高考数学第十四章选修模块.docx

1、1 第十四章第十四章选修模块 14.1 几何证明选讲几何证明选讲 专题 2 相似三角形的判定与性 质 (2015河南省六市高考数学二模,相似三角形的判定与性质,解答题,理 22) 如图,梯形 ABCD内接于O,ADBC,过点 C作O的切线,交 BD 的延长线于点 P,交 AD的延长线 于点 E. (1)求证:AB2=DE BC; (2)若 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长. 解:(1)证明:ADBC,AB=DC,EDC=BCD, 又 PC与O相切,ECD=DBC,CDEBCD, CD2=DE BC,即 AB2=DE BC. (2)由(1)知,DE=4,PDEPBC, . 又PB

2、-PD=9,PD=,PB=. PC2=PD PB=.PC=. 专题 7 与圆有关的比例线 段 (2015河南省洛阳市高考数学二模,与圆有关的比例线段,解答题,理 22) 如图,O1与O2相交于 A,B两点,点 P 在线段 BA 的延长线上,T 是O1上一点,PTO2T,过 P 的直线交O1于 C,D 两点, (1)求证:; (2)若O1与O2的半径分别为 4,3,其圆心距 O1O2=5,PT=,求 PA的长. (1)证明:PTO2T, PT 是O2的切线, PT2=PA PB, 过 P的直线交O1于 C,D两点, PC PD=PA PB, PT2=PC PD, . (2) 2 解:连接 O1A

3、,O2A, O1与O2的半径分别为 4,3,其圆心距 O1O2=5, O1=O1A2+O2A2, O1AO2=90, 设 RtO1AO2斜边长为 h,则 h=,AB=2h=, PT2=PA PB,PT=, PA, PA=. (2015甘肃省张掖市高考数学 4 月模拟,与圆有关的比例线段,解答题,理 22) 如图,AB 是O 的直径,C是弧 BD 的中点,CEAB,垂足为 E,BD交 CE于点 F. (1)求证:CF=BF; (2)若 AD=4,O 的半径为 6,求 BC 的长. (1)证法一:连接 CO交 BD于点 M,如图 1. C 为弧 BD的中点,OCBD. 又OC=OB,RtCEORt

4、BMO. OCE=OBM.又OC=OB,OCB=OBC. FBC=FCB,CF=BF. 证法二:延长 CE 交圆 O于点 N,连接 BN,如图 2. AB 是直径且 CNAB于点 E,NCB=CNB. 又,CBD=CNB. NCB=CBD 即FCB=CBF.CF=BF. (2)解:O,M分别为 AB,BD 的中点,OM=2=OE, EB=4. 在 RtCOE中,CE=4. 在 RtCEB中,BC=4. 图 1 图 2 (2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,与圆有关的比例线段,解答题,理 22) 3 已知 A,B,C,D为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O的切线,ACDE,AC与 BD 相

5、交于 H 点. (1)求证:BD平分ABC; (2)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH的长. 解:(1)证明:ACDE,直线 DE为圆 O的切线,D是的中点,即. 又ABD,DBC 分别是两弧所对的圆周角,故有ABD=DBC, BD平分ABC. (2)由图CAB=CDB且ABD=DBC, ABHDBC,. 又,AD=DC,. AB=4,AD=6,BD=8,AH=3. (2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,与圆有关的比例线段,解答题,理 22) 如图所示,PA 为圆 O 的切线,A 为切点,PO 交圆 O于 B,C 两点,PA=20,PB=10,BAC的角平分线与 BC 和圆 O 分

6、别交于点 D和 E. (1)求证:AB PC=PA AC; (2)求 AD AE的值. (1)证明:PA 为圆 O 的切线, PAB=ACP,又P 为公共角, PABPCA, AB PC=PA AC. (2)解:PA为圆 O的切线,BC 是过点 O的割线, PA2=PB PC, PC=40,BC=30, 又CAB=90,AC2+AB2=BC2=900, 又由(1)知, AC=12,AB=6, 连接 EC,则CAE=EAB, ACEADB, AD AE=AB AC=612=360. (2015甘肃省兰州一中三模,与圆有关的比例线段,解答题,理 22) 设 AB为圆 O的直径,AB=10.E为线段

7、 AO上一点,OE=AB.过 E 作一直线交圆 O于 C,D两点,使得 CEA=45.试求 CE2+ED2的值. 解:AB=10,OE=AB,作 OHCD于 H,则 OH=OE, CD=2AB. 由相交弦定理知 CE ED=AE EB=AB2. CE2+ED2=(CE+ED)2-2CE ED=AB2-AB2=AB2=50. 4 14.2 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 专题 3 曲线的极坐标方程的求 解 (2015甘肃省兰州一中三模,曲线的极坐标方程的求解,解答题,理 23)设直线 l的参数方程为(t为参 数),若以直角坐标系 xOy的 O 点为极点,Ox轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐

8、标系,得曲线 C 的极坐标方程为 =. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线; (2)若直线 l与曲线 C交于 A,B 两点,求|AB|. 解:(1)由 =得 sin2=6cos,2sin2=6cos, y2=6x. 曲线 C 表示顶点在原点,焦点在 x轴上的抛物线. (2)将化为代入 y2=6x得 t2-4t-12=0(*), 由(*)式解得 t1=6,t2=-2,|AB|=|t1-t2|=8. 专题 5 参数方程与普通方程的互化 (2015河南省洛阳市高考数学二模,参数方程与普通方程的互化,解答题,理 23)在平面直角坐标 系中,曲线 C1的参数方程为( 为

9、参数),以坐标原点 O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲 线 C1的极坐标方程为 =2cos . (1)求曲线 C1的直角坐标方程; (2)已知点 M是曲线 C1上任意一点,点 N 是曲线 C2上任意一点,求|MN|的取值范围. 解:(1)由 =2cos,得 2=2cos, x2+y2=2x, (x-1)2+y2=1. (2)设点 M(4cos,3sin),则 |MC2|-1|MN|MC2|+1, |MC2|2=(4cos-1)2+9sin2=7cos2-8cos+10, 当 cos=-1时,得|MC2=25,|MC2|max=5, 当 cos=时,得|MC2,|MC2|min=,

10、-1|MC2|-1|MN|MC2|+15+1, |MN|的取值范围为. (2015甘肃省张掖市高考数学 4 月模拟,参数方程与普通方程的互化,解答题,理 23)在平面直角坐标 系 xOy中,以 O为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知 P 点的极坐标为,曲线 C 的极坐标 方程为 2+4sin =4. (1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C的普通方程; (2)若 Q 为 C上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l:(t为参数)距离的最大值. 解:(1)已知 P点的极坐标为, 所以 x=cos=6,y=sin=2, 点 P的直角坐标为(6,2).由 2+4sin=4,得 x2+y2+4

11、y=4, 即 x2+(y+2)2=16,曲线 C的普通方程为 x2+(y+2)2=16. (2)由 l:可得直线 l的普通方程为 x-y-5=0, 由曲线 C 的普通方程:x2+(y+2)2=16, 可设点 Q(4cos,4sin-2),点 M坐标为(2cos+3,2sin). 点 M 到直线 l的距离 d=, 当 cos=-1时,d 取得最大值 2+,点 M 到直线 l距离的最大值为 2+. 5 (2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,参数方程与普通方程的互化,解答题,理 23)已知曲线 C1:(t 为参数),C2:( 为参数). (1)化 C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么

12、曲线; (2)若 C1上的点 P 对应的参数为 t=,Q为 C2上的动点,求 PQ中点 M到直线 C3:(t为参数)距离的最小 值. 解:(1)把 C1,C2的参数方程消去参数,化为普通方程分别为 C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:=1, C1为圆心是(-4,3),半径是 1的圆;C2为中心是坐标原点,焦点在 x轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. (2)当 t=时,P(-4,4),设 Q(8cos,3sin),故 M,C3为直线 x-2y-7=0, 求得 M 到 C3的距离 d=|4cos-3sin-13|=,其中,sin=,cos=-. 从而当 sin(+)=1,即当

13、cos=,sin=-时,d取得最小值为. 专题 6 极坐标方程与参数方程的应用 (2015河南省六市高考数学二模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)在平面直角坐标 系 xOy中,圆 C的参数方程为(为参数),以 O为极点,x 轴的非负半轴为为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C的极坐标方程; (2)直线 l的极坐标方程式 2sin=3,射线 OM:=与圆心 C的交点为 O,P,与直线 l的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 解:(1)圆 C 的参数方程为(为参数),消去参数化为普通方程:(x-1)2+y2=1, 把代入可得圆 C的极坐标方程:=2cos. (2)设 P(1,1),则解得

14、 1=1,1=. 设 Q(2,2),则解得 2=3,2=,|PQ|=2. 14.3 不等式选讲不等式选讲 专题 3 含绝对值不等式的问 题 (2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,含绝对值不等式的问题,解答题,理 24)已知函数 f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a. (1)当 a=0时,解不等式 f(x)g(x); (2)若存在 xR,使得 f(x)g(x)成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=0 时,由 f(x)g(x)得|2x+1|x,两边平方整理得 3x2+4x+10, 解得 x-1或 x-, 原不等式的解集为(-,-1. (2)由 f(x)g(x)得 a|2x+

15、1|-|x|,令 h(x)=|2x+1|-|x|,即 h(x)= 故 h(x)min=h=-,故可得到所求实数 a的范围为. (2015甘肃省兰州一中三模,含绝对值不等式的问题,解答题,理 24)若实数 a,b满足 ab0,且 a2b=4, 若 a+bm 恒成立. (1)求 m 的最大值; (2)若 2|x-1|+|x|a+b对任意的 a,b恒成立,求实数 x的取值范围. 解:(1)由题设可得 b=0,a0, a+b=a+3, 当 a=2,b=1时,a+b 取得最小值 3, m 的最大值为 3. (2)要使 2|x-1|+|x|a+b 对任意的 a,b 恒成立, 须且只须 2|x-1|+|x|

16、3, x1 时,2x-2+x3,解得 1x, 0x1时,2-2x+x3,解得 0x1, 6 xx1x2. (1)解:a,bR,a+b=1,x1,x2R, 3 =33=6, 当且仅当 a=b=0.5,x1=x2=1 时,的最小值为 6. (2)证明:(ax1+bx2)(ax2+bx1)=(a2+b2)x1x2+ab()(a2+b2)x1x2+2abx1x2=(a+b)2x1x2x1x2. (2015甘肃省张掖市高考数学 4 月模拟,不等式的证明,解答题,理 24)已知函数 f(x)=|x-1|, (1)若 f(x)+f(1-x)a 恒成立,求 a的取值范围; (2)若 a+2b=8,求证:f(a

17、)2+f(b)25. (1)解:f(x)+f(1-x)=|x-1|+|-x|x-1-x|=1. f(x)min=1,a1. (2)证明:f(a)2+f(b)2 =(a-1)2+(b-1)2(a-1)2+(b-1)2 (12+22) (a-1) 1+(b-1) 22 =(a+2b-3)2 =25. (a-1)2+(b-1)25,f(a)2+f(b)25. (2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,不等式的证明,解答题,理 24)已知 a,b,cR+,且 a+b+c=1.证 明: (1)a2+b2+c2; (2)1. 证明:(1)a,b,cR+,且 a+b+c=1,1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac3(a2+b2+c2), a2+b2+c2,当且仅当 a=b=c 时,等号成立. (2)+b2a,+c2b,+a2c, +a+b+c2(a+b+c), a+b+c=1, 1.