青岛科技大学考研专业课试题2016高等代数.pdf

1、 第 页（共 5 页） 1 青青 岛岛 科科 技技 大大 学学 二二一一六六年年硕硕士研究生士研究生入学考入学考试试试试题题 考试科目：考试科目：高等代数高等代数 注意事项：1本试卷共四道大题（共计 26 个小题） ，满分 150 分； 2本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划； 3必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。 一一、填空题（每小题填空题（每小题 4 4 分，共分，共 4 40 0 分）分） 1. 设42( )8 f xxaxbxQ x ,如果 1 是( )f x的重根，则a ，b 。 2. 若11122

2、23333933453abcabcabc，则123123123aaabbbccc 。 3. 记矩阵111011191525第三列三个位置的代数余子式依次是132333,AAA，则表达式 13233325AAA 。 4.设, A B满足2A BABE，其中E是 3 阶单位矩阵，若201020003A，则 B 。 5. t满足 时，二次型2221122324(1)xtx xxtx是正定的。 6. 在 线 性 空 间3P中 ， 已 知 两 向 量 组12(1,2,1,0)( 1,1,1,1,) ，12(2, 1,0,1)(1, 1,3,7)， 1212,LL 的维数是 。 7. 已知三阶矩阵A的特征

3、值分别是 1，-1，2，则24AE 。 第 页（共 5 页） 2 8. 在 线 性 空 间3P中 ， 线 性 变 换12312231(,)( 2,)xxxxxxxx，在 基123( 1, 0 , 0 ) ,( 0 , 1, 0 ) ,( 0 , 0 , 1 )下的矩阵是 。 9. 4 级矩阵A的初等因子为21,1,(2)，则A的若尔当标准形为 。 10. 已知 3 维欧氏空间中有一组基123, ，其度量矩阵为110120003A ，向量12323 ，则 。 二、选择题（每小题二、选择题（每小题 3 3 分，满分分，满分 3030 分）分） 1.若( ( ), ( )1f x g x，则以下命题

4、为假的是（ ） 。 A22( ),( )1fx gx ； B若还有( ( ), ( )1f x h x，则( ( ), ( )( )1f x g xh x； C( )( ) ( )g xf x h x，必有( ) ( )g x h x； D( ( ) ( ), ( )( )1f x g xf xg x 。 2. 设A为 3 阶矩阵， 将A的第 2 行加到第一行得B， 再将B的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得C，记110010001P，则（ ） 。 A1CP AP ； B1CPAP ； CCPAP； DCPAP 。 3. 若112212,.,.,rtSS 是有限维线性空间V的两个线性无关的向

5、量组，且rt，则（ ） A一定存在2hS，使得1hS仍是线性无关的； B一定不存在2hS，使得1hS仍是线性无关的； 第 页（共 5 页） 3 C可能存在1232,.,t rjjjSS，使得13SS是线性无关的（11.t rjjt） ； D 以上选项都不对。 4.若实系数方程组111222333a xb yca xb yca xb yc有解，记111222333abcDabcabc，则（ ） 。 A0D ； B0D； C0D ； DD可以是任何实数。 5.向量123, 线性无关，1可由123, 线性表示，而2不能由123, 线性表示，则必有（ ） 。 A1231, 线性相关； B1232, 线

6、性相关； C1231, 线性无关； D1232, 线性无关。 6.设自然数1mn，R表示实数域，记m n型实矩阵ijm na的行向量组 为 12,.,m ，列向量组为12,.,n ，若它们线性组合的向量空间分别记为 11122.,1,2,.,mmiSR im 11122.,1,2,.,nniSR in 。 则维数1dimS与2dimS的关系是（ ） 。 A12dimdimSS； B12dimdimSS； C12dimdimSS； D没有确定的大小关系。 7.二次型2222422xyzxyyzxz的矩阵是（ ） 。 A 121221111； B221211111； 第 页（共 5 页） 4 C1

7、210221011100000； D在目前条件下不确定。 8. 设12(0, ,0),0 , ( , ,0) ,VxxR xVx yx yR，则（ ）是3R的子空间。 A 1V； B2V； C12VV； D12VV。 9.下列命题为真的是（ ） 。 A线性空间V上的线性变换在不同基下的矩阵合同； B秩相等的两个矩阵等价； C线性变换将线性相关向量组变为线性相关向量组； D线性变换将线性无关向量组变为线性无关向量组。 10设,P Q都是n阶正交矩阵，则下列矩阵仍是正交矩阵的是（ ） 。 APQ； BPQ； C()kP kR； D11P Q。 三、三、计算题（满分计算题（满分 4 40 0 分）分

8、） 1 (12 分) 求a与b， 使齐次线性方程组03020zbyxzbyxzyax有非零解， 并求相应的基础解系。 2.（13 分）在线性空间 3R x中，求基22221,1,xxxxxx xx到基的过渡矩阵，并求向量21 2xx在基221,xx xx下的坐标。 3 （ 15 分 ） 已 知2 2P的 空 间1112112221220,ijxxWxxxPxx和 线 性 变 换()TTXB XX B，2 2XP，1101B。 （1）求W的一组基； （2）因为W是的不变子空间，将看成W上的线性变换，求W的一组基，使在该基下的矩阵为对角矩阵。 四、四、 证明题（满分证明题（满分 4040 分）分） 第 页（共 5 页） 5 1.（13 分）证明1100010001000001nn。 2 （12 分）设A为n n矩阵，证明：如果2AE，那么 ()()rank AErank AEn。 3 （15 分）令为数域F上n维线性空间V的一个线性变换，且满足条件2，证明：（1）( )( )|KeruuuV； （2）( )Im( )VKer。