第一章信号与线性系统吴大正教材课件.ppt

1、第 1 章 信号与系统的基本概念 第1章 信号与系统的基本概念 1.1 绪论 1.2 信号 1.3 信号的基本运算 1.4 阶跃信号和冲激信号 1.5 系统的描述 1.6 系统的特性和分析方法 第 1 章 信号与系统的基本概念 了解冲激函数的广义函数 理解信号的描述、分类，线性系统的数学模型 掌握信号的基本运算，阶跃信号与冲激信号的关系及冲激信号的性质，系统的框图表示及性质（线性、时不变性、因果性、稳定性）。 本章教学基本要求：本章教学基本要求： 第 1 章 信号与系统的基本概念 信号分类 信号基本运算 第一讲 教学要点： 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.0-1 激励、系统与响应 系

2、统输入信号（激励）输出信号（响应）第 1 章 信号与系统的基本概念 信号分类信号分类 一、一、 信号是消息的表现形式，通常体现为随若干变量而变化的某种物理量。在数学上，可以描述为一个或多个独立变量的函数。例如，在电子信息系统中，常用的电压、电流、电荷或磁通等电信号可以理解为是时间 t或其他变量的函数；在气象观测中，由探空气球携带仪器测量得到的温度、 气压等数据信号，可看成是随海拔高度 h变化的函数；又如在图像处理系统中，描述平面黑白图像像素灰度变化情况的图像信号，可以表示为平面坐标位置(x, y)的函数，等等。 第 1 章 信号与系统的基本概念 1. 连续信号与离散信号连续信号与离散信号 连续

3、信号：一个信号，如果在某个时间区间内除有限个间断点外都有定义， 就称该信号在此区间内为连续时间信号， 简称连续信号。 这里“连续”一词是指在定义域内(除有限个间断点外)信号变量是连续可变的。至于信号的取值，在值域内可以是连续的，也可以是跳变的。 二、信号的分类二、信号的分类 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.1-2 连续信号 01212AAf1(t)to1tf2(t)oAtf3(t)t0(a)(b)(c)图1.1-2(a)是正弦信号，其表达式 )sin()(1tAtf?第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.1-2(b)是单位阶跃信号， 通常记为(t)，其表达式为 图1.1-2(c)表

4、示一个延时的单边指数信号， 其表达式为 ?)(0)()(00)(30ttttAetftt?式中，A是常数，0。信号变量t在定义域(-, )内连续变化，信号f3(t)在值域0， A)上连续取值。注意，f3(t)在t=t0处有间断点。 ?)0(0)0( 1)()(2ttttf?第 1 章 信号与系统的基本概念 极限:对于间断点处的信号值一般不作定义，这样做不会影响分析结果。如有必要， 也可按高等数学规定，定义信号f(t)在间断点t0处的信号值等于其左极限 f(t0-)与右极限f(t0+)的算术平均值， 即 第 1 章 信号与系统的基本概念 这样，图1.1-2中的信号f2(t)和f3(t)也可表示为

5、 第 1 章 信号与系统的基本概念 离散信号：仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。这里“离散”一词表示自变量只取离散的数值，相邻离散时刻点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的。在这些离散时刻点以外，信号无定义。信号的值域可以是连续的， 也可以是不连续的。 定义在等间隔离散时刻点上的离散信号也称为序列， 通常记为f(k)，其中k称为序号。与序号m相应的序列值f(m)称为信号的第m个样值。 例如： 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.1-3 离散信号 0123 4567 8 2 468AAkf1(k) 1 310241310234 1132f2(k)f3(k)kk56

6、A(a)(b)(c)?kAkf4sin)(1?第 1 章 信号与系统的基本概念 随k的变化，序列值在值域 -A, A上连续取值。对于图1.1-3(b) 第 1 章 信号与系统的基本概念 在工程应用中，常常把幅值可连续取值的连续信号称为模拟信号 (如图1.1- 2(a)；把幅值可连续取值的离散信号称为抽样信号 (如图1.1-3(a)；而把幅值只能取某些规定数值的离散信号称为数字信号 (如图1.1-3(c)。 注意：为方便起见，有时将信号 f(t)或f(k)的自变量省略，简记为f()， 表示信号变量允许取连续变量或者离散变量，即用f()统一表示连续信号和离散信号。 第 1 章 信号与系统的基本概念

7、 2. 一个连续信号f(t)，若对所有t均有 f(t)=f(t+mT) m=0, 1, 2, 则称f(t)为连续周期信号，满足上式的最小T值称为f(t)的周期。 一个离散信号f(k)，若对所有k均有 f(k)=f(k+mN) m=0, 1, 2, (1.1-7) 就称f(k)为离散周期信号或周期序列。满足式(1.1- 7)的最小N值称为f(k)的周期。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.1-4 周期信号 t f ( t ) A A 2 T ? 2 T T T o f (k) 2 4 0 2 4 6 k 第 1 章 信号与系统的基本概念 例 1试判断下列信号是否为周期信号。若是，确定其周

8、期。 (1) f1(t)=sin 2t+cos 3t (2) f2(t)=cos 2t+sint 解 我们知道，如果两个周期信号x(t)和y(t)的周期具有公倍数，则它们的和信号 f(t)=x(t)+y(t) 仍然是一个周期信号， 其周期是x(t)和y(t)周期的最小公倍数。 第 1 章 信号与系统的基本概念 3. 若将信号f(t)设为电压或电流，则加载在 单位电阻上产生的瞬时功率为|f(t)|2，在一定的时间区间 内会消耗一定的能量。 把该能量对时间区间取平均，即得信号在此区间内的平均功率。现在将时间区间无限扩展， 定义信号f(t)的能量E为 ?2,2?dttfE?222)(lim?dttf

9、P?222)(1lim?第 1 章 信号与系统的基本概念 如果在无限大时间区间内信号的能量为有限值 (此时平均功率P=0)， 就称该信号为能量有限信号，简称能量信号。如果在无限大时间区间内，信号的平均功率为有限值 (此时信号能量E=)，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号 离散信号f(k)的能量定义为 ?kkfE2)(什么叫能量信号和功率信号？ 第 1 章 信号与系统的基本概念 信号的基本运算信号的基本运算 1 相加和相乘 两个信号相加，其和信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之和。两个信号相乘，其积信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之积。 设两个连续信号f1(t)

10、和f2(t)，则其和信号s(t)与积信号p(t)可表示为 )()()()()()(2121tftftPtftfts?第 1 章 信号与系统的基本概念 同样，若有两个离散信号f1(k)和f2(k)，则其和信号s(k)与积信号p(k)可表示为 )()()()()()(2121kfkfkPkfkfks?第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-1 连续信号的相加和相乘 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-2 离散信号的相加和相乘 f1(k)012345612 31f2(k)01234512 311f1(k)f2(k)01234512 311201234512 31f1(k)f2(k)k

11、kkk第 1 章 信号与系统的基本概念 2 翻转、平移和展缩翻转、平移和展缩 翻转:将信号f(t)(或f(k)的自变量t(或k)换成-t(或-k)，得到另一个信号f(-t)(或f(-k)， 称这种变换为信号的翻转。它的几何意义是将自变量轴“倒置”， 或者按照习惯， 自变量轴不“倒置”时，可将f(t)或f(k)的波形绕纵坐标轴翻转180， 即为f(-t)或f(-k)的波形， 如图1.3-3所示。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-3 信号的翻转 (a) f(t)的翻转； (b) f(k)的翻转 第 1 章 信号与系统的基本概念 平移： 对于连续信号f(t），若有常数t00，延时信号f

12、(t-t0)是将原信号f(t)沿正t轴平移t0时间，而f(t+t0)是将原信号沿负t轴平移t0时间。 对于离散信号f(k)同上。 思考： f(t-t0)怎样移得到f(t) 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-4 信号的平移 022f (t)t02f (t 2)t02t4f (t 2)403 3f (k)kf (k 2)f (k 2)022k022k464 64(a)(b)第 1 章 信号与系统的基本概念 展缩： 若a1,则信号f(at)是将原信号f(t)以原点为基准，沿横轴压缩到原来的1/a,若0a1,则信号f(at)是将原信号f(t)以原点为基准，沿横轴展宽到原来的1/a倍。 第

13、1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-5 连续信号的波形展缩 0 2 1 f ( t ) t 1 2 1 0 2 1 f (2 t ) t 1 2 1 0 2 4 t 4 2 1 t) 2 1 ( f ( a ) ( b ) ( c ) 第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 1.3-1 已知信号f(t)的波形如图1.3-1所示，试画出f(1-2t)的波形。 例1.3-1 图 第 1 章 信号与系统的基本概念 解解 一般说来，在t轴尺度保持不变的情况下，信号f(at+b)(a0)的波形可以通过对信号 f(t)波形的平移、翻

14、转 (若a0)和展缩变换得到。根据变换操作顺序不同，可用多种方法画出f(1-2t)的波形。 (1) 按“翻转-展缩-平移”顺序。 首先将f(t)的波形进行翻转得到如图1.3-6(b)所示的f(-t)波形。然后，以坐标原点为中心，将f(-t)波形沿t轴压缩1/2，得到f(-2t)波形如图1.3-6(c)所示。由于f(1-2t)可以改写为 ， 所以只要将f(-2t) 沿t轴右移1/2个单位，即可得到f(1-2t)波形。信号的波形变换过程如图1.3-6所示。 ?212 tf第 1 章 信号与系统的基本概念 01f (t)t1021f (2 t)t1021f (t)t121111110f (12 t)

15、t11121?21(a)(b)(c)(d)图 1.3-6 例1.3-1用图之一 第 1 章 信号与系统的基本概念 (2) 按“平移-翻转-展缩”顺序。先将f(t)沿t轴左移一个单位得到f(t+1)波形。再将该波形绕纵轴翻转 180，得到f(-t+1)波形。最后，将f(-t+1)波形压缩1/2得到f(1-2t)的波形。 信号波形的变换过程如图1.3-7所示。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-7 例1.3-1用图之二 0 1f (t 1 )t102 1f (t 1 )t102 1f (t)t121111110f (1 2 t)t11121?21(a)(b)(c)(d)第 1 章 信号

16、与系统的基本概念 (3) 按“展缩-平移-翻转”顺序。先以坐标原点为中心， 将f(t)的波形沿t轴压缩 ， 得到f(2t)的波形。再将 f(2t)的波形沿t轴左移1/2个单位， 得到信号 的波形。 最后， 进行“翻转”操作，得到f(1-2t)的波形。信号波形的变换过程如图1.3-8所示。 21) 12(212?tftf第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-8 例1.3 - 1用图之三 0f (2t)t101f (2t1 )t021f (t)t11111110f (12t)t11121?212121?21?21(a)(b)(c)(d)第 1 章 信号与系统的基本概念 总结规律：翻转和展缩

17、 移位 第 1 章 信号与系统的基本概念 已知信号f（32t）的波形如图1-1所示，则f(t)的波形为: f（32t） 2 3 4 t 2 图1-1 思考题：思考题： 第 1 章 信号与系统的基本概念 教学要点： 阶跃函数 冲激函数及其性质 第二讲 阶跃序列和脉冲序列 第 1 章 信号与系统的基本概念 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数 阶跃函数的定义 见P12-13 第 1 章 信号与系统的基本概念 1 连续时间阶跃函数连续时间阶跃函数 图 1.4-1 单位阶跃函数 t t t 1 1/n 1 1 t 0 ( a ) ( b ) ( c ) o o o ? ( t ) n ( t ) ?

18、( tt 0 ) ? -1/n 第 1 章 信号与系统的基本概念 设图1.4-1(a)所示函数 ?121210)(ttn?ntntnnt1111?)(lim)(ttnn?10)(t?00?tt图1.4-1(b)所示函数： 第 1 章 信号与系统的基本概念 单位阶跃信号时移t0后可表示为 ?10)(0tt?00tttt?注意：注意： 信号(t)在在t=0处和(t-t0)在在t=t0处都是不连续的。 图1.4-1(c)所示函数： 第 1 章 信号与系统的基本概念 冲激函数 ( ) b ) a ( n 1 n ?1 t o p n ( t ) t o d ( t ) (1) 2 n 图 1.4-3

19、单位冲激函数 1、冲激函数的定义： 第 1 章 信号与系统的基本概念 ?020)(ntpnntntnnt1111? 当n时，矩形脉冲的宽度趋于零，幅度趋于无限大， 而其面积仍等于1。我们将此函数定义为连续时间单位冲激函数， 简称单位冲激函数或函数，用(t)表示，即 )(lim)(tptnn?d第 1 章 信号与系统的基本概念 函数的另一种定义是： ?0)(1)(21tdttttdd0021?ttt定义表明函数除原点以外，处处为零，但其面积为1。 2、函数与?函数的关系： ;0100)()(?ttdtxttd?)()(tdtdt?d?第 1 章 信号与系统的基本概念 性质性质1 函数与普通函数f

20、(t) 见 P18 若将普通函数f(t)与广义函数(t)的乘积看成是新的广义函数， 则按广义函数定义和函数的筛选性质， 有 dtttfdtttffdtttftdtttft)()()0()()()0()0()0()()()()()()(?d?d?d?d?)0()()(?d?dttt3 函数的性质函数的性质 第 1 章 信号与系统的基本概念 根据广义函数相等的定义，得到 )()0()()(tfttfdd?)()()()()()()()0()()0()()(00000tfdttttftttftttffdttfdtttf?ddddd第 1 章 信号与系统的基本概念 在 性质性质2 移位 ?dttttd

21、tttt)()()()(11?d?d?)0()()(?ddttt中令 1ttx?有 )()()()()(111tdxxxxdtttt?d?d?经过变换可得在 )()()(11tfdttttf?d见P19的(1.4-28)、(1.4-30) 第 1 章 信号与系统的基本概念 例 1.4 1 试化简下列各信号的表达式。 第 1 章 信号与系统的基本概念 根据广义函数相等的定义， 可得到 )(11)()()(taaatnnndd?当n=0和1时，分别有 )(1)(taatdd?)( 11)( taaatdd?见P21的(1.4-37b) 性质性质3 见P21的(1.4-36) 见P21的(1.4-3

22、7a) 第 1 章 信号与系统的基本概念 性质4 奇偶性 式(1.4 37b)中，若取a=-1， 则可得 )() 1()()()(ttnnndd?显然， 当n为偶数时， 有 )()()()(ttnndd?, 4 , 2 , 0?n当n为奇数时，有 )()()()(ttnndd?, 5 , 3 , 1?n第 1 章 信号与系统的基本概念 性质性质5 函数的微分和积分 见P16 )0()()() 1()()(?d?d?dtttdttt式中，(0)是(t)的一阶导数在 t=0时的值。通常称 (t)为单位冲激偶， 用前面的图1.4-4(d)所示图形符号表示。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.

23、4-4 单位冲激偶(t) ot(1)(1)d (t)0)(?dttd第 1 章 信号与系统的基本概念 教学要点： 系统数学模型 系统框图表示 系统的性质 第三讲 第 1 章 信号与系统的基本概念 1 系统的数学模型 数学模型的建立 ：要分析一个系统，首先要建立描述该系统的基本特性的数学模型，然后用数学的方法（或仿真）求出它的解答，并对结果赋予实际意义。 描述连续系统的数学模型是微分方程 描述离散系统的数学模型是差分方程 系统数学模型 第 1 章 信号与系统的基本概念 系统的分类系统的分类 综上所述，我们可以从不同角度对系统进行分类。例如， 按系统工作时信号呈现的规律，可将系统分为确定性系统与随

24、机性系统；按信号变量的特性分为连续 (时间)系统与离散(时间)系统；按输入、输出的数目分为单输入单输出系统与多输入多输出系统；按系统的不同特性分为瞬时与动态系统、 线性与非线性系统、时变与时不变系统、因果与非因果系统、 稳定与非稳定系统等等。 第 1 章 信号与系统的基本概念 如果系统只有单个输入和单个输出信号，则称为 单输入单输出系统，如图1.5-1所示。如果含有多个输入、输出信号， 就称为多输入多输出系统 . 图 1.5-1 单输入单输出系统 单输入单输出系 统y( )f ( )第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.5-2 多输入多输出系统 多输入多输出系 统y1( )f1( )f2(

25、 )fp( )y2( )yq( )第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.5-3是一个电路系统。其中， 电压源us1(t)和us2(t)是电路的激励。若设电感中电流iL(t)为电路响应，则由基尔霍夫定律列出节点a的支路电流方程为 参见P23的图1.5-1 第 1 章 信号与系统的基本概念 )(1)()(1)(1)(1)(221tuLtutuRLCtiLCtiRCtisssLLL? 如果描述连续系统输入输出关系的数学模型是 n阶微分方程，就称该系统为n阶连续系统。当系统的数学模型为n阶线性常系数微分方程时，写成一般形式有 ?nimjjjiitfbtya00)()()()( 式中，f(t)是系统的

26、激励，y(t)为系统的响应， an=1。方程中 ， 。 若要求解n阶微分方程，还需要给定n个初始条件y(0)，y(0)，, y(n-1)(0)。 )()()(tfdtdtfjjj?)()()(tydtdtyiij?第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.5-3 电路系统 uC(t)iC(t)Ri1(t)us1(t)LiL(t)us2(t)alC第 1 章 信号与系统的基本概念 二、系统的框图表示二、系统的框图表示 常用的系统基本运算单元: 第 1 章 信号与系统的基本概念 例 1.5-1 某连续系统的输入输出方程为 参见P25的例1.5-1 y(t) =-a1y(t)-a0y(t) f(t)

27、 试画出该系统的框图表示。 解 将输入输出方程改写为 y(t)+a1y(t)+a0y(t) =f(t) （1.5-9） y(t)(ty?)(ty? ?a1a0f (t)第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 1.5-2 某连续系统的输入输出方程为 y(t)+a1y(t)+a0y(t)=b1f(t)+b0f(t) 试画出该系统的框图表示。 解解 该系统方程是一个一般的二阶微分方程。方程中除含有输入信号f(t)外，还包含有f(t)的导函数。对于这类系统，可以通过引用辅助函数的方法画出系统框图。设辅助函数x(t)满足 x(t)+a1x(t)+a0 x(t)=f(t) y(t)=b1x(t)+b0 x

28、(t) (1.5-19) 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.5-6 式(1.5-19)的系统框图 y(t)(tx?)(tx? ?f (t)a1a0b1b0 x(t)y(t)+a1y(t)+a0y(t)=b1f(t)+b0f(t) x(t)+a1x(t)+a0 x(t)=f(t) y(t)=b1x(t)+b0 x(t) 第 1 章 信号与系统的基本概念 如果已知系统的框图表示，同样可以采用辅助函数方法写出系统的输入输出方程。以图1.5-6所示的框图为例，设右边积分器的输出为辅助函数x(t)，在两个积分器的输入端得到x(t)和x(t)， 再在两个加法器的输出端写出两个等效方程，即 x(t)

29、=f(t)-a1x(t)-a0 x(t) (1.5-22) y(t)=b1x(t)+b0 x(t) (1.5-23) 因系统是二阶的，故输入输出方程应包括y(t)、 y(t)项， 式(1.5-23)可得 y(t)=b1x(t)+b0 x(t) (1.5-24) y(t)=b1x(3)(t)+b0 x(t) (1.5-25) 第 1 章 信号与系统的基本概念 上式中的x(3)(t)表达式由式(1.5-22)求导函数得到， 即 x(3)(t)=f(t)-a1x(t)-a0 x(t) (1.5-26) 系统输入输出方程。具体过程是： 第 1 章 信号与系统的基本概念 将上述结论推广应用于n阶连续系统

30、。设n阶系统输入输出方程为 fbfbfbfbyayayaymmmmnnn01)1(1)(01)1(1)(?图 1.5-7 n阶系统框图表示 yfa1a0b1x? ?x?xan1x(n1)xbm(n)b0第 1 章 信号与系统的基本概念 例1.5-3 某离散系统框图如图1.5 - 8所示。试写出描述该系统输入输出关系的差分方程。 见P26 图 1.5-8 二阶离散系统框图表示 第 1 章 信号与系统的基本概念 解解 系统框图中有两个移位器，故系统是二阶系统。采用与连续系统中由框图列写微分方程相类似的方法，在左边移位器的输入端引入辅助函数 x(k)，则该移位器的输出为 x(k-1)，右边移位器的输

31、出为x(k-2)。 写出左边加法器的输出 )2() 1()()(01?kxakxakfkx)()2() 1()(01kfkxakxakx?)2()1()(01?kxbkxbky第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 系统的特性和分类系统的特性和分类 1 系统的基本作用是将输入信号 (激励)经过传输、变换或处理后，在系统的输出端得到满足要求的输出信号 (响应)。这一过程可表示为 式中，y()表示系统在激励f()单独作用时产生的响应。信号变量用圆点标记，代表连续时间变量t或离散序号变量k。 y() Tf () 第 1 章 信号与系统的基本概念 如果系统的激励f()数乘(

32、为任意常数)，其响应y()也数乘，就称该系统具有齐次性齐次性。这一特性也可表述为 )()(?fTfT?则系统具有齐次性。 第 1 章 信号与系统的基本概念 如果任意两个激励共同作用时，系统的响应均等于每个激励单独作用时所产生的响应之和，就称系统具有 叠加性叠加性。或表述为 )()()()(2121?fTfTffT 则系统具有叠加性。式中，f1()+f2() 表示两个激励f1()、 f2()共同作用于系统。 第 1 章 信号与系统的基本概念 如果系统同时具有齐次性和叠加性， 就称系统具有线性特性。 或表述为 )()()()(22112211?fTafTafafaT 式中，1、2为任意常数，则系统

33、具有线性特性，表示系统响应与激励之间满足线性关系。 一个系统，如果它满足如下三个条件， 则称之为线性系统，否则称为非线性系统。 第 1 章 信号与系统的基本概念 条件1 响应y()可以分解为零输入响应yx()和零状态响应yf()之和， 即 y()=yx()+yf() 这一结论称为系统响应的可分解性， 简称分解性。通常也称满足分解性条件的响应y()为完全响应。 条件2 零输入线性, 即零输入响应 yx() 与初始状态 x(0-) 或 x(0) 之间满足线性特性。P29 条件3 零状态线性，即零状态响应yf()与激励f()之间满足线性特性。 见P29 第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 1在下

34、列系统中，f(t)为激励，y(t)为响应，x(0-)为初始状态，试判定它们是否为线性系统。 (1) y(t)=x(0-)f(t) (2) y(t)=x(0-)2+f(t) (3) y(t)=2x(0-)+3|f(t)| (4) y(t)=af(t)+b 第 1 章 信号与系统的基本概念 解 由于系统(1)不满足分解性； 系统(2)不满足零输入线性； 系统(3)不满足零状态线性，故这三个系统都不是线性系统。 对于系统(4)， 如果直接观察y(t)f(t)关系，似乎系统既不满足齐次性，也不满足叠加性，应属非线性系统。但是考虑到令f(t)=0时，系统响应为常数b, 若把它看成是由初始状态引起的零输入

35、响应时，系统仍是满足线性系统条件的， 故系统(4)是线性系统。通常，以线性微分(差分差分)方程作为输入输出描述方程的系统都是线性系统 ，而以非线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程的系统都是非线性系统。 第 1 章 信号与系统的基本概念 2 时不变特性时不变特性 参数不随时间变化的系统参数不随时间变化的系统，称为时不变系统或定常系统，否则称为时变系统。 一个时不变系统，由于参数不随时间变化，故系统的输入输出关系也不会随时间变化。如果激励 f()作用于系统产生的零状态响应为yf()，那么，当激励延迟td(或kd)接入时，其零状态响应也延迟相同的时间，且响应的波形形状保持相同。也就是说， 一个时

36、不变系统，若 第 1 章 信号与系统的基本概念 )()()()()()(dfddfdfkkykkfttyttfyf?则对连续系统有 对离散系统有 系统的这种性质称为时不变特性。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.6-1 系统的时不变特性 oT1tf (t)otdT1tf (ttd)td时不变系统otyf(t)otyf(ttd)td第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 2 试判断以下系统是否为时不变系统。 (1) yf(t)=acosf(t) t0 (2) yf(t)=f(2t) t0 输入输出方程中f(t)和yf(t)分别表示系统的激励和零状态响应，a为常数。 第 1 章 信号与系统

37、的基本概念 解解 (1) 设 )()()(cos)(cos)()()()(cos)()(1111dffdfdfttytyttfatfatyttftftfatytf?dtt ?则其零状态响应 故该系统是时不变系统。 第 1 章 信号与系统的基本概念 (2) 这个系统代表一个时间上的尺度压缩，系统输出yf(t)的波形是输入f(t)在时间上压缩1/2后得到的波形。直观上看，任何输入信号在时间上的延迟都会受到这种时间尺度改变的影响。 所以， 这样的系统是时变的。 设 )()(1dttftf?dtt ?相应的零状态响应为 )()()22()(2)()2()2()(111dffdddfdfttytyttf

38、ttfttyttftfty?第 1 章 信号与系统的基本概念 图 2 例2图 2021f (t)041f1(t)f (t2)1 011yf(t)ttt021yf1(t)t(a)(b)(c)(d)第 1 章 信号与系统的基本概念 3 因果性因果性 一个系统，如果激励在tt0(或kk0)时为零，相应的零状态响应在tt0(或kk0)时也恒为零，就称该系统具有因果性，并称这样的系统为因果系统；否则，为非因果系统。 在因果系统中，原因决定结果，结果不会出现在原因作用之前。 因此，系统在任一时刻的响应只与该时刻以及该时刻以前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。 所谓激励可以是当前输入，也可以是历史输入或

39、等效的初始状态。由于因果系统没有预测未来输入的能力，因而也常称为不可预测系统。 第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 3 对于以下系统： ?kifffifkytdftcftybtafty)()() 1()()()()( 由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关， 因此都是因果系统。 而对于输入输出方程为 ) 1()(?tftyf第 1 章 信号与系统的基本概念 其任一时刻的响应都将与该时刻以后的激励有关。例如，令t=1时，就有yf(1)=f(2)，即t=1时刻的响应取决于t=2时刻的激励。响应在先，激励在后，这在物理系统中是不可能的。 因此， 该系统是非因果非因果的。同理，系统yf(

40、t)=f(2t)也是非因果系统。非因果系统。 在信号与系统分析中，常以t=0作为初始观察时刻，在当前输入信号作用下， 因果系统的零状态响应只能出现在 t0的时间区间上，故常常把从t=0时刻开始的信号称为因果信号，而把从某时刻t0(t00)开始的信号称为有始信号。 第 1 章 信号与系统的基本概念 4 一个系统，如果它对任何有界的激励 f()所产生的零状态响应yf()亦为有界时，就称该系统为有界输入/有界输出(Bound-input/Boundoutput)稳定，简称 BIBO稳定，有时也称系统是零状态稳定的。 一个系统，如果它的零输入响应 yx()随变量t(或k)增大而无限增大，就称该系统为零

41、输入不稳定的；若 yx()总是有界的， 则称系统是临界稳定的；若 yx()随变量t(或k)增大而衰减为零，则称系统是渐近稳定的。 第 1 章 信号与系统的基本概念 信号与系统的分析方法信号与系统的分析方法 LTI系统分析的理论基础是信号的系统分析的理论基础是信号的 分解特性和系统的线性、时不变特性。实现系统分析的统一观点和方法是：激励信号可以分解为众多基本信号单元的线性组合；系统对激励所产生的零状态响应是系统对各基本信号单元分别作用时相应响应的叠加；不同的信号分解方式将导致不同的系统分析方法。 第 1 章 信号与系统的基本概念 作业：1.6(3、4) 1.7 (1、6) 1.10(2、 3)