最新同济版高等数学优质课课件一阶线性微分方程.ppt
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2、线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuC 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)(
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4、解例例1 1例例2 2 如图所示,平行与如图所示,平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyx
5、Pdxdy)()( )1 , 0( n方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.二、伯努利方程二、伯努利方程时时,当当1 , 0 n时时,当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.,1 nyz 令令,则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后,将求出通解后,将 代入即得代入即得nyz 1,得,得两端除以两端除以ny代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn.42的通
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