2012年暨南大学考研专业课试题810高等代数.doc

1、9、如果为阶可逆矩阵，为多项式的非零根，则不是多项式的根。 10、如果是维欧氏空间的两个向量，且，则线性无关。 二、 在每个题后给出的3个答案中选择一个正确的答案填空，将其前的字母填写在答题纸上：（每小题3分，共30分）1、多项式整除的条件是：（ ）。a. ; b. ; c. 。2、如果一个阶行列式中每行每列恰有一个元素为1而其余元素均为0，则该行列式的值为（ ）。a. ；b. 或; c. 。3、齐次线性方程组（ ）。a. 无解；b. 有无穷组解；c. 仅有零解。4、设均是阶下三角矩阵，则它们的乘积（ ）。a. 仍为下三角矩阵；b. 为上三角矩阵; c. 为对角矩阵。5、如果阶矩阵为行满秩矩阵

2、，则（ ）。a. 对称正定；b. 对称负定; c. 对称半正定。6、（ ）是实数域上次数不超过3的一元多项式作成的线性空间的一组基。 a. ；b. ; c. 。7、设是实数域上线性空间的线性变换全体按通常运算形成的线性空间，且,是中给定的一个非零向量，则（ ）。a. 不是的子空间; b. 是的真子空间;c. 是的平凡子空间。 2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副题） *学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论专业研究方向：各方向考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分

3、一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答题纸上，不需说明理由，每题2分，共20分）：1、 如果是一元整系数多项式，而且互质的整数使整除,则是的根。 2、是奇排列。 3、如果元实系数齐次线性方程组的解空间为全体维实列向量组成的线性空间的真子空间，则该齐次线性方程组的系数不全为零。 4、正交变换保持向量的长度不变。 5、如果一个阶对称矩阵的伴随矩阵正定，则正定。 6、如果为全体维实列向量按通常向量加法和数乘运算组成的线性空间，而且阶实矩阵满足：，令，则。 7、如果实数域上的线性空间与其任意真子空间均不同构，则线性空间一定是有限维空间。 8、如果为维线性空间的一个线性变换

4、，为的子空间，则 。 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 1 页 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 2 页三、(15分) 假设是素数，证明：在有理数域上不可约。四、（15分）设，为由主对角线元素依次为、第一行元素依次为、第一列从第二个元素开始全为1、其它元素均为0的行列式,的第一行中各元素的代数余子式依次为，求的值。5、 （15分） 设为的实数矩阵，证明：齐次线性方程组同解。6、 （15分） 设为的实数矩阵，证明：齐次线性方程组同解。7、 （15分）设均是阶方阵，I是阶单位矩阵，且，可逆，证明：。8、 （15分）如果是阶反对称矩阵，即，证明：合同于一个以或0为对角块组成的对角块矩阵。9、

5、 （10分）设是阶可逆实方阵，证明：存在正交矩阵及正数使：。2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副题） *学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论专业研究方向：各方向考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分8、矩阵的初等因子是（ ）。a. ; b. ; c. 。9、设，则（ ）。a. ; b. ; c. 。10、设是一个维实列向量，I是阶单位矩阵，则为（ ）a. 上三角矩阵; b.对称正交阵 ; c. 对角矩阵。 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 3 页 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 4 页