高等数学-K值法解决中值定理.doc

K值法解决中值定理的问题1. 设在上具有连续的二阶导数，求证：，使得。2. 设在上二阶可导，求证：至少存在一点，使得。3. 设在上连续，在内二阶可导，求证：，使得。4. 设在上存在三阶导数，.证明：存在，使得。5. 设在上二阶可导，证明：对于存在，使得。6. 设函数在上可导，在内二阶可导，若，证明：存在，使得。7. 设有实数，其中，函数在上有阶导数，并满足,证明：对任意的，都相应的有，使得。上面7个小题均可用同一种方法证明，即K值法。下面证明1,7，其余均可类似证明1解：令 设 则，所以由罗尔定理知存在一点使得。 又 所以 在处将展开泰勒展式，并令，得到 其中，比较，得。 所以存在使得。7解：当，结论显然成立当时，令设用次罗尔定理知，存在，使得，即，所以命题成立。