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类型第6讲 正弦定理和余弦定理.docx

  • 上传人(卖家):欢乐马
  • 文档编号:272736
  • 上传时间:2020-02-22
  • 格式:DOCX
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    关 键  词:
    第6讲 正弦定理和余弦定理 正弦 定理 余弦 下载 _九年级下册_人教版(2024)_数学_初中
    资源描述:

    1、第 6 讲 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1在ABC中,C60,AB 3,BC 2,那么A等于( ) A135 B105 C45 D75 解析 由正弦定理知 BC sin A AB sin C,即 2 sin A 3 sin 60,所以 sin A 2 2 , 又由题知,BCAB,A45. 答案 C 2已知a,b,c是ABC三边之长,若满足等式(abc)(abc)ab,则角 C的大小为( ) A60 B90 C120 D150 解析 由(abc)(abc)ab,得(ab) 2c2ab, c 2a2b2aba2b22abcos C, cos C1 2,C120. 答案 C 3在ABC 中,角

    2、A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若角 A,B,C 依次成 等差数列,且 a1,b 3,则 SABC ( ) A. 2 B. 3 C. 3 2 D2 解析 A,B,C 成等差数列,AC2B,B60 . 又 a1,b 3, a sin A b sin B, sin Aasin B b 3 2 1 3 1 2, A30 ,C90 .SABC1 21 3 3 2 . 答案 C 4在ABC 中,AC 7,BC2,B60 ,则 BC 边上的高等于 ( ) A. 3 2 B.3 3 2 C. 3 6 2 D. 3 39 4 解析 设 ABc,BC 边上的高为 h. 由余弦定理,得 AC2c2BC2

    3、2BC ccos 60 ,即 7c24 4ccos 60 ,即 c22c30,c3(负值舍去) 又 hc sin 60 3 3 2 3 3 2 ,故选 B. 答案 B 5在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a,b3(0), A45,则满足此条件的三角形个数是( ) A0 B1 C2 D无数个 解析 直接根据正弦定理可得 a sin A b sin B ,可得 sin B bsin A a 3sin 45 6 2 1,没有意义,故满足条件的三角形的个数为 0. 答案 A 6已知ABC 的面积为 3 2 ,AC 3,ABC 3,则ABC 的周长等于 ( ) A3 3 B3 3 C2

    4、3 D.3 3 2 解析 由余弦定理得 b2a2c22accos B, 即 a2c2ac3.又ABC 的面积 为1 2acsin 3 3 2 ,即 ac2,所以 a2c22ac9,所以 ac3,即 acb 3 3,故选 A. 答案 A 二、填空题 7如图,ABC中,ABAC2,BC2 3,点D在BC边上,ADC45,则 AD的长度等于_ 解析 在ABC中,ABAC2,BC2 3,cos C 3 2 ,sin C1 2;在 ADC中,由正弦定理得, AD sin C AC sinADC, AD 2 sin 45 1 2 2. 答案 2 8已知ABC 的三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦

    5、值为 _ 解析 依题意得,ABC 的三边长分别为 a, 2a,2a(a0),则最大边 2a 所对 的角的余弦值为:a 2 2a22a2 2a 2a 2 4 . 答案 2 4 9在 RtABC 中,C90 ,且 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足 abcx,则实 数 x 的取值范围是_ 解析 xab c sin Asin B sin C sin Acos A 2sin A 4 .又 A 0, 2 , 4 A 4 3 4 , 2 2 sin A 4 1,即 x(1, 2 答案 (1, 2 10若AB2,AC 2BC,则SABC的最大值_ 解析 (数形结合法)因为AB2(定长),可以令AB所在的

    6、直线为x轴,其中 垂线为y轴建立直角坐标系,则A(1,0),B(1,0),设C(x,y),由AC 2 BC, 得 x 2y2 2 x 2y2,化简得(x3)2y28, 即C在以(3,0)为圆心,2 2为半径的圆上运动, 所以SABC1 2|AB|y C|yC|2 2,故答案为 2 2. 答案 2 2 三、解答题 11叙述并证明余弦定理 解 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它 们夹角的余弦之积的两倍或:在ABC中,a,b,c为A,B,C的对边,有 a 2b2c22bccos A,b2c2a22cacos B,c2a2b22abcos C, 法一 如图(1), 图(

    7、1) a 2BCBC (AC AB)(ACAB) AC 22ACABAB2 AC 22|AC|AB|cos AAB2 b 22bccos Ac2,即 a 2b2c22bccos A. 同理可证b 2c2a22cacos B,c2a2b22abcos C. 法二 图(2) 已知ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点,AB所在直线为x 轴建立直角坐标系,如图(2)则C(bcos A,bsin A),B(c,0), a 2|BC|2(bcos Ac)2(bsin A)2 b 2cos2A2bccos Ac2b2sin2A b 2c22bccos A. 同理可证b 2c2a22cacos

    8、 B, c 2a2b22abcos C. 12在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cos A2 3,sin B 5 cos C. (1)求 tan C 的值; (2)若 a 2,求ABC 的面积 解 (1)因为 0A,cos A2 3, 得 sin A 1cos2A 5 3 . 又 5cos Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C 5 3 cos C2 3sin C. 所以 tan C 5. (2)由 tan C 5,得 sin C 5 6,cos C 1 6. 于是 sin B 5cos C 5 6. 由 a 2及正弦定理 a sin

    9、A c sin C,得 c 3. 设ABC 的面积为 S,则 S1 2acsin B 5 2 . 13 在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,点(a,b)在直线 x(sin A sin B)ysin Bcsin C 上 (1)求角 C 的值; (2)若 a2b26(ab)18,求ABC 的面积 解 (1)由题意得 a(sin Asin B)bsin Bcsin C, 由正弦定理,得 a(ab)b2c2, 即 a2b2c2ab, 由余弦定理,得 cos Ca 2b2c2 2ab 1 2, 结合 0C,得 C 3. (2)由 a2b26(ab)18,得(a3)2(b3)20, 从

    10、而得 ab3, 所以ABC 的面积 S1 23 2sin 3 9 3 4 . 14 在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 A 4,bsin 4C csin 4B a. (1)求证:BC 2; (2)若 a 2,求ABC 的面积 (1)证明 由 bsin 4C csin 4B a 应用正弦定理,得 sin Bsin 4C sin Csin 4B sin A, sin B 2 2 sin C 2 2 cos C sin C 2 2 sin B 2 2 cos B 2 2 , 整理得 sin Bcos Ccos Bsin C1,即 sin(BC)1. 由于 0B,C3 4,从而 BC 2. (2)解 BCA3 4 ,因此 B5 8 ,C 8. 由 a 2,A 4, 得 basin B sin A 2sin 5 8 ,casin C sin A 2sin 8, 所以ABC 的面积 S1 2bcsin A 2sin5 8 sin 8 2cos 8sin 8 1 2.

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