淮北师范大学考研专业课试题高等代数2012.doc

淮北师范大学2012年招收硕士研究生考题（A）招生专业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：高等代数 说明：答案必须写在答题纸上，写在本考题纸上的无效。-一、简答题（每题9分，共54分）1、 若，证明：.2、 已知向量组线性无关，向量组线性相关，证明：可由向量组唯一线性表出.3、 已知等价的向量组秩相等，问秩相等的向量组是否等价？举例说明.4、 设3级矩阵的行列式值是-2，计算.5、 设2级矩阵的特征多项式为，计算的特征多项式.6、 设是级矩阵，若，且是方程组的两个不同的解，求齐次线性方程组的通解.二、（12分）证明：多项式在有理数域上不可约，其中p是一个素数.三、（12分） 计算级行列式四、（12分）设是两个级实对称矩阵，且是正定矩阵，证明：存在级实可逆矩阵，使与同时为对角形.五、（14分）设为级矩阵，满足，但。证明：（1）为可逆矩阵；（2）不是可逆矩阵.六、（15分） 设是矩阵（），已知齐次线性方程组的基础解系为。试求齐次线性方程组的基础解系，并说明理由.七、（15分） 设为维线性空间的线性变换，是的恒等变换，满足（1）；（2）；（3）.证明：.八、（16分） 设,求（1)的不变因子、初等因子；（2)的若当标准形、有理标准形；（3）是否可对角化？并说明理由.-淮北师范大学2012年硕士研究生招生考试考题纸 第 2 页 共 2 页