中科大概率统计(全套课件501P).ppt

1、课件1法国有两个大数学家，一个叫做帕斯卡，一个叫做费马。法国有两个大数学家，一个叫做帕斯卡，一个叫做费马。 帕斯卡帕斯卡认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5 5局，谁就获得局，谁就获得全部赌金。赌了半天，全部赌金。赌了半天， A A赢了赢了4 4局，局， B B赢了赢了3 3局，时间很晚了，局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？ 概率的起源与博弈问题有关概率的起源与博弈问题有关-合理分配赌注问题合理分

2、配赌注问题是不是把钱分成是不是把钱分成7 7份，赢了份，赢了4 4局的就拿局的就拿4 4份，赢了份，赢了3 3局的就拿局的就拿3 3份呢？份呢？或者因为最早说的是满或者因为最早说的是满5 5局局, ,而谁也没达到，所以就一人分一半呢？而谁也没达到，所以就一人分一半呢？ 这两种分法都不对。这两种分法都不对。正确的答案是：正确的答案是：赢了赢了4局的拿这个钱的局的拿这个钱的34,赢了赢了3局的拿这个钱的局的拿这个钱的14。 课件2为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A A赢，或者赢，或者 B B赢。赢。若是若是 A A赢满了赢满了5 5局，钱应该全归他；局，钱应该

3、全归他； A A如果输了，即如果输了，即 A A、 B B各赢各赢4 4局，这个钱应该对半分。局，这个钱应该对半分。现在，现在， A A赢、输的可能性都是赢、输的可能性都是1 12,2,所以，所以，他拿的钱应该是他拿的钱应该是1 12 21 11 12 21 12 23 34,4,当然，当然， B B就应该就应该得得1 14 4。 通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念数学期望。数学期望。 在上述问题中，数学期望是一个平均值，在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱今天应该怎么算，就是对将来不确定的钱今天应该怎么算，这就

4、要用这就要用 A A赢输的概率赢输的概率1 12 2去乘上他可能得到的钱，再把它们去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。加起来。 概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科。科。课件3例例1 某车间有某车间有100台机器，它们独立地工作着，开工台机器，它们独立地工作着，开工率为率为70%，开工时耗电各为，开工时耗电各为1千瓦，问至少要供给这千瓦，问至少要供给这个车间多少电力才能保证这个车间正常生产。个车间多少电力才能保证这个车间正常生产。用概率论方法可以圆满的解决此问题。答案是供给用概率论方法可以圆满的解决此问题。答案是供给8

5、4.3千瓦即可。可能会因供电不足而影响生产，但按千瓦即可。可能会因供电不足而影响生产，但按一天工作一天工作8小时算，只有不超过小时算，只有不超过半分钟半分钟时间会出现这时间会出现这种情况。种情况。退 出目 录前一页后一页课件4例例2 在一著名的电视节目里，台上有三扇门，记为在一著名的电视节目里，台上有三扇门，记为A，B，C，其中只有一扇门后有大奖。，其中只有一扇门后有大奖。请你猜哪扇门后有大奖，如果猜中，你将得到该大奖。请你猜哪扇门后有大奖，如果猜中，你将得到该大奖。ABC 若你选择了若你选择了A，在门，在门A被打开之前，主持人打开被打开之前，主持人打开了另外两扇门中的一扇，比如是了另外两扇门

6、中的一扇，比如是B，发现门后什么都，发现门后什么都没有。没有。 问你是否改变决定（从问你是否改变决定（从A门到门到C门）？门）？(答案：选答案：选A有大奖的概率为有大奖的概率为1/3，选，选C有大奖的概率为有大奖的概率为2/3)退 出目 录前一页后一页课件5概率论与数理统计概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，性的一门学科，是重要的一个数学分支。是重要的一个数学分支。在生活当中，经常会接触到在生活当中，经常会接触到一一些些现象现象：确定性现象：确定性现象：在大量重复实验中其结果又具有在大量重复实验中其结果又具有统计规律性统计规律性的现象。的现象。

7、随机现象：随机现象：在一定条件下必然发生的现象。在一定条件下必然发生的现象。在个别实验中其结果呈现出在个别实验中其结果呈现出不确定性不确定性；概率论与数理统计概率论与数理统计 在在经济、科技、教育、管理和经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。军事等方面已得到广泛应用。退 出目 录前一页后一页课件6一、基本概念一、基本概念：基本事件基本事件、样本点、样本点)(1果果试试验验的的每每一一个个可可能能的的结结 记为记为：、样样本本空空间间2所有样本点组成的集合所有样本点组成的集合 记为记为E1：投一枚硬币：投一枚硬币3次，观察正面出现的次数次，观察正面出现的次数,32101 1.11.1

8、 随机事件和样本空间随机事件和样本空间 : 样本空间为样本空间为如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 . .6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 课件7, 3 , 2 , 1 , 02 n :2E观察总机每天观察总机每天9:0010:00接到的电话次数接到的电话次数无限样本空间无限样本空间正正面面朝朝上上用用正正表表示示抛抛一一次次硬硬币币,:3E,3反反正正 次进行观察次进行观察将一枚硬币抛将一枚硬币抛 2:4E),(),(),(),( 4反反反反正正反反反反正正正正正正 表示中表示中表示未中表示未中以以连续射击直到命中为止连续射击直到命中为止1,0,:5E

9、,001,01, 15 课件8从从中中任任取取两两件件件件次次品品件件产产品品中中有有,25:6E表示三件正品表示三件正品表示两件次品，表示两件次品，以以32121,bbbaa),(),(),(),(),(),(),(),(),(),( 323121322212312111216bbbbbbbabababababaaa， 数数为为样样本本空空间间中中样样本本点点的的个个1025 C:7次次从从中中不不放放回回地地接接连连取取两两上上题题改改为为E数数为为样样本本空空间间中中样样本本点点的的个个2025 P课件93 3、随机事件、随机事件( (事件事件):):样本空间样本空间 的子集的子集, ,

10、记为记为A,B,CA,B,C它是满足某些条件的样本点所组成的集合它是满足某些条件的样本点所组成的集合 : 样本空间为样本空间为如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 事件事件 B=“掷出奇数点掷出奇数点”事件事件 A=“掷出掷出1点点” 1,3,5 . 5,6 1 . 事件事件 C“出现的点数大于出现的点数大于4”4” 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 课件104 4、必然事件、必然事件: :全体样本点组成的事件全体样本点组成的事件, ,记为记为 每次试验必定发生的事件每次试验必定发生的事件6 6、事件发生、事件发生: :属于该集合的某一个样本点在试验属于该

11、集合的某一个样本点在试验中出现中出现5 5、不可能事件、不可能事件: :不包含任何样本点的事件不包含任何样本点的事件, ,记为记为 每次试验必定不发生的每次试验必定不发生的事件事件 事件事件 B=“掷出奇数点掷出奇数点”课件11算算二二、事事件件间间的的关关系系及及运运 A 包含于包含于BBA 事件事件 A 发生必然导致事件发生必然导致事件 B 发生发生 A B 1. 1. 事件的事件的包含包含2. 2. 事件的相等事件的相等ABBABA 且且课件12 BAAB3. 3. 事件的并事件的并( (和和) ) 至至少少有有一一个个发发生生与与事事件件BABA BAB A. .事件的交事件的交( (

12、积积) )都都发发生生与与事事件件BA的的并并事事件件与与 BA 发发生生BA的的交交事事件件与与 BA 发发生生BABA )(AB或或课件13BAB A. .事件的差事件的差BA 的的差差事事件件与与 BA 发发生生BA不不发发生生发发生生而而事事件件BAAB. .互不相容事件互不相容事件 A 与与B 互斥互斥 AB不不能能同同时时发发生生与与 BA课件14 A 与与B 互相对立互相对立 BAAB, 每次试验每次试验 A、 B中有中有且只有一个发生且只有一个发生ABAB 称称B 为为A的对立事件的对立事件(or逆事件逆事件)，记为记为注意：注意：“A与与B 互相对立互相对立”与与“A与与B互

13、斥互斥”是不同的概念是不同的概念7. 7. 对立事件对立事件A课件158. 8. 完备事件组完备事件组 niiA1nAAA,21若若 两两互斥，且两两互斥，且nAAA,21则称则称 为为完备事件组完备事件组1AnA1nA2A3AnAAA,21或称或称 为为 的一个的一个划分划分课件16事件运算的性质事件运算的性质. 9ABBAABBA 交换律：交换律：)()()()(CBACBACBACBA 结合律：结合律：)()()(CBCACBABCACCBA 分配律：分配律：BAABBABA 对偶律：对偶律：课件17下下列列事事件件用用字字母母和和运运算算符符号号表表示示是是三三个个事事件件例例,C,B

14、,A1发生发生只有只有A)1(不发生不发生都发生且都发生且 CBA,)2(三个事件同时发生三个事件同时发生)3(三个事件恰有一个发生三个事件恰有一个发生)4(三个事件恰好发生两个三个事件恰好发生两个)5(个个三三个个事事件件中中至至少少发发生生两两)6(发生发生三个事件中不多于两个三个事件中不多于两个)7(课件18BA,S,RB,iA,ii表表示示事事件件请请用用之之间间为为通通路路表表示示个个开开关关闭闭合合第第表表示示表表示示开开关关，如如图图，设设例例43212课件19 那么要问那么要问: 如何求得某事件的概率呢如何求得某事件的概率呢?下面几节就来回答这个问题下面几节就来回答这个问题.

15、研究随机现象，不仅关心试验中会出研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是的可能性大小，也就是事事率率件件概概的的课件20设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，nmfn则称 为事件A发生的频率频率一一. 概率的统计定义概率的统计定义1. 频率 2. 频率的稳定性 1.2 随机事件的概率随机事件的概率课件21试验者试验者抛币次数抛币次数n “正面向上正面向上”次次数数 频率频率De Morgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pear

16、son24000120120.5005m)(Afn抛掷硬币试验记录抛掷硬币试验记录 Afn , 的的频频率率正正面面向向上上出出现现从从上上表表中中可可以以看看出出 , 次次但总的趋势是随着试验但总的趋势是随着试验的不同而变动的不同而变动虽然随虽然随 n . 5 . 0 这个数值上这个数值上数的增加而逐渐稳定在数的增加而逐渐稳定在 可见可见, 在大量重复的试验中在大量重复的试验中,随机事件出现的随机事件出现的频率具频率具 有稳定性有稳定性.即通常所说的即通常所说的统计规律性统计规律性.课件22在相同条件下重复进行的 n 次试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n

17、 越大摆动幅度越小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).对本定义的评价对本定义的评价优点：直观 易懂缺点：粗糙 模糊不便使用3. 概率的统计定义课件23设 随机试验E 具有下列特点：q 样本空间是有限的q 每个基本事件的发生是等可能的则称 E 为 古典古典(等可能等可能)概型概型2.古典概型中概率的计算：二二. 概率的古典定义（古典概率）概率的古典定义（古典概率）1. 古典概型nmAP)(事件事件A中样本点的个数中样本点的个数样本空间中样本点的个数样本空间中样本点的个数课件24次”恰好出现“数）（”和个数中不含“）（的概率：个数，试求下列各事件先后取出能性相等，取后放回，假定每个

18、数被抽到的可数，个数中，每次取出一个共，从例2102101717101021.BA天的概率为多大？有两个人的生日在同一），问至少个人（思考：某班级有365nn课件25几何概型几何概型 设样本空间为有限区域 , 若样本点落入 内任何区域 D 中的概率与区域D的测度成正比, 则样本点落入D内的概率为的测度的测度DAP)(三三. 概率的几何定义（几何概率）概率的几何定义（几何概率）”的概率为“两数之和小于则事件）中随机取出两个数，在区间（例5610.课件26 用几何概型可以回答用几何概型可以回答“概率为概率为1 1的事件的事件为什么不一定发生为什么不一定发生?”?”这一问题这一问题. .如图，设试验

19、E 为“ 随机地向边0 1 x Y1 长为1 的正方形内黄、蓝两个三角形投点” 事件A 为“点投在黄、蓝两个三角形内” , 求)(AP11111)(2121正方形蓝三角形黄三角形SSSAP由于点可能投在正方形的对角线上, 所以事件A未必一定发生.课件27 设 是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理：q 非负性：0)(,APAq 规范性：1)(P11)(iiiiAPAPq 可列可加性：,21AA其中 为两两互斥事件 1.3 概率的公理化定义与性质概率的公理化定义与性质课件28概

20、率的基本性质概率的基本性质（2）0)(P（1）)(1)(APAP1)(0AP（3）有限可加性: 设 nAAA,21两两互斥niiniiAPAP11)(（5）若AB)()()(BPAPBAP)()(APBP（4） 对任意任意两个事件A, B, 有 )()()(ABPAPBAP减法公式减法公式课件29 （6） 加法公式加法公式：对任意任意两个事件A, B, 有 )()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP推广推广：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP课件30)( BAP则)(BAPrBAPqBPpAP)(,)(,)(. 1已知例）（，有，

21、试证：对任意两个事件例ABPBA. 2)()(1BPAP课件31 例3 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出第 一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王解 设事件Ai 表示“能答出第 i 类问题” i = 1,2(1)6 . 01 . 07 . 0)()()(21121AAPAPAAP(1) 答出第一类而答不出第二类问题的概率 (2) 两类问题中至少有一类能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率(2)8 . 0)()()()(212121AAPAPAPAAP(3)2 . 0)()(2121AAPAAP课件32课后同学问：课后同学问

22、： 例3 中小王他能答出第一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 ？2 . 07 . 0若是的话, 则应有)()()(2121APAPAAP而现在题中并未给出这一条件.在1.5中将告诉我们上述等式成立的条件是 ：事件 相互独立.21,AA课件331. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6,求P(A-B).2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(-AB) 解答解答:(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(AB) =0.1, 所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3 (2)P(-AB)=1-P(

23、AB)=1-P(A)-P(A-B) =1-0.7+0.3=0.6课堂练习课堂练习课件344 4 条条 件件 概概 率率一一 条条 件件 概概 率率二二 乘乘 法法 公公 式式三三 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式退 出前一页后一页目 录课件35一、条一、条 件件 概概 率率 条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。它所考虑的是事件它所考虑的是事件 B 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件 A 发生的概率。发生的概率。设设A、B是某随机试验中的两个事件，且是某随机试验中的两个事件，且0)( BP则称事件则称事件A在在“事件事件B已发生已发生

24、”这一附加条件下的这一附加条件下的概率为概率为在事件在事件B已发生的条件下事件已发生的条件下事件A的的条件概率条件概率，简称为简称为A在在B之下的之下的条件概率条件概率，记为，记为 BAP1）条件概率的定义：）条件概率的定义：退 出前一页后一页目 录课件36例例 1 两台车床加工同一种零件共两台车床加工同一种零件共100个，结果如下个，结果如下 合格品数合格品数 次品数次品数 总计总计第一台车床加工数第一台车床加工数 30 5 35第二台车床加工数第二台车床加工数 50 15 65总总 计计 80 20 100第一章 概率论的基本概念设设A= 从从100个零件中任取一个是合格品个零件中任取一个

25、是合格品 B=从从100个零件中任取一个是第一台车床加工的个零件中任取一个是第一台车床加工的 解：解： 3530 BAP ,10080 AP ,10080 AP ,10030 ABP . )|(,),(,BAPABPBPAP求：求： ,10035 BP退 出前一页后一页目 录课件37注：注：由例由例1可以看出，事件可以看出，事件A在在“事件事件B已发生已发生” 这附这附 加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的的 第一章 概率论的基本概念 BPABPBAP 但有但有称为称为在事件在事件B已发生的条件下事件已发生的条件下事件A的的条件概率条件概率，简称为

26、简称为A在在B之下的之下的条件概率条件概率。 0 BP设设A、B是某随机试验中的两个事件，且是某随机试验中的两个事件，且 BPABPBAP 则则因此，有下面的因此，有下面的定义：定义：退 出前一页后一页目 录课件380)( BAP1)( BP 11iiiiBAPBAPq 非负性非负性q 规范性规范性 q 可列可加性可列可加性 两两互斥两两互斥，其中其中21AA2）条件概率的性质：）条件概率的性质：课件39)()()(21121BAAPBAPBAAP q )(1)(BAPBAP q q 则则互不相容互不相容设设,21AA)()()( (2121BAPBAPBAAP )()()()( (21212

27、1BAAPBAPBAPBAAP q 21, AA对任意事件对任意事件课件40 某厂生产的灯泡能用某厂生产的灯泡能用1000小时的概率小时的概率 为为0.8, 能用能用1500小时的概率为小时的概率为0.4 , 求已用求已用 1000小时的灯泡能用到小时的灯泡能用到1500小时的概率小时的概率 设设 A 表示灯泡能用到表示灯泡能用到1000小时小时所求概率为所求概率为)(ABPAB )()(APBP 例例2 2B 表示灯泡能用到表示灯泡能用到1500小时小时解解 )()(APABP 218 . 04 . 0 课件41例例3 3 某人外出旅游两天某人外出旅游两天, 需知道两天的天需知道两天的天气情

28、况气情况, 据预报据预报, 第一天下雨的概率为第一天下雨的概率为 0.6,第二天下雨的概率为第二天下雨的概率为0.3, 两天都下雨的概两天都下雨的概率为率为0.1. 求求 第一天下雨时第一天下雨时, 第二天不下雨第二天不下雨的概率的概率设设A与与B 分别表示第一天与第二天下雨分别表示第一天与第二天下雨)(ABP故故656 . 01 . 06 . 0 7 . 0)( BP1 . 0)(3 . 0)(6 . 0)( ABPBPAP由由题题意意解解 )()(APBAP )()()(APABPAP 课件42条件概率与无条件概率条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系之间的大小无确定关系上例中上例中)(

29、616 . 01 . 0)()()(BPAPABPABP )()()()()(BPAPBPAPABPABP AB 若若一般地一般地课件43 例例4 4 从混有从混有5张假钞的张假钞的20张百元钞票中任意抽张百元钞票中任意抽 出出2张张 , 将其中将其中1张放到验钞机上检验发现是张放到验钞机上检验发现是假钞假钞 , 求求2 张都是假钞的概率张都是假钞的概率 解解: : 令令 A 表示抽到表示抽到2 张都是假钞张都是假钞 B表示表示2 张中至少有张中至少有1张假钞张假钞)(BAP)(AP而而不不是是则所求概率是则所求概率是BA )()(APABP 22025/CC 2201151525/ )()(

30、CCCCBP )(/ )()(BPABPBAP 所以所以 118. 085/10)/(1151522025 CCCC课件44二、乘法公式二、乘法公式由条件概率的定义由条件概率的定义 APABPABP 我们得我们得 ABPAPABP 这就是两个事件的这就是两个事件的乘法公式乘法公式第一章 概率论的基本概念两个事件的乘法公式：两个事件的乘法公式：退 出前一页后一页目 录课件45) 0)()()()( APABPAPABP) 0)()()()( BPBAPBPABP推广推广) 0)()()()()(12112112121 nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP)0)()()()()( ABPA

31、BCPABPAPABCPBA,对任意事件对任意事件课件46例例1 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了一个白球，直至取出黑球为止求取了n 次都未次都未取出黑球的概率取出黑球的概率解：解： 次次都都未未取取出出黑黑球球取取了了设设nB niiAi，次取出白球次取出白球第第21 则则nAAAB21 由乘法公式，我们有由乘法公式，我们有第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录课件47 nAAAPBP21 121213121 nnAAAAP

32、AAAPAAPAP1433221 nn11 n第一章 概率论的基本概念3条件概率退 出前一页后一页目 录课件48 例例 1 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为打破的概率为 1/21/2 ，若第一次落下未打破，第二，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为次落下打破的概率为 7/107/10 , ,若前两次落下未打破，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为第三次落下打破的概率为 9/109/10 。求透镜落下三次。求透镜落下三次而未打破的概率。而未打破的概率。解：解：以以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件表示事件“透镜第透镜第 i

33、 次落下打次落下打破破”，以，以 B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”，有：有：)()(321AAAPBP 第一章 概率论的基本概念)|()|()(213121AAAPAAPAP .2003)1091)(1071)(211 ( 退 出前一页后一页目 录课件49 一场精彩的足球赛将要举行一场精彩的足球赛将要举行, 5个个球迷好不容易才搞到一张入场券球迷好不容易才搞到一张入场券.大家大家都想去都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片张同样的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”,其余的什么也没其余的什么也没写写. 将它

34、们放在一起将它们放在一起,洗匀洗匀,让让5个人依次抽取个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？ “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”思考课件50 到底谁说的对呢？让我们用概率到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下论的知识来计算一下,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率到底有多大的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”课件5

35、1我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然显然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”课件52因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未个人未抽到，抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5计算得：

36、计算得：课件53)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券” 的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说，课件54例例1 为了防止意外为了防止意外,矿井内同时装有矿井内同时装有A 与与B两两两种报警设备两种报警设备, 已知设备

37、已知设备 A 单独使用时有效单独使用时有效的概率为的概率为0.92, 设备设备 B 单独使用时有效的概单独使用时有效的概率为率为0.93, 在设备在设备 A 失效的条件下失效的条件下, 设备设备B 有有效的概率为效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率报警设备有效的概率.设事件设事件 A, B 分别表示设备分别表示设备A, B 单独使用时有效单独使用时有效 85. 0 ABP92. 0)( AP93. 0)( BP已知已知求求 BAP 解解课件55方法一方法一由由 )(1)()(APABPBPABP 08. 0)(93. 085. 0ABP 即即8

38、62. 0)( ABP故故)()()()(ABPBPAPBAP 方法二方法二)(BAP 988. 0)( BAP故故)(BAP )(1)(ABPAP 988. 0862. 093. 092. 0 012. 085. 0108. 0 )()(ABPAP 课件56有有中中任任一一事事件件则则对对即即的的一一个个分分割割，是是样样本本空空间间设设事事件件组组,),(), 1(0)(,121BAjiAAniAPAAAinijiin niiiABPAPBP1|三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式1 1）全）全 概概 率率 公公 式：式：课件57全概率公式的使用：全概率公式的使用：我们把事

39、件我们把事件B 看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，因，因，看作该过程的若干个原看作该过程的若干个原把把nAAA,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 已知已知即即iAP 已已知知即即iABP而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率 BP即即求求第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录课件58例例1 1，求求全全厂厂产产品品的的次次品品率率，分分别别为为，各各车车间间产产品品的的次次品品率率，产产量量分分别别占占全全厂厂的的产产品品，每

40、每个个车车间间的的丙丙三三个个车车间间生生产产同同一一种种乙乙某某厂厂由由甲甲%2%4%5%40%35%25,解解则则表表示示取取到到次次品品丙丙车车间间乙乙分分别别表表示示产产品品来来自自甲甲设设,321BAAA)()()(31iiiABPAPBP 02. 04 . 004. 035. 005. 025. 0 0345. 0 ,25. 0)(1 AP,05. 0)|(1 ABP由由全全概概率率公公式式，得得4 . 0)(,35. 0)(32 APAP02. 0)|(,04. 0)|(32 ABPABP课件59第二次取到次品第二次取到次品分别表示第一次分别表示第一次设设,BA)()()()()

41、(ABPAPABPAPBP 5199920010008009991991000200 说说明明了了抽抽签签的的公公平平性性率率求求第第二二次次取取到到次次品品的的概概件件不不放放回回地地取取件件次次品品，依依次次件件产产品品中中有有设设,22001000例例2 2解解课件60 这一类问题是这一类问题是“已知结果求原因已知结果求原因”. 在实际中在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小发生条件下，探求各原因发生可能性大小.引例引例?,%2%4%5%40%35%25大大的的责责任任问问哪哪个个车车间间应应该该承

42、承担担更更任任取取一一件件恰恰好好是是次次品品，若若从从中中，别别为为各各车车间间产产品品的的次次品品率率分分，全全厂厂的的每每个个车车间间的的产产量量分分别别占占车车间间生生产产同同一一种种产产品品，某某厂厂由由甲甲，乙乙，丙丙三三个个接下来我们介绍为解决这类问题而引出的接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式贝叶斯公式2 2）贝）贝 叶叶 斯斯 公公 式：式：课件61)(BAPi)()(BPBAPi nkkkiiABPAPABPAP1)()()()(Bayes公式公式 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯 给出给出. 它是在观察到事件它是在观察到事件B已发生的条件下，已发生的

43、条件下，寻找导致寻找导致 B 发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.贝叶斯公式贝叶斯公式 , , A21为样本空间的为样本空间的设设nAA , 0 , , 则则且且中的任一事件中的任一事件为为一个划分一个划分 BPB课件62 英国数学家,1763年，贝叶斯发表论机会学说问题的求解中，提出了一种归纳推理的理论，其中的“贝叶斯定理（或贝叶斯公式）”给出了在已知结果E后，对所有原因C计算其条件概率（后验概率） 的公式.如今在概率、数理统计学中以贝叶斯姓氏命名的有贝叶斯公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝叶斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计等等. 贝叶斯是一位自学成才的数学家.曾助理

44、宗教事务，后来长期担任坦布里奇韦尔斯地方教堂的牧师. 课件63例例1 1?%2%4%5%40%35%25率率问问它它是是乙乙车车间间生生产产的的概概任任取取一一件件恰恰好好是是次次品品，若若从从中中，别别为为各各车车间间产产品品的的次次品品率率分分，全全厂厂的的每每个个车车间间的的产产量量分分别别占占车车间间生生产产同同一一种种产产品品，某某厂厂由由甲甲，乙乙，丙丙三三个个分析分析贝叶斯公式在实际中有很多应用贝叶斯公式在实际中有很多应用. 它可以帮助人们确定某结果它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因发生的最可能原因.4 . 0)(,35. 0)(,25. 0)(321 APAPAP02.

45、0)|(,04. 0)|(,05. 0)|(321 ABPABPABP则则表表示示取取到到次次品品丙丙车车间间乙乙分分别别表表示示产产品品来来自自甲甲设设,321BAAA已知已知往求往求)|(2BAP课件64例例2 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种，患者对一种试验反应是阳性的概率为试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验，正常人对这种试验反应是阳性的概率为反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症

46、”. C分析分析:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求 P(C|A).04. 0)|(,95. 0)|(995. 0)(,005. 0)( CAPCAPCPCP已知已知课件65现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义. .由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？课

47、件66 如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为是患者的概率为从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍倍.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(CA)= 0.1066 P(C)=0.005 课件67 试验结果为阳性试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有

48、癌症，这种可能性只有症，这种可能性只有10.66% (平均来说，平均来说，1000个人个人中大约只有中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再，此时医生常要通过再试验来确认试验来确认. 课件68例例3 3的的概概率率”信信号号“”时时，发发报报台台确确实实发发出出收收到到信信号号“”，求求当当收收报报台台”和和“收收到到信信号号“和和收收报报台台分分别别以以概概率率”时时又又若若发发出出信信号号为为“”，”和和“收收到到信信号号“和和台台分分别别以以概概率率收收报报”时时当当发发出出信信号号“由由于于通通信信受受到到干干扰扰”，”和和“发发出出信信号号“和和发发报报台台分分别别

49、以以*1 . 09 . 0,*2 . 08 . 0,*,*4 . 06 . 0 说明：说明：全概率公式，贝叶斯公式非常重要，在运用全概率公式，贝叶斯公式非常重要，在运用时时关键关键是找到样本空间的划分。是找到样本空间的划分。课件69全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式小结小结 niiiB|APBPAP1由因求果由因求果)(ABPi njjjiiBAPBPBAPBP1)()()()(执果求因执果求因称称)(ABPi为为后验概率后验概率,它是得到了信息事件它是得到了信息事件A发生发生再对导致再对导致 A 发生的原因发生的可能性大小重新加以修正发生的原因发生的可能性大小重新加以修正 称称 P(

50、Bi ) 为为先验概率先验概率，它是由以往的经验得到的，它是由以往的经验得到的，它是事件它是事件 A 的原因的原因课件70 事件 A 的发生不影响事件 B 的发生可视为事件A与B相互独立定义定义1设 A , B 为两事件，若)()()(BPAPABP 则称事件A与事件B相互独立 1.5 事件的独立性事件的独立性一、一、 两个事件的独立性两个事件的独立性课件71事件独立性的性质事件独立性的性质1）A 与与 B 相互独立是相互对称的相互独立是相互对称的)()(BAPAP 2 2）如果事件）如果事件A A与与B B 相互独立相互独立, ,而且而且则则, 0)( BP,0)(,0)(4 BPAP）若若