概率论课件-第1章第4讲概率的公理化定义及概率的性质.ppt

1、设设为试验为试验E的样本空间，若的样本空间，若试验试验的样本空间是直线上某个区间，或者面、的样本空间是直线上某个区间，或者面、空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点;每个样本点发生具有等可能性每个样本点发生具有等可能性 ; 则称则称E为几何概型为几何概型。1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质(1)(1)几何概型几何概型)()(P(A) mDm 设试验的每个样本点是等可能落入区域设试验的每个样本点是等可能落入区域上的随机点上的随机点M，且，且D含在含在内内,则则M点落入点落入子域子域D(事件事件A)上的概率为上的概率为:(2)

2、(2)几何概型概率的定义几何概型概率的定义 m Dm 注：注： 及及 在在 是区间时是区间时 ，表示相应，表示相应的长度；在的长度；在 是平面或空间区域时，表示相是平面或空间区域时，表示相应的面积或体积应的面积或体积.例例1. 某人的表停了，他打开收音机听电台报某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率的时间短于十分钟的概率.9点点10点点10分钟分钟616010)(AP几何概率的性质几何概率的性质：q 0)(P11)(iiiiAPAP非负性非负性规范性规范性1Pq q 10P两两互不相容两两互不相容q

3、可列可加性可列可加性: : 设设 nAAA,21例例2 两船欲停靠同一个码头两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是码头停留的时间分别是1 小时与小时与2 小时小时,试求试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率码头的概率.设：船设：船1 到达码头的瞬时为到达码头的瞬时为 x ，0 x 24 船船2 到达码头的瞬时为到达码头的瞬时为 y ，0 y 24 事件事件

4、A 表示任一船到达码头时需要等待表示任一船到达码头时需要等待空出码头空出码头解解:xy2424y = xy = x + 1y = x - 2224 S22222321AS1207. 01)( SSAPA240,240),( yxyx20, 10,),(),( yxxyyxyxA注注：用几何概型可以回答例：用几何概型可以回答例1.2.4中提出中提出“概概率为率为1的事件为什么不一定发生的事件为什么不一定发生?”这一问题。这一问题。0 0 x x 1 1Y Y1 1 如图，设试验如图，设试验E 为为“ 随机地向边随机地向边长为长为1 的正方形内黄、蓝两个三的正方形内黄、蓝两个三角形投点角形投点”事

5、件事件A为为“点投在黄、点投在黄、蓝两个三角形内蓝两个三角形内”,求求)( AP11111)(2121正方形蓝三角形黄三角形SSSAP由于点可能投在正方形的对角线上由于点可能投在正方形的对角线上, , 所以所以事件事件A未必一定发生未必一定发生. .概率的公理化定义概率的公理化定义 前面分别介绍了统计概率定义、古典概前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几何概率的定义，它们在解决各自相适率及几何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题中，都起着很重要的作用，但应的实际问题中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局限性它们各自都有一定局限性. 为了克服这些局限性，为了克服这些局限性，1933

6、年，俄数学年，俄数学家柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，家柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率共有特性，提出了概率的公理化定抓住概率共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率论的发展奠定了理论基础。义，为现代概率论的发展奠定了理论基础。概率的公理化的定义概率的公理化的定义: :1P(2)规范性规范性(1)非负性非负性P0 设设 是给定的实验是给定的实验E的样本空间，对其中的的样本空间，对其中的任意一个事件任意一个事件A，规定一个实数，规定一个实数P(A)，若，若P(A)满足：满足： (3)可列可加性可列可加性设设 11)(iiiiAPAP 两两互不相容，两两互不相容，则：则：则称则

7、称P(A)为事件为事件A的概率的概率. .nAAA,21(3) P(A-B)=P(A)-P(AB), P(-A)=1 - P(A).若若A是是B的子事件的子事件, 则则P(B-A)=P(B) - P(A)； P(A)P(B);(4) P(A+B)=P(A)+P(B) - P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC) -P(BC)+P(ABC)nAAA,21niinnkjikjinjijiniiniiAPAAAPAAPAPAP111111) 1(类似可证其他类似可证其他. .=P(A)+P(B)-P(AB)P(A+B)=PA+(B-AB) =P(A)+P(

8、B-AB)P(A)=P(A-B)+P(AB),即即 P(A-B)=P(A)-P(AB).A=(A-B)+AB,A-B和和AB为互斥事件为互斥事件,所以由所以由(2)得得证明证明 ( (4) ) 证明证明 (3) 得：得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，例例1 AB=，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8,求求B的的逆事件的概率。逆事件的概率。解解: : 由由思考思考 在以上条件下，在以上条件下，P P（A-BA-B）= =？P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+

9、P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)所以，所以， =1-0.2=0.8=1-0.2=0.8 BP例例2 设事件设事件A发生的概率是发生的概率是0.6，A与与B都发生都发生的概率是的概率是0.1，A与与B都不发生的概率为都不发生的概率为0.15 ,求求A发生发生B不发生的概率；不发生的概率；B发生发生A不发生的不发生的概率及概率及P(A+B).解解 由已知得由已知得, P(A)=0.6， P(AB)=0.1, 150.BAP则则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5P(B-A)=P(B)-P(AB）850.BAP又因为又因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),

10、所以，所以，P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35从而，从而，P(B-A)=0.35-0.1=0.2511)(BAPBAP例例3 某人一次写了某人一次写了n封信封信,又写了又写了n个信封如果个信封如果他任意地将他任意地将n张信纸装入张信纸装入n个信封中个信封中.问至少有问至少有一封信的信纸和信封是一致的概率是多少一封信的信纸和信封是一致的概率是多少?解解 令令=第第i张信纸恰好装进第张信纸恰好装进第i个信封个信封iAniiAP1则所求概率为则所求概率为 ,易知有易知有同理可得同理可得11211()3(1)(2)3!11()!ijkij k nnnP A

11、 A An nnnP A AAn nn ! 21) 1(12)()() 1(1)(1)(,1)(11njijijiniiinnnAAPjinnAAPAPnAP111111( 1)2!3!nniiPAn 由概率的加法公式得到由概率的加法公式得到1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6， 求求P(A-B).2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求，求P(-AB)解答：解答：(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1, 所以所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3(2)P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B) =1-0.7+0.3=0.6课堂练习课堂练习3. P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6，求，求A、B、C都不出现都不出现的概率。的概率。4. A、B都出现的概率与都出现的概率与 A、B 都不出现都不出现的概率相等，的概率相等，P(A)=p，求，求P(B).(3)CBAPCBAP解答：解答：=1-P(A+B+C)=7/12(4)P(AB)=P( )=P( ) =1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),所以所以,P(B)=1-P(A)=1-pBABA休息片刻继续休息片刻继续