断点判别其类型，并作出图形解解)1|(|0lim qqnn由于由于则则若若故故1| xnnnxxxxf2211lim)( x 则则若若1| xnnnxxxxf2211lim)( 1)1(1)1(lim22 nnnxxxx 则则若若1| x0)( xf 1|1|01|)(xxxxxxf外连续外连续除去除去1)( xxf时时当当1 x1)01(, 1)01( ff1)01(, 1)01( ff跃间断点）跃间断点）都是第一类间断点（跳都是第一类间断点（跳1 x三、小结三、小结1.函数在

17、一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;间断点间断点第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.(见下图见下图)第一类间断点第一类间断点oyx0 x可去型可去型oyx0 x跳跃型跳跃型第二类间断点第二类间断点oyx0 x无穷型无穷型oyx振荡型振荡型思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连

18、连续续？ 思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连连续续， )()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续 但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续4.2 连续函数的性质连续函数的性质一一 连续函数的局部性质连续函数的局部性质 三三 反函数的连续性反函数的连续性 函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质

19、，都可以移到连续函数中来。 二二 闭区间上连续函数的基本性质闭区间上连续函数的基本性质 四四 一致连续性一致连续性一一 连续函数的局部性质连续函数的局部性质f0 xf0( )U xTh4.2（局部有界性）若（局部有界性）若在连续。则在某有界.f0 x0()0(0)f xor0(0,()rfx0( (),0)rf x0()U x( )0( ( )0)f xrf xr Th4.3（局部保号性）若（局部保号性）若在连续，且则对任何正数，存在某有.注注在具体应用局部保号性时，若在具体应用局部保号性时，若 0()0f x可取0()2fxr ， 与极限相应的性质做比较 0()U x00()Ux这里只是把“

20、极限存在”，改为改为其余一致。“连续”，把0 xf 在0M00);(,)(00 xxMxfUf0 x,);(U, 0, 00时当xx)()(0 xfxf1时当);(U,0000 xx证明连续函数的局部有界性若处连续，则 和，使得 证 据在连续的定义，满足现取相应存在，就有 Mxfxfxfxfxfxf1)()(,1)()()()(000 证毕 四则运算的连续性四则运算的连续性Th4.4Th4.4.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在

21、xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx 连续是用极限定义的，本定理是极限四则运算定理的直接结果，不证自明。Th4.5).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若证证,)(连续连续在点在点auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有时时使当使当 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00时时使当使当对于对于 xx.)(成立成立恒有恒有 auax将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使当使当 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )

22、()(lim0afxfxx 0lim ( ).xxxf意义意义1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，接取在内层，.)(. 2的的理理论论依依据据变变量量代代换换xu 注注1.定理的条件：定理的条件：内层函数有极限，外层函数内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续在极限值点处连续可可得得类类似似的的定定理理换换成成将将 xxx0. 2例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求解解xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln . 1 例例2

23、2.1lim0 xexx 求求解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当)1ln(lim0yyy 原式原式yyy10)1ln(1lim . 1 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx .)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 注意注意定理定理 是定理是定理4.5的特殊情况的特殊情况.例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy/4.5Th/4.5Th二

24、、最大值和最小值定理二、最大值和最小值定理定义定义: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sin1xy ,2 , 0上上在在 , 2max y; 0min y,sgn xy ,),(上上在在, 1max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yyf( )f x( ),(0,1)f xx x1,( 0 ,1)()2 ,0 ,1xfxxx一般而言， 在其定义域上不一定在

25、上有界.无最大（小）值；在，上也无最大（小）值。有最大（小）值，即使例如：定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若xyo)(xfy ab2 1 注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.xyo2 )(xfy xyo)(xfy 211定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数

26、一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上有界上有界在在函数函数baxf定义定义: :.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx 定理定理 3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点, ,即至少有一点即至少有一点

27、 )(ba ，使，使0)( f. .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy ab1 2 3 定定理理 4 4( (介介值值定定理理) ) 设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ba, 上上连连续续，且且在在这这区区间间的的端端点点取取不不同同的的函函数数值值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那那末末，对对于于A与与B之之间间的的任任意意一一个个数数C，在在开开区区间间 ba,内内

28、至至少少有有一一点点 ，使使得得Cf )( )(ba . . 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf xyo)(xfy abABMm1x2xC1 2 3 几何解释几何解释:.)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 例例3 3.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续

29、上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .Mm.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx例例4 4.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 bbfbF )()(, 0 由零点定理由零点

30、定理,使使),(ba , 0)()( fF.)( f即即例例5 )()(), 0)2()0(2 , 0)(affaaffaxf 使使证明证明上连续，且上连续，且在在设设证证则则记记)()()(axfxfxF )(, 0(, 0)(的定义域的定义域即即上连续上连续在在xFaaxF)()0()0(affF 且且)0()()2()()(fafafafaF )()0(aff 若若即为所求即为所求则则0 )()0(aff 若若0)()0( aFF则则由零点定理知由零点定理知0)(), 0( Fa 使使)()(aff 即即总之总之)()(), 0affa 使使注注方程方程f(x)=0的根的根函数函数f(x

31、)的零点的零点有关闭区间上连续函数命题的证明方法有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，间接法（辅助函数法）：先作辅助函数， 再利用零点定理再利用零点定理辅助函数的作法辅助函数的作法（1）将结论中的）将结论中的(或或x0或或c)改写成改写成x（2）移项使右边为）移项使右边为0，令左边的式子为，令左边的式子为F(x)则则F(x)即为所求即为所求 区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证余下只须验证F(x)在所讨论的区间上在所讨论

32、的区间上连续，连续，再比较再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。在所论闭区间上的最大值与最小值之间。三三 反函数的连续性反函数的连续性定理定理4.8 4.8 严格单调的连续函数必有严格单调的严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数连续反函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上

33、单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.,fa b在1f)(),(bfaf( ),( ) )f bf aTh 4.8 若函数若函数上严格递增( 或减 )且在相应的定义域（或上连续. 连续, 则其反函数证明证明 不妨设不妨设,fa b在上严格递增.此时此时f的的值域即反函数值域即反函数 1,.ff af b的定义域为任取任取 10000,.yf af bxfyxa b设则于是对任给的0，, a b0可在内x 的两侧各取异于异于0 x的点12102,x xxxx使它们与使它们与0 x的距离的距离小 于如 下 图 设与12,x x对应的函数

34、值分别为对应的函数值分别为12,yy由由f的严格增的严格增性知性知102.yyy令令2001min,yy yy则当则当0;y U y时，对应的时，对应的 1xfy的值都落在的值都落在 与与 12xx之间，故有之间，故有 1100,fyfyxx这就证明了这就证明了 在点在点 连续，从而连续，从而 在在 1f0y1f ,fafb内连续内连续.类似地可证类似地可证 在其定义区间的端点在其定义区间的端点 与与 分分别为右连续与左连续别为右连续与左连续.所以所以 在在 上连续上连续.1f1f)(),(bfaf f af b四四 函数的整体连续性函数的整体连续性 一致连续：一致连续： ( )f x( )f

35、 x00,0,( ; )xIx U x 0| ( )( )|.f xf x设在某一区间连续，按照定义，也就是在区间内每一点都连续。即对时，就有)(21,xxI在一致连续定义中与无关，是在区间放在何处而皆准的普适常数。)()(ICxf，是指Ix ，连续在点xxf)(。 有关的大小不仅与 ，而且与有关 x。 0, 0, ,( )()xxfxfx 时 有()fxx在 点连 续oxy 22)(xfyx1x)(xf)(1xfx1x如图，给定后当 ，附近在点 x，函数图象变化比较 “慢” ，较大对应的 ；附近在点 1x，函数图象变化比较 “快” ，较小对应的 。 连续在区间设 )( Ixf，给定后当 ，x

36、 相应于无穷多个， 0 x有无穷多个，在这x 无穷多个中是否存在一个 0 通用的，Ix 对于，时只要当 xx，就有 )()(xfxf呢？ 一致连续的定义一致连续的定义f0( )0 ,xxI|xx|,fxfxf定义定义2设设为定义在区间上的函数。若对任给的，存在一个，使得对任何，只要，就有则称函数在区间上一致连续。)(21, xxI在一致连续定义中与无关，是在区间放在何处而皆准的普适常数。 一致连续的否定就是非一致连续。两者对比如下： 0，0， Ixx21 ,，当21xx时，有)()(21xfxf. 0 ，0，Ixx21 ,，当21xx时，有)()(21xfxf.上区间在函数 )( Ixf证明证

37、明： （1）0， 1 , ,21axx，要使 212212121111xxaxxxxxx成立，只要221axx，取2a，于是 0，02a， 1 , ,21axx，当21xx时， 有2111xx，例证明函数xxf1)(， （1）在) 10(1 ,aa上一致连续； （2）在 1 , 0(上非一致连续。 （2）021，0（1n） ， 当2211) 1(1111nnnnnxx（1n）时，有211) 1(1121nnxx， 故xxf1)(在上 1 , 0(非一致连续。 定理定理（Cantor定理） ： 若,)(baCxf，则, )(baxf在上一致连续。 五、小结五、小结连续函数的局部性质连续函数的局部

38、性质 反函数的连续性反函数的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.一致连续性一致连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.思考题思考题 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性.思考题解答思考题解答21)(xxg 1,0()0,01,0 xfxxx)1sgn()(2xxgf 1 在在),( 上处处连续上处处连续 )(xgf 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在)0 ,( ), 0( 上处处连续上处处连续 )(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点4.3

39、初等函数的连续性初等函数的连续性 一一 初等函数的连续性初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在 xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )Th4.12 Th4.12 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .Th4.13 Th4.13 一切初等

40、函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .注意注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.)()()(lim000定义区间定义区

41、间 xxfxfxx例例1 求求xxsinlnlim2 解解是是初初等等函函数数xysinln 它的一个定义区间是它的一个定义区间是), 0( ), 0(20 x而而2sinlnsinlnlim2 xx0 例例2 2.11lim20 xxx 求求解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 例例3 求求)1arcsin(lim2xxxx 解解 都都和和时，时，当当221xxxx不能应用差的极限运算法则，须变形不能应用差的极限运算法则，须变形先分子有理化，然后再求极限先分子有理化，然后再求极限2lim (1)xxxx xxxxxxxx 1)1)(

42、1(lim2221111lim1lim22 xxxxxx21 )1arcsin(lim2xxxx )1(limarcsin2xxxx 621arcsin 习习 题题 课课一、主要内容一、主要内容（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念函函 数数的定义的定义函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数（一）函数（一）函数1.1.函

43、数的定义函数的定义函数的分类函数的分类2.2.函数的性质函数的性质有界、单调、奇偶、周期有界、单调、奇偶、周期3.3.反函数反函数4.4.隐函数隐函数5.5.基本初等函数基本初等函数幂、指、反、对、三幂、指、反、对、三6.6.复合函数复合函数7.7.初等函数初等函数8.8.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfx )(limAxfxx )(lim0左右极限左右极限极限存在的极限存在的充要条件充要条件无穷大无穷大 )(limxf两者的两者的关系关系无穷小无穷小的性质的性质极限的性质极限的性质求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小

44、0)(lim xf判定极限判定极限存在的准则存在的准则两个重要两个重要极限极限无穷小的比较无穷小的比较等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性（二）极限（二）极限1 1、极限的定义：、极限的定义：定义定义N 定义定义 定义定义X 单侧极限单侧极限2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大无穷小；无穷小； 无穷大；无穷大； 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质无穷小的运算性质3 3、极限的性质、极限的性质四则运算、复合函数的极限四则运算、复合函数的极限极限存在的条件极限存在的条件4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入

45、法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理夹逼定理、单调有界原理6 6、两个重要极限、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx(1)1sinlim0 xxx; 1sinlim 某过程某过程(2)exxx )11(lim(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim.)1(lim1e 某过程某过程7 7、无穷小的比较、无穷小的比较8 8、等价无穷小

46、的替换性质、等价无穷小的替换性质9 9、极限的唯一性、局部有界性、保号性、极限的唯一性、局部有界性、保号性（三）连续（三）连续左右连续左右连续连续的连续的充要条件充要条件间断点定义间断点定义 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数的连续函数的运算性质运算性质初等函数初等函数的连续性的连续性非初等函数非初等函数的连续性的连续性连续函数连续函数的的 性性 质质1 1、连续的定义、连续的定义单侧连续单侧连续连续的充要条件连续的充要条件 闭区间的连续性闭区间的连续性2 2、间断点的定义

47、、间断点的定义间断点的分类间断点的分类第一类、第二类第一类、第二类3 3、初等函数的连续性、初等函数的连续性连续性的运算性质连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性反函数、复合函数的连续性4 4、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理二、典型例题二、典型例题例例1 1).(. 1, 0,2)1()(xfxxxxxfxf求求其中其中设设 解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性,1xxt 令令,11tx 即即代入原方程得代入原方程得,12)()11(ttftf ,12)11()(xxfxf 即即

48、,111uux 令令,11ux 即即代入上式得代入上式得,)1(2)1()11(uuuufuf ,)1(2)1()11(xxxxfxf 即即解联立方程组解联立方程组 xxxxfxfxxfxfxxxfxf)1(2)1()11(12)11()(2)1()(. 1111)( xxxxf例例2 求下列极限求下列极限)11()311)(211(lim222nn nnnnn1134322321lim 原式原式nnn1lim21 21 )1|(|),1()1)(1)(1(lim242 xxxxxnnxxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim22原式原式xxnn 11lim12x 1121lim nnn

49、nn 121lim2)1(lim nnnnnnn原式原式 202212 1lim21 xnxxxnx1)1()1()1(lim21 xxxxnx原式原式1)2()1()1(lim121 xxxnxnnxnx)2()1(lim121 nxxxnxnn12)1( nn2)1( nn)0( ,2cos2cos2coslim2 xxxxnnnnnnxxxxx2sin22sin22cos2cos2coslim2 原原式式nnnnxxxxx2sin22sin22cos4cos2coslim211 nnnxx2sin2sinlim nnnxxxx2sin2limsin xxsin 例例3ccxcxxx，求，

50、求设设4lim 解一解一xxxxcxccxcx 21limlim ccccxxcxccxc2121lim22ce2 4 2ln22 c2ln c得得解二解二xxxxxxcxccxcx 11limlimccee ce2 例例4 4.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解解法讨论解法讨论则则设设,)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge )()(1ln(xfxf .)()(limxfxge 310)1sin1tan1(1limxxxx 原式原式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sin