孙会元固体物理基础第三章能带论课件39布洛赫电子.ppt
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- 会元 固体 物理 基础 第三 能带 课件 39 布洛赫 电子
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1、1 .1 .恒定磁场恒定磁场中的准经典运动中的准经典运动准经典运动的两个方程:准经典运动的两个方程:一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动1()()krv kk() ( )dke v kBdt 所以,在所以,在 空间中,波矢空间中,波矢 满足满足 : kkdkdt1). 垂直于垂直于 的方向的方向 B0kB/0,zzdkBzkdt设轴,则保持为常量。2). (波矢的变化波矢的变化)垂直于垂直于 的方向的方向 dkdt()v k0kv10dkdddtdkdt说明电子沿着等能面运动说明电子沿着等能面运动 因而因而,在在k空间空间,电子总是沿着电子总是沿着垂直于磁场
2、的垂直于磁场的平面和等能面平面和等能面的交线运动的交线运动.说明说明k k沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量 1()()kv kk() ()dke v kBdt222km 自由电子的等能面是球面自由电子的等能面是球面,与与 kz 垂直垂直的平面与等能面的交线就是一系列圆的平面与等能面的交线就是一系列圆.0 xyyxzdkeBkdtmdkeBkdtmdkdt ( )kv kmdkekBdtm zkBkxkykk(1)电子在电子在 空间的运动图象空间的运动图象k 在在k空间,电子总是沿着垂直于空间,电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动磁场的平面和
3、等能面的交线运动以以自由电子为例自由电子为例加以讨论:加以讨论:222km(0,0,)BB kz 保持不变保持不变,在在 kx ky 面内做匀速面内做匀速圆周运动圆周运动,回转的频率回转的频率 0/eB m(2)电子在实空间的运动图象电子在实空间的运动图象0yyxxxyzxydvdkeBeBdtm dtmmdvdkeBdtm dtmkvmkvdvdeBmmt ( )kv kmxxyyzzvkmvkmvkm 电子在电子在r 空间做空间做螺旋运动螺旋运动,即在,即在垂直磁场垂直磁场的平面内的平面内做匀速圆周运动,回旋频率为做匀速圆周运动,回旋频率为0/eB m 以上讨论的是自由电子,对于布洛赫电子
4、,由于以上讨论的是自由电子,对于布洛赫电子,由于晶格周期场的作用,闭合轨道并不一定是圆形,但形晶格周期场的作用,闭合轨道并不一定是圆形,但形式上仍可写成:式上仍可写成:*;()ccceBmcyclotroneffective massm称为回旋有效质量相应的周期为:相应的周期为:2( ,)zcdkdkdkTkeBeBvkvdd() ( )ddkkeBe v kBvtt 设设(k)是垂直于磁场的轨道平面内能量为是垂直于磁场的轨道平面内能量为和和 + 两两个等能面间法线距离。个等能面间法线距离。 kdk( )k如图:如图:由由 得:得: 1()()krv kk()()vkvk22( )( ,)zc
5、dkk dkTkeBveB2( ,)zAkeB( ,)zzAkkk是用 , 标记的轨道在 空间所围面积*cceBm与与 比较可知:比较可知: 2*( ,)2zcAkm2*( ,)2zcAkm*cm是与轨道相关的回旋有效质量它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。对方程对方程 两边用两边用 叉乘,得:叉乘,得:() ( )dke v kBdt /BBB() ( )drdkBe Bv kBeBveBdtdt drdkBdteBdt r是电子在实空间位置矢量在垂直磁场方向的投影( )(0) ( )(0)rtrBk tkeB 积分得:所以所以,电子在
6、实空间的轨道可由在电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁空间的轨道绕磁场轴旋转场轴旋转90度度,并乘以因子并乘以因子 得到得到./eB( )(0)r trB ( )(0)k tkeB电子在实空间的轨道可由在电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转空间的轨道绕磁场轴旋转90度度,并乘以因子并乘以因子 得到得到./eB( )(0) ( )(0)rtrBk tkeB 二、均匀磁场中自由电子的量子化理论二、均匀磁场中自由电子的量子化理论 考虑边长为考虑边长为 L 的立方体的立方体,以它们的边长为以它们的边长为 x,y,z 轴轴,外磁场平行于外磁场平行于z 轴且均匀轴且均匀. 即:即:BBz
7、自由电子在外加磁场自由电子在外加磁场(沿沿z轴方向轴方向)的哈密顿算的哈密顿算符为:符为:2)(21AepmH p:电子的:电子的运动学动量运动学动量,A:电子的:电子的场动量场动量,Ae:矢量势矢量势1. 朗道能级朗道能级则由于则由于 且且 (,0,0)ABy AB 2)(21AepmH 22221zyxpppeBymBBz(0,0) )(or ABx 中不含中不含x,z,所以它和算符所以它和算符 及及 是对易的。根据量子力学,可选是对易的。根据量子力学,可选 的本征波函的本征波函数同时为数同时为 的本征波函数。的本征波函数。zxpp, Hxpixzpiz H可令可令 这时波函数可以写成这时
8、波函数可以写成:)()(yezkxkizx zzxxkpkp ,代入方程代入方程 得到得到:HE)()()(22202222yyyymymc ,2,220mkEkeBymeBzxc 其其中中 与量子力学中谐振子方程比较可知,上式是与量子力学中谐振子方程比较可知,上式是一个中心在一个中心在y0的谐振子波动方程的谐振子波动方程。222 21() ( )( )2xyzkeBypkyE ym2222221() ( )() ( )222zxkkeByyEym ymm谐振子能量谐振子能量回旋频率回旋频率电子的能量电子的能量由量子力学知由量子力学知mknEzc2)21(22 从准连续的能量从准连续的能量 变
9、成变成(n+1/2) c)(2222yxkkm 沿磁场沿磁场B方向方向,电子保持自由运动电子保持自由运动,mkz222相应的动能为相应的动能为 在与磁场垂直的在与磁场垂直的kz常数的平面内常数的平面内,轨道是量子化的轨道是量子化的.这些量子化的能级称为这些量子化的能级称为朗道能级朗道能级。在垂直磁场的在垂直磁场的x-y平面上平面上,电子的运动是量子化的电子的运动是量子化的 mkEz222 1()2cn0,1,2,n 电子的能量电子的能量222222222yxzkkkEmmm和自由电子比较mknEzc2)21(22 因此,电子的能量从准连续的因此,电子的能量从准连续的能谱能谱变成一维的变成一维的
10、磁次能带磁次能带如图如图,每个磁次能带是一条抛物线每个磁次能带是一条抛物线,开口向上开口向上.磁次能带磁次能带的能量极小值是:的能量极小值是:1(),2cnn量子数 就是次能带的序号。0zk0B 0n 1n2n3n( )nzE k 由于能量由于能量波矢关系的改变波矢关系的改变,在在k空间描写状态的代表点的分空间描写状态的代表点的分布也改变了布也改变了.在没有外磁场时在没有外磁场时,状态的代表点状态的代表点在在 平面是均匀分布的平面是均匀分布的,每个每个代表点占据的面积为:代表点占据的面积为: xyk k222(,2 )(2 )yyxxLL LLL这里 、是晶体与磁场垂直的平面的线度。 在有外磁
11、场在有外磁场B时时, 平面上的能量变为:平面上的能量变为: 变成了谐振子,其中心位置在变成了谐振子,其中心位置在 ,代表电子的平均位置代表电子的平均位置, 可以位于晶体中不同的可以位于晶体中不同的地点。所以:地点。所以:xykk(1/2)ncn 00/;(/)xyykeB or xkeB00()y or x0max22()2xyyyxeBkLLyeLkBmax( )xxkk所以,在的范围内电子(包含自旋)的状态数为:2max2( )24222 /22xxcxyxyekmeBmDL LL LLLhhBm 这个数目代表由于线性谐振子中心位置的不同而这个数目代表由于线性谐振子中心位置的不同而产生的简
12、并度。产生的简并度。2222221()22221()2xyxcyeBkkknmknm此外,由可知可知,当当n等于某整数时等于某整数时,在在 平面内是一个圆环平面内是一个圆环,称称为朗道环为朗道环.两个两个相邻圆环之间的面积相邻圆环之间的面积为:为:xykk22()xySkk 2221212)()(1)22xyeBeBeBkknn(222()xyeBSkk 所以,是一个是一个正比于外磁场的常量正比于外磁场的常量 在此面积中含有的原来没有外磁场时的状态数为:在此面积中含有的原来没有外磁场时的状态数为:222222222(2 )(2 )SeBLeBLDhL 即简并度。即简并度。222222222(2
13、 )(2 )SeBLeBLhL包含了所有的简并态。包含了所有的简并态。加了外磁场后加了外磁场后,这些,这些代表点都聚合到了圆周上代表点都聚合到了圆周上。xkyk无外磁场无外磁场 0n 1 23xkyk 有外磁场有外磁场 2221()2xyeBkkn由于沿磁场方向由于沿磁场方向 仍准连续变化仍准连续变化,所以在三维所以在三维k空间空间的代表点将聚集到一系列圆柱面上的代表点将聚集到一系列圆柱面上,每一个圆柱面对每一个圆柱面对应一个确定的量子数应一个确定的量子数n,最后形成所谓的最后形成所谓的朗道管朗道管。zk n一定,电子的能带是一条抛物一定,电子的能带是一条抛物线,线,n=0是最低的次能带,是最
14、低的次能带,n增加,增加,次能带向上移,如图给出磁次能次能带向上移,如图给出磁次能带的简图。带的简图。 如图所示,在如图所示,在波矢空间波矢空间形成一系列形成一系列“圆柱面圆柱面”,每一个圆柱面对应一个确定,每一个圆柱面对应一个确定的量子数的量子数n,可以看成是一个子带,在每可以看成是一个子带,在每一个子带中一个子带中只有一维自由度只有一维自由度 kz 。 电子的能量由电子的能量由准连续的能谱准连续的能谱变成一维变成一维的的磁次能带磁次能带。n= =3n= =2n= =1n= =0B= =0)(znkE0 0zk自由电子在磁场自由电子在磁场中的能量中的能量mknEzc2)21(22 不同的不同
15、的y0并不影响谐振子的本征值并不影响谐振子的本征值 ,而,而y0又依赖于波又依赖于波矢分量矢分量kx,因此不同的状态可能会是简并态。因此不同的状态可能会是简并态。其简并度是多少呢?其简并度是多少呢?22220yxyyyLkeBLLyL ,即即2yxeBLk 2. 2. 朗道能级简并度朗道能级简并度 )()()(22202222yyyymymc xkeBy 0该范围内的该范围内的波矢数波矢数为:为:2max2( )22 /22cxxyxyxkmeBmDL LLeBmLLLhh朗道能级简并度朗道能级简并度(考虑自旋考虑自旋):meBc 此简并度与磁感应强度此简并度与磁感应强度B和晶体在垂直于磁场方
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