2016年普通高等学校招生全国统一考试天津文科数学.docx

1、1 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 天津文科数学 1.(2016 天津,文 1)已知集合 A=1,2,3,B=y|y=2x-1,xA,则 AB=( ) A.1,3 B.1,2 C.2,3 D.1,2,3 答案 A 由题意知,当 x=1时,y=21-1=1;当 x=2 时,y=3;当 x=3时,y=5.因此,集合 B=1,3,5 .故 AB=1,3. 2.(2016 天津,文 2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ,则甲不输的概率为 ( ) A. B. C. D. 答案 A 令 A=“甲、乙下成和棋”,B=“甲获胜”,C=“甲输”,则

2、 =“甲不输”. P(A)= ,P(B)= ,P(C)=1- . P( )=1- . 故甲不输的概率为 . 3.(2016 天津,文 3) 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该 几何体的侧(左)视图为 ( ) 答案 B 由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示: 2 易知其左视图为 B 项中图.故选 B. 4.(2016 天津,文 4)已知双曲线 =1(a0,b0)的焦距为 2 ,且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( ) A. -y2=1 B.x2- =1 C. =1 D. =1 答案 A 双曲

3、线 =1(a0,b0)的焦距为 2 , c= . 又该双曲线的渐近线与直线 2x+y=0垂直,渐近线方程为 y= x . ,即 a=2b. a2=4b2.c2-b2=4b2.c2=5b2. 5=5b2.b2=1. a2=c2-b2=5-1=4. 故所求双曲线的方程为 -y2=1. 5.(2016 天津,文 5)设 x0,yR,则“xy”是“x|y|”的 ( ) A.充要条件 B.充要而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 当 x=1,y=-2,1-2,但 1y x|y| ,xy不是 x|y|的充分条件.对于 x|y|,若 y0 ,则 x|y|xy;若 y0,则

4、xy,x|y|xy .xy是 x|y|的必要条件.“xy”是 “x|y|”的必要而不充分条件.故选 C. 6.(2016 天津,文 6)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数 a满足 f(2|a- 1|)f(- ),则 a的取值范围是( ) A.(- ) B.(- ) ( ) 3 C.( ) D.( ) 答案 C f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减 . 由 f(2|a-1|)f(- )=f( ) 可得 2|a-1|0,且 a1)在 R 上单调递减,且关于 x 的方程|f(x)|=2- 恰有两个不相

5、等的实数解,则 a的取值范围是 . 答案* ) 解析由函数 f(x)在 R 上单调递减可得 - 解得 a . 当 x0 时,由 f(x)=0得 x0= -1. 又a , -12,即 x0(0,2. 如图,作出 y=|loga(x+1)+1|(x0)的图象,由图知当 x0 时,方程|f(x)|=2- 只有一解. 当 x0 时,解得 a 或 a . 又a* +,a* ). 方程有一负根 x0和一零根,则有 x0 0=3a-2=0,解得 a= . 显然与 a 矛盾. 7 方程有一正根 x1和一负根 x2, 则有 x1 x2=3a-20,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间-1,1上的最

6、大值不小于 . (1)解由 f(x)=x3-ax-b,可得 f(x)=3x2-a. 11 下面分两种情况讨论: 当 a0 时,有 f(x)=3x2-a0恒成立. 所以 f(x)的单调递增区间 为(-,+). 当 a0时,令 f(x)=0,解得 x= ,或 x=- . 当 x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x ( -, - ) - . / . / f(x) + 0 - 0 + f(x) 单调 递增 极大 值 单调递 减 极小 值 单调递增 所以 f(x)的单调递减区间 为(- ),单调 递增区间 为(- - ) ( ). (2)证明因为 f(x)存在极值点 ,所以由(1)知 a0,且 x00.由题意,得 f(x0)=3 -a=0,即 ,进而 f(x0)= -ax0-b=- x0-b. 又 f(-2x0)=-8 +2ax0-b=- x0+2ax0-b=- x0-b=f(x0),且-2x0x0,由题意及(1)知,存在唯一实数 x1满 足 f(x1)=f(x0),且 x1x0,因此 x1=-2x0. 所以 x1+2x0=0. (3)证明设 g(x)在区间-1,1上的最大值 为 M,maxx,y表示 x,y 两数的最大值.下面分三种情况讨论: 当 a3 时,- -1 . 综上所述,当 a0 时,g(x)在区间-1,1上的最大值不小于 .