线性系统的运动教学课件PPT.ppt

1、第第2 2章章 线性系统的运动分析线性系统的运动分析 定性分析定性分析-着重对决定系统行为和综合系统结构具着重对决定系统行为和综合系统结构具 有重要意义的几个关键性质，如能控性、能观有重要意义的几个关键性质，如能控性、能观 测性和稳定性等进行分析测性和稳定性等进行分析定量分析定量分析-对系统的运动规律进行精确的研究，即定对系统的运动规律进行精确的研究，即定 量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。即量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。即 用数学方法求解系统状态空间方程解的表达式。用数学方法求解系统状态空间方程解的表达式。 问题：问题：对给定的控制输入和初始状态，如何确定任意对给定的控制输入

2、和初始状态，如何确定任意时刻的系统状态和输出的变化过程？时刻的系统状态和输出的变化过程？利用线性系统的特性利用线性系统的特性: :叠加原理叠加原理( (初始状态、外部输入初始状态、外部输入 作用的叠加）作用的叠加）00)(xtxBuAxx 2.1 2.1 线性系统的自由运动线性系统的自由运动2.2 2.2 线性系统的一般运动线性系统的一般运动2.3 2.3 连续系统的状态空间描述的离散化连续系统的状态空间描述的离散化2.4 2.4 线性离散时间系统的一般运动线性离散时间系统的一般运动第第2 2章章 线性系统的运动分析线性系统的运动分析 2.1 2.1 线性系统的自由运动线性系统的自由运动线性系

3、统自由运动分析的数学实质线性系统自由运动分析的数学实质 系统的自由运动反映的是系统内在的固有参数系统的自由运动反映的是系统内在的固有参数及结构特性，研究分析系统的自由运动是研究分析及结构特性，研究分析系统的自由运动是研究分析系统的一般运动的基础。系统的一般运动的基础。 指在输入向量指在输入向量 及初始状态及初始状态 的条件下的条件下系统的运动系统的运动 0)(tu0)(0tx1. 1. 齐次状态方程解的一般表达式齐次状态方程解的一般表达式2. 2. 状态转移矩阵状态转移矩阵)()(tAxtx求解齐次状态方程：) 11 . 2(,)()()()(000ttt,tttxxxAx )21 . 2()

4、(2210iittttbbbbx) 31 . 2()(22210121iiiittttitbbbbAbbb)41 . 2(!11212101021201bAAbbbAAbbAbbiiiii0)0(bx令t =0 )51 . 2()0(!1! 21!1! 21)(22020200 xAAAIbAbAAbbxiiiititttittt（一）齐次状态方程解的一般表达式（一）齐次状态方程解的一般表达式 因此因此, ,齐次状态方程的解为齐次状态方程的解为: :022!1! 21)(xtAitAAtItxii022!1!1! 211iiiiiattaitaitaate根据标量指数函数定义式根据标量指数函数

5、定义式: :定义矩阵向量定义矩阵向量e eAtAt为状态转移矩阵为状态转移矩阵)6. 1 . 2(!1!1! 21022kkkiiAttAktAitAAtIe于是齐次状态方程的解为于是齐次状态方程的解为: :)71 . 2()0()(0 xxxAAtteet0 x0t)71 . 2()0()(0 xxxAAtteet 反映了系统从初始的状态向量反映了系统从初始的状态向量 ，到任意，到任意 或或 时刻的状态向量时刻的状态向量 一种矢量变换关系，一种矢量变换关系，变换矩阵就是矩阵指数函数变换矩阵就是矩阵指数函数 。 它不是一个常数矩阵，它的元素是时间它不是一个常数矩阵，它的元素是时间t的函数，的函

6、数，是一个是一个 的时变函数矩阵。的时变函数矩阵。 从时间的角度而言，意味着它使状态矢量随着从时间的角度而言，意味着它使状态矢量随着时间的推移，不断地在状态空间中作转移，所以时间的推移，不断地在状态空间中作转移，所以也称为状态转移矩阵，通常记为也称为状态转移矩阵，通常记为 。0tt Ate)(tnn)(tx)101 . 2()()(00ttettA)111 . 2(0)(0tettA)121 . 2()()()(00ttttxx)131 . 2()0()()(xxtt 自由运动的解仅是状态的转移，状态转移矩阵自由运动的解仅是状态的转移，状态转移矩阵(t) (t) 包含了系统自由运动的全部信息，

7、完全表征包含了系统自由运动的全部信息，完全表征了系统的动态特性了系统的动态特性。 表示表示x(0)到到x(t)转移矩阵。转移矩阵。表示表示x(t0)到到x(t)转移矩阵。转移矩阵。另用拉氏变换法求解齐次微分方程另用拉氏变换法求解齐次微分方程: :)()(ttAxx)()0()(sAxxssx)0()()(1xAsIsx拉氏反变换后得到齐次状态方程的解拉氏反变换后得到齐次状态方程的解: :)81 . 2()0()()(11xAsILtx)71 . 2()0()(0 xxxAAtteet对比对比)91 . 2()(11AsILeAt)14. 1 . 2(!1! 21)(22iittittetAAA

8、IA（二）状态转移矩阵（二）状态转移矩阵1. 1. 状态转移矩阵的运算性质；状态转移矩阵的运算性质；2. 2. 状态转移矩阵的计算。状态转移矩阵的计算。 a. a. 直接求取；直接求取； b. b. 拉普拉斯变换；拉普拉斯变换； c. c. 化矩阵化矩阵A A为对角型或约当型；为对角型或约当型； d.d.化矩阵指数化矩阵指数 为为A A的有限项；的有限项； e.e.利用利用MATLABMATLAB求取。求取。 tAeI)0(证：证：IAAI0.!10.!210.)0(2iiA（1 1）线性系统状态转移矩阵的运算性质）线性系统状态转移矩阵的运算性质)14. 1 . 2(!1! 21)(22iit

9、tittetAAAIA【例【例】 验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。tttt2sin2cos02cos2sin0001解：解：利用性质利用性质I)0(Ittttt0101000010sincos0cossin0001所以该矩阵不是状态转移矩阵。 由性质由性质推出：推出：A) 0 (AA)()()(ttt证：证： 式式(2.1-14)(2.1-14)式逐项对式逐项对t t求导求导 AAAAAAAA)()()!1(1! 21)!1(1! 21)(11221232tttitAtIAtitttiiii 这个性质表明，状态转移矩阵这个性质表明，状态转移矩阵 与系统矩阵与系统

10、矩阵A A满满足交换律。足交换律。 )(t)141 . 2(!1! 21)(22iittittetAAAIA【例【例】根据已知状态转移矩阵，求根据已知状态转移矩阵，求A A tttttttteeeeeeeet22222222解：根据状态转移矩阵性质解：根据状态转移矩阵性质2 2 0A tttttttteeeeeeeet2222442222 32100A )()()()()(122121tttttt证：证： 根据矩阵指数函数的定义，有根据矩阵指数函数的定义，有 21)(32132212213222122332221212212222212121211121! 3! 2)()! 3! 21! 21

11、! 3()! 2! 2()(! 21! 21.).(ttettAttAttAItt ttttAtt tttttttteettttAAtAtAAIAAIAAI表明表明 具有分段组合的性质。具有分段组合的性质。 )(t )()(1tt证：证：根据性质根据性质和和及逆矩阵定义，有及逆矩阵定义，有 Itttt)()(1tt 若若 为为 的状态转移矩阵，则的状态转移矩阵，则 引入非奇异变换引入非奇异变换 后的状态转移矩阵为：后的状态转移矩阵为：)(t)()(ttAxxxPxPePtAt1)(证：证：xAPPxAx1)0( )0( 1xxxAAPtPtee式中：式中：PPPAAAPPAPPAPAPPIPP

12、APPAPPAPPA1111111APPA1tkkkk2kkttetkttItktttkttIeet1221222)!1! 21(!1! 21)(!1)(! 21)(11)()(PPePtPttA作业作业 P105 2.3 1. 直接求取法直接求取法iittittetAAAIA!1! 21)(223210A 例例2.12.1 已知系统矩阵，求系统状态转移矩阵已知系统矩阵，求系统状态转移矩阵 。)(t 解：解：根据定义有：根据定义有：3232323233222527313732672313210! 313210! 2132101001)(ttttttttttttttettA 结论：结论：直接求取

13、法步骤简便、编程简单、易于计算机直接求取法步骤简便、编程简单、易于计算机求解。缺点是难以获得解析形式，不适合手工计算。求解。缺点是难以获得解析形式，不适合手工计算。（2 2）状态转移矩阵的计算）状态转移矩阵的计算2.2.普拉斯变换法普拉斯变换法 )91 . 2()()(11AsILetAt结论：结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，便于对系统进行分析，在系统维数得解析形式，便于对系统进行分析，在系统维数较少时，可用手工计算，在系统维数较大时，仍较少时，可用手工计算，在系统维数较大时，仍要借助计算机来计算。要借助计算机来计算。 例例2.22.2

14、跳转跳转 例例2.22.2 已知系统矩阵已知系统矩阵 ，试用拉普拉斯变换，试用拉普拉斯变换法求系统状态转移矩阵法求系统状态转移矩阵 。3210A)(t 解解: :321)(sssAI2211221221112112) 2)(1() 2)(1(2) 2)(1(1) 2)(1(3)()()(1ssssssssssssssssssAsIAsIadjsAIttttttttteeeeeeeesLet2222112222)()(AIA 返回上页若若A A为对角线矩阵为对角线矩阵 nA0021ttttneeeet00)(21AtttkknnnkkkknknnttnneeetktttktttkttIee00!

15、1! 211!1! 211!1212112212211122211A证明：证明：3.3. 化矩阵化矩阵A A为对角规范型或约当规范型方法为对角规范型或约当规范型方法 矩阵矩阵A A的特征值互异，的特征值互异， 1100100)(11PPPPPPAttttnneeeet存在一个非奇异矩阵存在一个非奇异矩阵P,P,使使A A能够通过非奇异变换对角线化能够通过非奇异变换对角线化；AAPP1引入非奇异变换引入非奇异变换xPx11)()(PPePtPttA 例例2.32.3 已知系统矩阵已知系统矩阵 ，试用化矩阵，试用化矩阵A A为为对角规范型方法求系统状态转移矩阵对角规范型方法求系统状态转移矩阵 。3

16、210A)(t 0)2)(1(321AI解：解：矩阵矩阵A A的特征方程为的特征方程为2, 1211112,211111121PPtttttttttttteeeeeeeeeeeet2222121222200)(PPPPA A A为若当矩阵为若当矩阵 nnJA10011tttntttntttJteteetnteeetnetteete000000)!2(10)!1(1! 21)(212 矩阵矩阵A A有重特征值有重特征值 设矩阵设矩阵A A为为“友友”矩阵，且矩阵，且有有m m1 1重特征值重特征值 ，m m2 2重特征值重特征值 ，互异特征值，互异特征值 12nmm,12111PJPAJAPP2

17、21122211101010101mmmm12222211211111nnPPnmmmmmmdmddddmdddPPPPPPPP11222122211111111212211)!1()!1(1)(PPJAtteet 1)!22()!12()!21()!11(10000000000)(12122)22(22)12(2211)21(11)11(111PPPPJPJPAttttmtttmtttttmtttmttttttnmmmmmmeeeeeeteeeeeeteeeeet 例例2.42.4 已知系统矩阵已知系统矩阵 ，试用化矩阵，试用化矩阵A A为为约当规范型方法求系统状态转移矩阵约当规范型方法求系

18、统状态转移矩阵 。 452100010A)(t 解：解： 矩阵矩阵A A的特征方程为：的特征方程为：0)2() 1(45210012AI2, 13214212111012110122121212111PddPPP1211321201P1200000)(PPAttttteeteeet tttttttttttttttttttttttttteeteeeteeeteeeteeeteeteeeeteeeteete2222222224388344222453)(2232两种常见的状态转移矩阵形式两种常见的状态转移矩阵形式设设 nA21tttneeet000000)(21设设 11Atttttteteeet

19、teet0002)(2 例例2.52.5 已知系统矩阵已知系统矩阵201212012A 试求状态转移矩阵试求状态转移矩阵)(tttttttttttAteteeetteeetetteeet2222222232222000002106121)(解解: :矩阵矩阵A A有复数特征值有复数特征值，此时需要将此时需要将A A化为模态标准型化为模态标准型APPA1模态标准形模态标准形其中：其中：j2, 1 模态标准形矩阵模态标准形矩阵 的的状态转移矩阵可的的状态转移矩阵可由下式计算由下式计算( (证明略证明略) )Atetetetetttteeetttttttcossinsincoscossinsinco

20、s00A结论：结论：化矩阵A A为对角规范型或约当规范型方法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，并建立起了矩阵A A的特征值和状态转移矩阵的直观联系，更便于对系统进行分析，但计算相对复杂，特别适合一些简单系统的计算和分析。作业作业 P105 2.4 (1) (2) P106 2.5 (1)4.4. 化矩阵化矩阵A A为有限项法为有限项法( (待定系数法待定系数法) ) 这种方法是利用这种方法是利用凯莱凯莱- -哈密尔顿定理哈密尔顿定理(Cayley(Cayley- -Hamilton),Hamilton),将将 的无穷级数化为矩阵的无穷级数化为矩阵A A的有限项之的有限项之和进行计算。和进行计算

21、。Ate 凯莱凯莱- -哈密尔顿定理指出，矩阵哈密尔顿定理指出，矩阵A A满足满足自己的特征多项式。自己的特征多项式。0111nnnnaaaAI)151 . 2(0)(111IAAAAnnnnaaaf则则A A满足：满足：IAAAAAIAAAAAAIAAAAAAnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111122121121111211211111)()()()(推论推论1 1 矩阵矩阵A A的的k(kn)k(kn)次幂可表示为次幂可表示为A A的的(n-1)(n-1)阶多项式阶多项式)161 . 2(,)(10nktAnmmmkAIAAAnnnnaaa

22、111【证证】以此类推，以此类推， ， ， ，等都可以用，等都可以用 ，A ， I 线性表示。线性表示。nA1nA2nA1nA2nA推论推论2 2 矩阵指数矩阵指数e eAtAt表示为表示为A A的的(n-1)(n-1)阶多项式阶多项式)171 . 2()(10nmmmt AItAtAtAttAntAAtIinennnnnnnnnt)()()()(!1! 21!1012211220AA因此，在因此，在 定义中，可以用上述定理消去定义中，可以用上述定理消去A A的的n n及及n n以以上的幂次项，即：上的幂次项，即：Ate若矩阵若矩阵A A有有n n个个互异的特征值互异的特征值111012121

23、0111110)()()()()()()()()(21nnnntnntnnttttetttettten)191 . 2(111)()()(211122111110tttnnnnnnneeettt1)()()(111110112211121ttteeennnnnntttn 根据式根据式(2.1-17),e(2.1-17),eAtAt可以表示成可以表示成A A的的n-1n-1阶多项式，同阶多项式，同样，样，e et t也可表示成也可表示成的的n-1n-1阶多项式。阶多项式。10)(nmmmAtteA10)(nmmmtte 例例2.62.6 重做重做 例例2.3 2.3 已知系统矩阵已知系统矩阵 ，

24、试用，试用凯莱凯莱- -哈密尔顿定理方法求系统状态转移矩阵哈密尔顿定理方法求系统状态转移矩阵 。 3210A)(t 解：解：在在 例例2-32-3中已求出矩阵中已求出矩阵A A的特征值的特征值2, 121 tttttttttteeeeeeeeeett2211211021112211111212121tttttttttttttAteeeeeeeeeeeeeeet22222212222232102002)(AI10b. b. 特征值有重根特征值有重根若矩阵若矩阵A A有有n n重重特征值特征值 ，满足下式：，满足下式：1111110)()()(1nntttte将上式对将上式对 求导求导n-1n-1

25、，得：，得：1)()!1()()2)(1()(! 3)(2)() 1()(2)(113111322211121111tnettnnttettntttentnnntnnt5.5. 用用MATLABMATLAB求取线性系统的状态转移矩阵求取线性系统的状态转移矩阵 例例2.7a2.7a 已知系统矩阵已知系统矩阵 ，利用，利用MATLABMATLAB求求系统状态转移矩阵系统状态转移矩阵 。同例同例2.12.13210A)(t %ex2_10a.m%ex2_10a.m% %计算已知系统矩阵计算已知系统矩阵A A的状态转移矩阵的状态转移矩阵A=0,1;-2,-3; A=0,1;-2,-3; % %输入矩阵

26、输入矩阵A A；symssyms t; t; % %定义变量；定义变量；eat=expm(Aeat=expm(A* *t) t) % %求状态转移矩阵。求状态转移矩阵。 eat =eat = -exp(-2 -exp(-2* *t)+2t)+2* *exp(-t), exp(-t)-exp(-2exp(-t), exp(-t)-exp(-2* *t)t) -2 -2* *exp(-t)+2exp(-t)+2* *exp(-2exp(-2* *t), 2t), 2* *exp(-2exp(-2* *t)-exp(-tt)-exp(-t) ) ttttttttteeeeeeeeet22222222

27、)(A同例同例2.22.2)(t 3210A 例例2.7b2.7b已知系统矩阵已知系统矩阵 ，利用，利用MATLABMATLAB求系求系统状态转移矩阵统状态转移矩阵( (拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法) ) 。%ex2_10b.m%ex2_10b.m% %计算系统的状态转移矩阵计算系统的状态转移矩阵( (拉氏变换法拉氏变换法) )A=0,1;-2,-3; A=0,1;-2,-3; % %输入矩阵输入矩阵A A；symssyms t s; t s; % %定义变量；定义变量；G=inv(sG=inv(s* *eye(size(Aeye(size(A)-A) )-A) % %计算矩阵计算矩阵(sI(

28、sI-A);-A);eat=ilaplace(Geat=ilaplace(G) ) % %求拉氏反变换。求拉氏反变换。 G = (s+3)/(s2+3*s+2), 1/(s2+3*s+2) -2/(s2+3*s+2), s/(s2+3*s+2) eat = -exp(-2*t)+2*exp(-t), exp(-t)-exp(-2*t) -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t) tttttttteeeeeeeet22222222)(对比对比) 2)(1() 2)(1(2) 2)(1(1) 2)(1(3)()()(1ssssssssssAsIAsIad

29、jsAI 例例2.7c2.7c已知系统矩阵已知系统矩阵 ，利用，利用MATLABMATLAB求系求系统状态转移矩阵统状态转移矩阵( (化系统为对角形化系统为对角形) ) 。3210A)(t 同例同例2.32.3%ex2_10c.m%ex2_10c.m% %计算系统的状态转移矩阵计算系统的状态转移矩阵( (化为对角阵法化为对角阵法) )A=0,1;-2,-3;A=0,1;-2,-3; % %输入矩阵输入矩阵A A；symssyms t; t; % %定义变量；定义变量；P,D=eig(AP,D=eig(A);); % %计算计算A A的特征向量的特征向量P P，特征值，特征值 构成的对角矩阵构成

30、的对角矩阵D;D;Q=inv(PQ=inv(P););eat=Peat=P* *expm(Dexpm(D* *t)t)* *Q Q eat = 2*exp(-t)-exp(-2*t), exp(-t)-exp(-2*t) -2*exp(-t)+2*exp(-2*t), -exp(-t)+2*exp(-2*t)( (一一) ) 线性系统的零状态强迫运动线性系统的零状态强迫运动 系统的运动由两部分组成系统的运动由两部分组成其中第其中第1 1项项 , ,是初始状态的转移是初始状态的转移; ; 0)(, 0)(0txtu 第第2 2项是项是 ，为控制输入作用的受控项，为控制输入作用的受控项0)(, 0

31、)(0txtu 正是由于受控项的存在，提供了通过选取合适的正是由于受控项的存在，提供了通过选取合适的u u使使x(t)x(t)的运动轨迹满足期望的可能性。的运动轨迹满足期望的可能性。 )()()()()(tttttuBxAx2.2 2.2 线性系统的一般运动线性系统的一般运动 线性系统的零状态响应就是在线性系统的零状态响应就是在 条条件下系统的运动。件下系统的运动。0)(, 0)(0ttxu求取非齐次状态方程求取非齐次状态方程 的解的解。线性系统一般运动分析的数学实质：线性系统一般运动分析的数学实质： ) 12 . 2(0)()(00ttt,ttBuAx(t)x )()(ttBuAx(t)x

32、)()()(tettettBuAxxAA两边左乘 Ate)()()(tedtdttettxAxxAA而： )()(tetedtdttBuxAAdextett0)()0()(BuxAA) 32 . 2()()()0()()(0dtxtttBux)22 . 2()()0()(0)(dexetttAtBuxA)42 . 2()()()(0tdttBux0)(0tx 线性系统的零状态响应就是系统对于各个时刻，由输入量在该时刻引起的状态改变的转移对时间的积累 在在0,t0,t上积分上积分零状态响应零状态响应系统的一般运动系统的一般运动零输入响应零输入响应方法二：由拉氏变换求解系统的一般运动方法二：由拉氏

33、变换求解系统的一般运动) 12 . 2()()(,ttBuAx(t)x )()()0()(sBUsAXxssX即即)()0()()(sBUxsXAsI左乘左乘1)( AsI)22 . 2()()()0()()(11sBUAsIxAsIsX)()(1tLAsI)()(tuLsU由拉氏变换的卷积积分定理：两个由拉氏变换的卷积积分定理：两个拉氏变换函数的积是一个卷拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换。积的拉氏变换。)( )()()(01dButLsBUAsIt对（对（2.2-22.2-2）进行拉氏反变换）进行拉氏反变换tdttt0)()()0()()(Buxx)82 . 2()()()()()(00

34、0adtttttttBuxx)82 . 2()()()0()()(0tdtttBuxx00t当当 时时当当 时时00t由拉氏变换的卷积积分定理满足交换律由拉氏变换的卷积积分定理满足交换律dtffdftfsFsFLtttt00)()()()()()(2121211ttttdtdt00)()()()(BuBu)8 . 2 . 2()()()()()(000bdtttttttBuxx（二）（二） 线性系统的一般运动线性系统的一般运动 设设线性系统的非线性系统的非齐次状态方程和输出方程为：齐次状态方程和输出方程为：)52 . 2()()()()()(tttttCxyBuAxx 初始状态为初始状态为 的

35、解的解 0tx)82 . 2()()()()()(000adtttttttBuxx)72 . 2()()()0()()(0tdtttBuCxCy)62 . 2()()()0()()(0tdtttBuxx线性系统的一般运动就是零输入响应和零状态响应的叠加。线性系统的一般运动就是零输入响应和零状态响应的叠加。系统的输出响应或系统的输出响应或输出方程的解输出方程的解 例例2.82.8 已知系统矩阵已知系统矩阵3210A5 . 00)0(x，且10B，输入矩阵，输入矩阵 单输入单输入u(tu(t) )为单位阶跃函数，试求系统为单位阶跃函数，试求系统的状态响应。的状态响应。解解：在：在 例例2.22.2

36、中已中已求得状态转移矩阵：求得状态转移矩阵： ttttttttteeeeeeeee22222222Atdttt0)()()0()()(Buxxttttttttttttttttttteeeeeeeeeeeedeeeedt22220)(2)()(2)(0)(2)()(2)(021211121121212)()(Butteetxtx212121)()(21tttttttteeeeeeeetxtx2222212121212121)()(作业作业 P106 2.6 tttttttttttteeeeeeeeeeeext2222222121215 . 002222)0()(线性系统的脉冲响应线性系统的脉冲响

37、应 设设u(t)是单位脉冲向量是单位脉冲向量：)()(0tttui系统零状态响应为系统零状态响应为:)()()()()()(0000tBttduBttxtt假设假设:00)(xtx则系统的脉冲响应为则系统的脉冲响应为: : )()()()(0000tBttxtttx系统的脉冲响应矩阵：输入系统的脉冲响应矩阵：输入u(tu(t) )是单位脉冲向量时，系统是单位脉冲向量时，系统的零状态响应。的零状态响应。系统的脉冲响应矩阵系统的脉冲响应矩阵:)()(),(000tBttttHx系统输出向量脉冲响应矩阵系统输出向量脉冲响应矩阵:)()()(),()(),(0000tBtttCttHtCttHx对线性

38、定常系统，且假设为零初始时刻时对线性定常系统，且假设为零初始时刻时: : 系统的脉冲响应矩阵系统的脉冲响应矩阵:BttHx)()(对对H(tH(t) )进行拉氏变换：进行拉氏变换：BtCtHtCtHx)()()()(系统输出向量脉冲响应矩阵系统输出向量脉冲响应矩阵:BAsICBeCLtHLAt1)()( 脉冲响应函数的拉氏变换就是输出对输入的传脉冲响应函数的拉氏变换就是输出对输入的传递函数递函数( (阵阵) )。2.3 2.3 连续系统的状态空间描述的离散化连续系统的状态空间描述的离散化 当用数字计算机求解线性连续系统的状态方程，当用数字计算机求解线性连续系统的状态方程，或直接在系统中采用数字

39、计算机进行在线控制，都会或直接在系统中采用数字计算机进行在线控制，都会遇到把连续时间系统化为等价离散时间系统的问题。遇到把连续时间系统化为等价离散时间系统的问题。保持器保持器采样器采样器D/A数字计算机数字计算机A/D连续系统连续系统u(t)y(t)x(t)u(k)y(k)x(k)离散化模型离散化模型图图2.3.1 计算机控制系统计算机控制系统 连续系统的离散化就是根据连续系统的数学描述连续系统的离散化就是根据连续系统的数学描述推导出离散化数学描述的过程。推导出离散化数学描述的过程。 将矩阵微分方程化为矩阵差分方程，就是连续系将矩阵微分方程化为矩阵差分方程，就是连续系统离散化过程。（只讨论线性

40、时不变系统）统离散化过程。（只讨论线性时不变系统）DuttCxyBuAx)()(x 假设：采样是等间隔的，满足假设：采样是等间隔的，满足ShannonShannon采样定理采样定理, ,采样器后接采样器后接有零阶保持器有零阶保持器. .)31. 2()()()()()()()()1(kDkkkTkTkuCxyuHxGx式中：式中：ATeTG)(TkkTTkABdeTH)1()1()(tttAttAdetet00)()()(0)(Buxx)()()(1)1()1(kTuBdekTeTkTkkTTkAATxx证明：输出方程是代数方程，离散后证明：输出方程是代数方程，离散后C C，D D不变，只需不

41、变，只需证明证明G(T)G(T)和和H(T)H(T)考察考察 到到 这段时间的响应，由于零阶这段时间的响应，由于零阶保持器的作用，保持器的作用，u(t)=u(kTu(t)=u(kT)=)=常数常数, ,则则kTt 0Tkt) 1( ATeTG)(对照对照(2.31)(2.31)式，式，TkkTTkABdeTH)1()1()()6 . 3 . 2()()()()()()()()()() 1(kTTkTTkTkTTkTTTkuDxCyuHxGx )5 . 3 . 2()(0BdteTHeTGTAtATTkkTTkABdeTH)1()1()(令令 , ,则则-1)T(ktBdteBdteTHTAtT

42、At00)(总结总结: :01032102121tuxxxx例例2.112.11给定线性连续定常系统：给定线性连续定常系统：)(0861. 00045. 0)()(7326. 01722. 00861. 09909. 0) 1() 1(2121kukxkxkxkx0861. 00045. 05 . 05 . 0210222222022022220TTTTTttttTttttttttTteeeedteeeedteeeeeeeedteBHA解：解： 在在 例例2.22.2中已求得状态转移矩阵：中已求得状态转移矩阵：ttttttttteeeeeeeee22222222A7326. 01722. 00

43、861. 09909. 022222222TTTTTTTTTeeeeeeeeeAG且采样周期且采样周期T T=0.1=0.1秒，试建立时间离散化模型秒，试建立时间离散化模型2.4 2.4 线性离散时间系统的一般运动线性离散时间系统的一般运动) 1 . 4 . 2()()() 1(kkkHuGxx)2() 1 ()0()0()2()2()3() 1 ()0()0() 1 () 1 ()2()0()0() 1 (23HuGHuHuGxGHuGxxHuGHuxGHuGxxHuGxx2 离散时间系统状态方程有两种解法：迭代法和离散时间系统状态方程有两种解法：迭代法和Z变换法。变换法。1.1. 迭代法：

44、迭代法：迭代法对于定常系统和时变系统皆适用迭代法对于定常系统和时变系统皆适用。设线性离散系统的状态方程为：设线性离散系统的状态方程为：当k=0，1，2，k-1时，得到：)()0()(101iHuGxGkxkiikk)3 . 4 . 2() 1()0()(10kjjkjkkHuGxGx或：)4 . 4 . 2() 1()2() 1 ()0(00000)0()()3()2() 1 (21232kuuuuHGHHGHGHGHHGHGHHxGGGGkxxxxkk便于记忆的矩阵形式:2.Z2.Z变换法：变换法：Z变换法仅适用于定常系统变换法仅适用于定常系统。) 1 . 4 . 2()()() 1(kkk

45、HuGxx)()()0()(zzzzzHuGxxx)()0()()(zzzzHuxxGI对式对式(2.4.1)(2.4.1)两边进行两边进行Z Z变换变换, ,可得可得: :整理得整理得)()()0()()(11zzzzzHuGIxGIx两边进行两边进行Z Z反变换反变换, ,可得可得)5 . 4 . 2()()()0()()()()0()()(111111zzZkzzZzzZkHuGIxHuGIxGIx)6 . 4 . 2()()()0()()()0()(1111101zzZzzZjkkjjkkHuGIxGIHuGxGx结论结论 1. 1.解的形式与连续系统相似，解的形式与连续系统相似，x(

46、kx(k) )也是由两部分构也是由两部分构成，第成，第1 1部分是系统自由运动分量，只与系统结构和初部分是系统自由运动分量，只与系统结构和初始状态有关；第始状态有关；第2 2部分是系统的受控项，不仅与系统结部分是系统的受控项，不仅与系统结构有关，还与构有关，还与u u的大小有关；的大小有关； 2. 2.在对控制的转移中，第在对控制的转移中，第k k时刻的状态与当前的时刻的状态与当前的u(ku(k) )无关，由其前无关，由其前k-1k-1时刻的时刻的u(1),u(2)u(1),u(2)u(k-1)u(k-1)的线性组合的线性组合构成。构成。)()()()()(1110111zzZjzzZkkjj

47、kkHuGIHuGGIG可以证明：可以证明：例例2.122.12给定离散系统状态方程为：给定离散系统状态方程为：)(11)()(116. 010) 1() 1(2121kukxkxkxkx初始状态初始状态 ，控制，控制u(ku(k)=1)=1，求，求x(kx(k) )。11)0(x教材教材 P99 P99 例例2.82.8例例2.92.9 解解:1. :1. 迭代法迭代法84. 101111116. 010)0()0() 1 (HuGxx84. 084. 21184. 10116. 010) 1 () 1 ()2(HuGxx386. 116. 01184. 084. 2116. 010)2()

48、2()3(HuGxx2. Z2. Z变换法变换法 先求系统的状态转移矩阵先求系统的状态转移矩阵)()(11zzkkGIZGzzzzzzGzI16. 011)8 . 0)(2 . 0(1116. 01118 . 0342 . 0318 . 01542 . 01548 . 0352 . 0358 . 0312 . 034zzzzzzzzkkkkkkkkzGzIZk)8 . 0(34)2 . 0(31)8 . 0(154)2 . 0(154)8 . 0(35)2 . 0(35)8 . 0(31)2 . 0(34)()(11)()()0()()(11zzZkkHuGIxxkkkkkxk)8 . 0(1

49、516)2 . 0(151)8 . 0(34)2 . 0(3111)()0()(自由运动的解自由运动的解: :)()(1zzHuGI118 . 0342 . 0318 . 01542 . 01548 . 0352 . 0358 . 0312 . 034zzzzzzzzzzzz) 1)(8 . 0(58) 1)(2 . 0(53) 1)(8 . 0(2) 1)(2 . 0(3zzzzzzzzzzzz强迫运动的解强迫运动的解: :)()(11zzZHuGI)()(11zzZHuGI11878 . 0982 . 021118258 . 09102 . 0251988 . 0981212 . 0211

50、9108 . 09101252 . 025zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz187)8 . 0(98)2 . 0(211825)8 . 0(910)2 . 0(25kkkk)()()0()()(11zzZkkHuGIxx187)8 . 0(4588)2 . 0(30171825)8 . 0(922)2 . 0(617kkkk 令令:k=1,2,3:k=1,2,3, ,可得到与迭代法相同的可得到与迭代法相同的x(1),x(2),x(3)x(1),x(2),x(3)。不同的是。不同的是Z Z变换法可以得到封变换法可以得到封闭的解析形式。闭的解析形式。一般运动的解一般运动的解: