第十四章-整式的乘法与因式分解-复习课件.ppt

1、 1、同底数幂相除同底数幂相除 2、单项式除以单项式、单项式除以单项式 3、多项式除以单项式、多项式除以单项式（二）整式的除法（二）整式的除法你回忆起了吗？就这些你回忆起了吗？就这些知识知识 1、同底数幂的乘法、同底数幂的乘法 2、幂的乘方、幂的乘方 3、积的乘方、积的乘方 4、单项式乘以单项式、单项式乘以单项式 5、单项式乘以多项式、单项式乘以多项式 6、多项式乘以多项式、多项式乘以多项式 7、平方差公式、平方差公式 8、完全平方公式、完全平方公式（一）整式的乘法（一）整式的乘法1、同底数幂的乘法、同底数幂的乘法法则：法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、数学符号表示：数学符号表示：（其中（其中m、n为正整数）为正整数）nmnmaaa（二）整式的乘法（二）整式的乘法练习：判断下列各式是否正确。练习：判断下列各式是否正确。6623222844333)()()()(2,2xxxxxmmmbbbaaa2、幂的乘方、幂的乘方法则：法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方，底数不变，指数相乘。数学符号表示：数学符号表示：mnnmaa)(（其中（其中m、n为正整数）为正整数）练习：判断下列各式是否正确。练习：判断下列各式是否正确。2244241222443243284444)()()( ,)()(,)(mmmnnaaaxxbbbaaamnppnmaa)

3、(（其中（其中m、n、P为正整数）为正整数）3、积的乘方、积的乘方法则：法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。再把所得的幂相乘。符号表示：符号表示：)()(),( ,)(为正整数其中为正整数其中ncbaabcnbaabnnnnnnn练习：计算下列各式。练习：计算下列各式。32332324)( ,)2( ,)21( ,)2(baxybaxyz口答练习口答练习x3x2=( )a62+a43( )=x x2( )3=x3x2002=71( )199771998(1)(3)-abc( ) (-ab)2=(6)(5)(4)(2)x52a1

4、2x7x19997-a3b3c24.单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘的法则： 单项式与单项式相乘，把它们单项式与单项式相乘，把它们的的系数、相同字母系数、相同字母分别相乘，对于分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。连同它的指数作为积的一个因式。 法则：法则： 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn5 .多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘：=am+an+bm+bn（1）、平方差公式）、平方差公式即两个数的和与这两个数的差的积

5、，等于这两个即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式.,)(22也可以是代数式既可以是数其中babababa说明说明：平方差公式是根据多项式乘以多：平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是项式得到的，它是两个数的和两个数的和与与同样的同样的两个数两个数的差的差的积的形式。的积的形式。（三）（三）.乘法公式：乘法公式：一般的，我们有：一般的，我们有：（2）、完全平方公式）、完全平方公式法则法则：两数和（或差）的平方，等于它们的：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的平方和，加上（或

6、减去）它们的积的2倍倍。.,2)(;2)(222222也可以是代数式既可以是数其中 bababababababa2222)( :bababa即一般的，我们有：一般的，我们有：（三）乘法公式（三）乘法公式平方差公式平方差公式完全平方公式完全平方公式(a+b)(a-b) =a2b2-(a+b)2=a2b22ab+二次三项型乘法公式二次三项型乘法公式(x+p)(x+q)=x +(p+q)x+pq2注意：注意： （1）(a-b)=-(b-a) (2 )（a-b)2=(b-a)2 (3) (-a-b)2=(a+b)2 (4) (a-b)3=-(b-a)3口答练习口答练习一一(x-2y)( )=x2-4y

7、2(1)( )x21y-( )=x2-xy+41y2(2)x+2yx-21y（3）如果如果a+a1=3,则则a2+a21=( )(A) 7(B) 9(C) 10(D) 11所以所以=9a+a1( )2所以所以a +a1=922+2A故故a a1=72+2因为因为a+a1=3解：解：分别为分别为（ ）(4) 若若2a2-2ab+b2-2a+1=0,则则a、b（A）1，-1（B）1，1（C）-1，1（D）0，0B(a -b) +(a-1) =022(a -b) =02(a-1) =02且且所以所以a=1,b=1+22a-2ab b-2a+1=02a+所以所以2+22a-2ab b-2a+1=0因为

8、因为解：解：（四）（四）.添括号的法则：添括号的法则： 添括号时，如果括号前面是正号，括添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。要改变符号。（1）、同底数幂的除法）、同底数幂的除法即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。一般地，我们有一般地，我们有nmnmaaa（其中（其中a0，m、n为为正整数正整数,并且并且mn ）)0(10aa（五）（五）.整式的除法：整式的除法：即任何不等于即任何不等于0的数的的数的0次幂都等于次幂都等于

9、1（2）、单项式除以单项式）、单项式除以单项式 法则：法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。个因式。（3）、多项式除以单项式）、多项式除以单项式 法则：法则：多项式除以单项式，先把这个多项多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。相加。22219992001)6( ,1999)5()23)(23)(4(zyxzyx?

10、,2)()3(., 1, 2)2(.)1(, 51) 1 (222222222应为多少则如果的值求若的值求已知znmnmznmxyyxyxaaaa练习：计算下列各题。练习：计算下列各题。)5 . 0()4331) 4 ()6 ()645)(3 ()(31)( 6 ) 2 ()2()41)(1 (21231221223233225346yxyxyxyxxxyxyxbabacacbammmnm分解因式分解因式定义定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，象把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的式子变形叫做把这个多项式这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解因式分解或或分解因式分解因式。与整式乘法

11、的关系：与整式乘法的关系： 互为逆过程，互逆关系互为逆过程，互逆关系方法方法提公因式法提公因式法公式法公式法步骤一提：一提：提公因式提公因式二用：二用：运用公式运用公式三查：三查：检查因式分解的结果是否正确检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）（彻底性）平方差公式平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式完全平方公式a22ab+b2=(ab)2 六六（1）.公因式：公因式：一个多项式的各项都含有的一个多项式的各项都含有的公共的公共的因式，因式，叫做这个多项式各项的叫做这个多项式各项的公因式公因式（2）找公因式：找公因式：找各项找各项系数的最大公约系数的最大公约数数与各项都含有的字

12、母的与各项都含有的字母的最低次幂的积最低次幂的积。（3）.提公因式法：提公因式法：一般地，如果多项式的一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，作为多项式的一个因式，然后用原多项式面，作为多项式的一个因式，然后用原多项式的每一项除以这个公因式，所得的商作为另一的每一项除以这个公因式，所得的商作为另一个因式，将多项式写成因式乘积的形式，这种个因式，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解因式分解 的方法的方法提公因式法。提公因式法。 口答口答1.分解因式：分解因式：a2-25= .2. (2012年年陕西陕西)分解因式：分解因式：x3

13、y2-4x= .3. (2013年年长沙长沙)分解因式：分解因式：xy2-x2y= . x(xy+2)(xy-2)(a+5)(a-5)xy(y-x) y(x-2)24. (2013年年青海青海)分解因式：分解因式：x2y-4xy+4y= . 5.(20125.(2012年年桂林桂林) )分解因式：分解因式：a a3 3+2a+2a2 2+a=+a= . .a(a+1)27.(20127.(2012年年呼和浩特呼和浩特) )将下列式子因式分解将下列式子因式分解 x-xx-x2 2-y+y-y+y2 2= = . .(x-y)(1-x-y)(x-y)(1-x-y)6. (2012年年哈尔滨哈尔滨)

14、分解因式：分解因式： a2-2ab+b2-c2= . (a-b+c)(a-b-c) 典型例题解析典型例题解析【例【例1】 因式分解：因式分解：(1)-4x2y+2xy2-12xy；(2)3x2(a-b)-x(b-a)；(3)9(x+y)2-4(x-y)2；解：解：(1)原式原式=-2xy(2x-y+6)(2)原式原式=3x2(a-b)+x(a-b) =x(a-b)(3x+1)(3)原式原式=3(x+y)+2(x-y)3(x+y)-2(x-y) =(5x+y)(x+5y)1、利用因式分解计算：（1） （2）(1 )(1 )(1 )(1 )（3）20042-40082005+20052 （4）9.

15、929.90.20.012220012003100122123124121012、若若a、b、c为为ABC的三边，且满足的三边，且满足a2b2c2abacbc，试判断，试判断ABC的形状。的形状。小小 结结同底数幂的乘法同底数幂的乘法幂的乘方幂的乘方积的乘方积的乘方aman=am n( )=abn( )=am+namnanb n平方差公式平方差公式完全平方公式完全平方公式(a+b)(a-b) =a2b2-(a+b)2=a2b22ab+二次三项型乘法公式二次三项型乘法公式(x+p)(x+q)=x +(p+q)x+pq2 因式分解因式分解2.2.因式分解的几种常用方法因式分解的几种常用方法(1)(

16、1)提公因式法提公因式法(2)(2)运用公式法：运用公式法：平方差公式：平方差公式：a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=(a=(ab)b)2 2(3)(3)二次三项式型：二次三项式型：x x2 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)(4)(4)分组分解法：分组分解法：分组后能提公因式；分组后能提公因式；分组后能运用公式分组后能运用公式. .1.1.因式分解的定义因式分解的定义把一个多项式化为把一个多项式化为n n个整式的积的形式，叫做把这个个整式

17、的积的形式，叫做把这个多项式因式分解式分解因式多项式因式分解式分解因式. .3.3.因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤可归纳为一可归纳为一“提提”、二、二“套套”、三、三“分分”、四、四“查查”：(1)(1)一一“提提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来必须先提出来. .(2)(2)二二“套套”：若多项式的各项无公因式：若多项式的各项无公因式( (或已提出公或已提出公因式因式) )，第二步则看能不能用公式法或用，第二步则看能不能用公式法或用x x2 2+(p+q)x+pq+(p+q)x+pq型分解型分解. .(3)“(3)“三分三分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后能后能“提提”或能或能“套套”，当然要注意其要分解到底才能，当然要注意其要分解到底才能结束结束. .(4)(4)四四“查查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是：可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确否正确. .1、分式的基本性质2、分式的运算（乘除、加减）3、整数指数幂4、分式方程