第五节　数系的扩充与复数的引入.doc

1、 1 第五节第五节 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 1复数的有关概念复数的有关概念 (1)复数的概念：形如复数的概念：形如 bi(，bR)的数叫复数的数叫复数，其中其中 ，b 分分 别是它的实部和虚部若别是它的实部和虚部若 b0，则则 bi 为实数为实数，若若 b0，则则 bi 为虚数为虚数，若若 0 且且 b0，则则 bi 为纯虚数为纯虚数 (2)复数相等：复数相等：bicdi c，bd(，b，c，dR) (3)共轭复数：共轭复数：bi 与与 cdi 共轭共轭 c，bd(，b，c，d R) (4)复数的模：向量复数的模：向量OZ 的模的模 r 叫做复数叫做复数 zbi 的模的模

2、，即即|z| bi| 2b2 2复数的几何意义复数的几何意义 复数复数 zbi一一对应复平面内的点一一对应复平面内的点 Z(，b)一一一一 对应平面向量对应平面向量OZ (，b) 3复数的运算复数的运算 (1)运算法则：设运算法则：设 z1bi，z2cdi，b，c，dR z1z2(bi) (cdi)( c)(b d)i z1z2(bi)(cdi)( cbd)(bc d)i 2 z1 z2 bi cdi c bd c2d2 bc d c2d2 i(cdi0) (2)几何几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则 进行进行 如右图所示给出的

3、平行四边形如右图所示给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数可以直观地反映出复数 加减法的几何意义加减法的几何意义，即即OZ OZ1 OZ2 ，Z1Z2 OZ2 OZ1 1(质疑夯基质疑夯基)判断下列结论的正误判断下列结论的正误(正确的打正确的打“”“”，错误的错误的 打打“”“”) (1)复数复数 z1i 的虚部为的虚部为 i.( ) (2)若若 zbi(，bR)，当当 0 时时，z 是纯虚数是纯虚数( ) (3)复数中有相等复数的概念复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小因此复数可以比较大小( ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原复数的模实质上就是复平面内复

4、数对应的点到原点的距离，点的距离， 也就是复数对应的向量的模也就是复数对应的向量的模( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 3 3实部为实部为2，虚部为虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的的复数所对应的点位于复平面的( ) A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 解析：解析：由题意知由题意知，该复数在复平面内对应的点为该复数在复平面内对应的点为(2，1)，所以所以 该点位于复平面的第二象限该点位于复平面的第二象限 答案：答案：B 4(2016 课标全国课标全国卷卷)设设(12i)(ai)的实部与虚部相等的实部与虚部相等，其中其中 a 为实

5、数为实数，则则 a( ) A3 B2 C2 D3 解析：解析：先化简复数先化简复数，再根据实部与虚部相等列方程求解再根据实部与虚部相等列方程求解 (12i)(ai)a2(12a)i，由题意知由题意知 a212a，解得解得 a 3，故选故选 A. 答案：答案：A 5(2015 北京卷北京卷)复数复数 i(1i)的实部为的实部为_ 解析：解析：因为因为 i(1i)ii21i，所以实部为所以实部为1. 答案：答案：1 4 一个关键一个关键 复数分类的关键是抓住复数分类的关键是抓住 zbi(，bR)的虚部：当的虚部：当 b0 时时， z 为实数；当为实数；当 b0 时时，z 为虚数；当为虚数；当 0，

6、且且 b0 时时，z 为纯虚数为纯虚数 一个实质一个实质 复数除法的实质是分母实数化复数除法的实质是分母实数化， 其操作方法是分子、 分母同乘以其操作方法是分子、 分母同乘以 分母的共轭复数分母的共轭复数 一种方法一种方法 化化“虚虚”为为“实实”是解决复数问题的基本方法是解决复数问题的基本方法， 其中其中， 复数的代复数的代 数形式是化数形式是化“虚虚”为为“实实”的前提的前提， 复数相等的充要条件是化复数相等的充要条件是化“虚虚” 为为“实实”的桥梁的桥梁 两点注意两点注意 1判定复数是实数判定复数是实数，仅注重虚部等于仅注重虚部等于 0 是不够的是不够的，还还需考虑它需考虑它 的的实部是

7、否有意义实部是否有意义 2利用复数相等利用复数相等 bicdi 列方程时列方程时，注意注意 ，b，c，dR 的前提条件的前提条件 一、选择题一、选择题 1(2015 湖北卷湖北卷)i 为虚数单位为虚数单位，i607的的共轭复数共轭复数 为为( ) Ai Bi C1 D1 5 解析：解析：因为因为 i607i4 1513 i3i，所以其共轭复数为所以其共轭复数为 i，故选故选 A. 答案：答案：A 4(2017 郑州一检郑州一检)设设 i 是虚数单位是虚数单位，若复数若复数 m 10 3i(m R)是是 纯虚数纯虚数，则则 m 的值为的值为( ) A3 B1 C1 D3 解析：解析：由由 m 1

8、0 3i m3i 为纯虚数为纯虚数，则则 m30，所以所以 m 3. 答案：答案：A 5(2017 广州一模广州一模)复数复数 2 1i的虚部是 的虚部是( ) A2 B1 C1 D2 6 解析：解析：本题主要考查复数的概念与几何意义复数本题主要考查复数的概念与几何意义复数 2 1i （2i） （1i）（）（1i） 1i，所以它的虚数为所以它的虚数为1. 答案：答案：B 6设设 z 是复数是复数，则下列命题中的假命题是则下列命题中的假命题是( ) A若若 z20，则则 z 是实数是实数 B若若 z20，则则 z 是虚数是虚数 C若若 z 是虚数是虚数，则则 z20 D若若 z 是纯虚数是纯虚数

9、，则则 z20 解析：解析：设设 z bi( ，bR)，则则 z2 2b22 bi， 由由 z20，得得 b0， 2b20，则 则 b0，或或 ，b 都为都为 0，即即 z 为实数为实数， 故选项故选项 A 为真为真 同理选项同理选项 B 为真；选项为真；选项 C 为假为假，选项选项 D 为真为真 答案：答案：C 二、填空题二、填空题 7若复数若复数 z 满足满足 iz24i，则在复平面内则在复平面内，z 对应的点的坐标对应的点的坐标 是是_ 解析：解析：由于由于 iz24i， 所以所以 z2 4i i 42i， 故故 z 对应点的坐标为对应点的坐标为(4，2) 答案：答案：(4，2) 8若复

10、数若复数 z1i(i 为虚数单位为虚数单位)，z 是是 z 的共轭复数的共轭复数，则则 z2z2 7 _ 解析：解析：z1i，z1i， 则则 z2z2(1i)2(1i)22i2i0. 答案：答案：0 9(2015 重庆卷重庆卷)设复数设复数 bi(，bR)的模为的模为 3，则，则(bi)( bi)_ 解：解：| bi| 2b2 3，( bi)( bi) 2b23. 答案：答案：3 三、解答题三、解答题 10在复平面内在复平面内，复数复数 54i，12i 对应的点分别为对应的点分别为 A，B. 若若 C 为线段为线段 AB 的中点的中点，求点求点 C 对应复数的模对应复数的模 解：解：由题意知点

11、由题意知点 A(5，4)，B(1，2)，所以点所以点 C 的坐标为的坐标为(2，3)， 所以点所以点 C 对应的复数为对应的复数为 z23i，它的模为它的模为 2232 13. 11已知复数已知复数 z1满足满足(z12)(1i)1i(i 为虚数单位为虚数单位)，复数复数 z2 的虚部为的虚部为 2，且且 z1z2是实数是实数，求求 z2. 解：解：(z12)(1i)1i， z11 i 1i 2（ （1i）2 2 22i， 设设 z2 2i( R)， 则则 z1z2(2i)( 2i)(2 2)(4 )i， 又又 z1z2是实数是实数， 4，从而从而 z242i. 8 三角函数与平面向量的高考热

12、点题型三角函数与平面向量的高考热点题型 三角函数、解三角形、平面向量是高考考查的重点与热点三角函数、解三角形、平面向量是高考考查的重点与热点，本专本专 题的热点题型有： 一是三角恒等变换的综合应用； 二是三角函数与解题的热点题型有： 一是三角恒等变换的综合应用； 二是三角函数与解 三角形的综合问题； 三是三角函数与平面向量的综合应用三角形的综合问题； 三是三角函数与平面向量的综合应用， 中档难度。中档难度。 在解题过程中应挖掘题目的隐含条件在解题过程中应挖掘题目的隐含条件， 注意公式的内在联系注意公式的内在联系， 灵活地灵活地 正用、逆用、变形使用公式正用、逆用、变形使用公式，充充分发挥平面向

13、量的工具作用分发挥平面向量的工具作用，向量具向量具 有有“形形”与与“数数”的两个特点的两个特点，这就为这就为利用数形结合思想创造了条利用数形结合思想创造了条 件件. 热点热点 1 三角恒等变换的综合应用三角恒等变换的综合应用 要研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性要研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函求三角函 数的单调区间、最值等数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角将其化为一个角 的一种三角函数的一种三角函数，求解这类问题求解这类问题，要灵活利用两角和要灵活利用两角和(差差)公式、倍角公式、倍角 公式、辅助角公式以及同角

14、关系进行三角恒等变换公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换 (2017 潍坊质检潍坊质检 )已知函数已知函数 f(x)sin x 6 cos x 3 ，g(x)2sin2x 2. (1)若若 是第一象限角是第一象限角，且且 f()3 3 5 ，求求 g()的值；的值； 9 (2)求使求使 f(x)g(x)成成立的立的 x 的取值集合的取值集合 解：解： f(x)sin x 6 cos x 3 3 2 sin x1 2cos x 1 2cos x 3 2 sin x 3sin x， g(x)2sin2x 2 1cos x， (1)由由 f()3 3 5 得得 sin 3 5. 又又 是第一

15、象限角是第一象限角，所以所以 cos 0. 从而从而 g()1cos 1 1sin214 5 1 5. (2)f(x)g(x)等价于等价于 3sin x1cos x， 则则 3sin xcos x1，于是于是 sin x 6 1 2， ， 从而从而 2k 6 x 6 2k5 6 ，kZ， 即即 2kx2k2 3 ，kZ. 故使故使 f(x)g(x)成立的成立的 x 的取值集合为的取值集合为 x|2kx2k2 3 ，kZ 10 1将将 f(x)化简为化简为 3sin x，将将 g(x)化简为化简为 1cos x，从而沟通了从而沟通了 g()与与 f()之间的关系之间的关系 2进行三角恒等变换要抓

16、住：变角、变函数名称、变结构进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤尤 其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用 3把形如把形如 y sin xbcos x 化为化为 y 2b2sin(x)，可进一可进一 步研究函数的周期、单调性、最值与对称性步研究函数的周期、单调性、最值与对称性 【变式训练】【变式训练】 (2015 天津卷天津卷)已知函数已知函数 f(x)sin2x sin2 x 6 ，xR. (1)求求 f(x)的最小正周期；的最小正周期； (2)求求 f(x)在区间在区间 3 ， 4 上的最大值和最小值上的最大值和最小值 解：解：

17、(1)由已知由已知，有有 f(x)1 cos 2x 2 1cos 2x 3 2 1 2 1 2cos 2x 3 2 sin 2x 1 2cos 2x 3 4 sin 2x1 4cos 2x 1 2sin 2x 6 . 所以所以 f(x)的最小正周期的最小正周期 T2 2 . 11 (2)因为因为 f(x)在区间在区间 3 ， 6 上是减函数上是减函数，在区间在区间 6 ， 4 上是增函数上是增函数， 且且 f 3 1 4， ，f 6 1 2， ，f 4 3 4 ， 所以所以 f(x)在区间在区间 3 ， 4 上的最大值为上的最大值为 3 4 ，最小值为最小值为1 2. 热点热点 2 三角函数与

18、解三角形的综合问题三角函数与解三角形的综合问题 从近几年课标全国卷来看从近几年课标全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力高考命题强化了解三角形的考查力 度度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边求解的关键是实施边 角互化角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值同时结合三角恒等变换进行化简与求值 在在ABC 中中，内角内角 A，B，C 所对的边分别是所对的边分别是 ， b，c.已知已知 bsin A3csin B，3，cos B2 3. (1)求求 b 的值；的值； (2)求求 sin 2B 3 的值的值 解：解：(1)由由 sin

19、A b sin B， ，可得可得 bsin A sin B. 又由又由 bsin A3csin B，可得可得 3c. 由于由于 3，则则 c1. 依据余弦定理依据余弦定理，且且 cos B2 3， ， b2 2c22 c cos B321262 3 6. 于是于是 b 6. 12 (2)由由 cos B2 3， ，0B，得得 sin B 5 3 ， cos 2B2cos2B11 9， ， sin 2B2sin Bcos B4 5 9 ， 所以所以 sin 2B 3 sin 2Bcos 3 cos 2Bsin 3 4 5 3 18 . 1以平面向量为载体以平面向量为载体，实质考查三角形中的边角转

20、化实质考查三角形中的边角转化，求解的求解的 关键是抓住边角间的关系关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理恰当选择正、余弦定理 2 解三角形常与三角变换交汇在一起解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作以解三角形的某一结论作 为条件为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系此时应首先确定三角形的边角关系，然然后灵活运用三角函后灵活运用三角函 数的和、差、倍角公式化简转化数的和、差、倍角公式化简转化 【变式训练】【变式训练】 在在ABC 中中，b 分别是锐角分别是锐角 A，B 的对边的对边， 向量向量 m(b，sin B)，n ，cos 3 ，且且 mn. (1)求角求角 A 的

21、大小；的大小； (2)若若 B 6 ，BC 边上的中线边上的中线 AM 7，求求ABC 的面积的面积 解：解：(1)由由 mn，得得 bcos 3 sin B0. 由正弦定理由正弦定理，得得1 2sin B sin Asin B， 由于由于 sin B0，且且 A 为锐角为锐角， 13 sin A1 2， ，所以所以 A 6 . (2)由由(1)知知 AB 6 ， ACb ，且且 C2 3 . 又又 AM 是是ABC 中中 BC 边上的中线边上的中线， MC1 2BC 1 2 . 在在AMC 中中，AM 7，由余弦定理得由余弦定理得 AM2AC2MC22AC MC cos C， 7 2 2 2

22、 2 2 cos2 3， ， 解得解得 2. 从而从而 b2. 故故 S ABC1 2 b sin C 1 2 22sin2 3 3. 热点热点 3 三角函数与平面向量的综合应用三角函数与平面向量的综合应用(满分现场满分现场) 平面向量与三角函数交汇命题是近几年高考试题的一大亮点平面向量与三角函数交汇命题是近几年高考试题的一大亮点， 主主 要涉及三种情形：要涉及三种情形：(1)以向量为载体以向量为载体，考查三角变换与求值；考查三角变换与求值；(2)向量向量 与解三角形交汇求边与角与解三角形交汇求边与角；(3)以三角函数表示向量的坐标以三角函数表示向量的坐标，研究向研究向 量运算及函数的有关性质

23、量运算及函数的有关性质 (经典母题经典母题)(本小题满分本小题满分 12 分分)(2014 山东卷山东卷)已知已知 向量向量 (m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数函数 f(x) b，且且 yf(x)的的 14 图象过点图象过点 12， ， 3 和点和点 2 3 ，2 . (1)求求 m，n 的值；的值； (2)将将 yf(x)的图象向左平移的图象向左平移 (0)个单位后得到函数个单位后得到函数 y g(x)的图象的图象，若若 yg(x)图象上各最高点到点图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值的距离的最小值 为为 1，求求 yg(x)的单调递增区间的单调递增区间 规范解答：规范

24、解答：(1)由题意知由题意知 f(x) bmsin 2xncos 2x.1 分分 因为因为 yf(x)的图象过点的图象过点 12， ， 3 和和 2 3 ，2 ， 所以所以 3msin 6 ncos 6 ， 2msin4 3 ncos4 3 ， 即即 31 2m 3 2 n， 2 3 2 m1 2n， ， 4 分分 解得解得 m 3， n1. 5 分分 (2)由由(1)知知 f(x) 3sin 2xcos 2x2sin 2x 6 . 由题意知由题意知 g(x)f(x)2sin 2x2 6 .7 分分 设设 yg(x)的图象上符合题意的最高点为的图象上符合题意的最高点为(x0，2)， 由题意知由

25、题意知 x2 0 11，所以所以 x00， 即到点即到点(0，3)的距离为的距离为 1 的最高点为的最高点为(0，2) 将其代入将其代入 yg(x)得得 sin 2 6 1，因为因为 0，所以所以 6 ， 因为因为 g(x)2sin 2x 2 2cos 2x.10 分分 15 由由 2k2x2k，kZ 得得 k 2 xk，kZ， 所以函数所以函数 g(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 k 2 ，k ，kZ.12 分分 【满分规则】【满分规则】 (1)本题的易失分点是：本题的易失分点是： 记错数量积坐标运算公式或方程求解能力差记错数量积坐标运算公式或方程求解能力差， 求错求错 m， n 的值

26、的值 弄错图象平移变换的方向与长度弄错图象平移变换的方向与长度 信息提取能力差信息提取能力差，不能根据条件准确求出不能根据条件准确求出 值值 (2)满分规则：满分规则： 熟记数量积坐标运算公式与三角变换公式熟记数量积坐标运算公式与三角变换公式，平时加强基本训平时加强基本训 练练，提高方程求解能力提高方程求解能力 函数图象变换的关键是看函数图象变换的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩轴上是先平移后伸缩， 还是先伸缩还是先伸缩 后平移后平移， 对于后者可利用对于后者可利用 x(x )确定平移长度 确定平移长度， 二者均是二者均是 针对自变量针对自变量 x 而言的而言的 善于捕捉条件信息善于捕捉条件信

27、息，准准确进行文字语言与符号语言的转化确进行文字语言与符号语言的转化 【构建模板】【构建模板】 第一步：利用数量积与三角变换求第一步：利用数量积与三角变换求 f(x)； 第二步：构建关于第二步：构建关于 m，n 的方程组的方程组，求求 m，n 的值；的值； 第三步：利用图象的平移变换确定出函数第三步：利用图象的平移变换确定出函数 g(x)； 第四步：根据最值条件求第四步：根据最值条件求 值；值； 第五步：利用三角函数的性质求出函数第五步：利用三角函数的性质求出函数 g(x)的递增区间的递增区间 16 三角函数与向量相结合的综合问题 此类问题通常是先利用向量三角函数与向量相结合的综合问题 此类问

28、题通常是先利用向量 的运算转化为三角函数问题的运算转化为三角函数问题， 然后再然后再利用三角恒等变换转化为三角函利用三角恒等变换转化为三角函 数的图象与性质等问题解决数的图象与性质等问题解决 17 1已知函数已知函数 f(x) 3sin xbcos x 3 的图象经过点的图象经过点 3 ，1 2 ， 7 6 ，0 . (1)求实数求实数 ，b 的值；的值； 18 (2)求函数求函数 f(2x)的周期及单调增区间的周期及单调增区间 解：解：(1)函数函数 f(x)3 sin xbcos x 3 的图象经过点的图象经过点 3 ，1 2 ， 7 6 ，0 ， 3 3 2 b1 2， ，且且 3 2

29、3 2 b0. 解得：解得： 1，b1. (2)由由(1)知：知：f(2x) 3sin 2xcos 2x 3 3 2 sin 2x1 2cos 2x sin 2x 6 ， 函数函数 f(2x)的周期的周期 T. 由由 2k 2 2x 6 2k 2 ， 解得解得 2k 3 2x2k2 3 ，kZ， 即即 k 6 xk 3 ，kZ. 函数的增区间为函数的增区间为 k 6 ，k 3 ，kZ. 2已知函数已知函数 f(x)sin(x)cos(x2)，其中其中 R， 2 ， 2 . (1)当当 2， 4 时时，求求 f(x)在区间在区间0，上的最大值与最上的最大值与最 小值；小值； 19 (2)若若 f

30、 2 0，f()1，求求 ，的值的值 解：解： (1)f(x)sin x 4 2cos x 2 2 2 (sin xcos x) 2sin x 2 2 cos x 2 2 sin xsin 4 x . 因为因为 x0，所以所以 4 x 3 4 ， 4 . 故故 f(x)在在0，上的最大值为上的最大值为 2 2 ，最小值为最小值为1. (2)由由 f 2 0， f（）1， 得得 cos （12 sin ）0， 2 sin2sin 1. 由由 2 ， 2 ，知知 cos 0，解得解得 1， 6 . 3在在ABC 中中，内角内角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 ，b，c，且且 c.已知已知BA

31、 BC 2，cos B1 3， ，b3.求：求： (1) 和和 c 的值；的值； (2)cos(BC)的值的值 解：解：(1)由由BA BC 2，得得 c cos B2. 又又 cos B1 3， ，所以所以 c6. 由余弦定理由余弦定理，得得 2c2b22 ccos B. 又又 b3，所以所以 2c29261 3 13. 20 解解 c6， 2c213得 得 2，c3 或或 3，c2. 因为因为 c，所以所以 3，c2. (2)在在ABC 中中， sin B 1cos2 B1 1 3 2 2 2 3 . 由正弦定理由正弦定理，得得 sin Cc bsin B 2 3 2 2 3 4 2 9

32、. 因为因为 bc，所以所以 C 为锐角为锐角，因此因此 cos C1sin2C 1 4 2 9 2 7 9. 于是于是 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C1 3 7 9 2 2 3 4 2 9 23 27. 21 5已知函数已知函数 f(x)sin 3x 4 . (1)求求 f(x)的单调递增区间；的单调递增区间； (2)若若 是第二象限角是第二象限角，f 3 4 5cos 4 cos 2，求求 cos sin 的值的值 解 ：解 ： (1) 因 为 函 数因 为 函 数y sin x的 单 调 递 增 区 间 为的 单 调 递 增 区 间 为 2 2k， 2 2k ，k

33、Z， 22 由由 2 2k3x 4 2 2k，kZ， 得得 4 2k 3 x 12 2k 3 ，kZ. 所以所以，函数函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 4 2k 3 ， 12 2k 3 ，kZ. (2)由已知由已知，有有 sin 4 4 5cos 4 (cos2sin2)， 所以所以 sin cos 4 cos sin 4 4 5 cos cos 4 sin sin 4 (cos2sin2)， 即即 sin cos 4 5(cos sin )2(sin cos ) 当当 sin cos 0 时时， 由由 是第二象限角是第二象限角，知知 3 4 2k，kZ. 此时此时，cos si

34、n 2. 当当 sin cos 0 时时，有有(cos sin )25 4. 由由 是第二象限角是第二象限角，知知 cos sin 0， 此时此时 cos sin 5 2 . 综上所述综上所述，cos sin 2或或 5 2 . 6已知向量已知向量 (cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x 2sin ，cos x2cos )，其中其中 0x. 23 (1)若若 4 ，求函数求函数 f(x)b c 的最小值及相应的最小值及相应 x 的值；的值； (2)若若 与与 b 的夹角为的夹角为 3 ，且且 c，求求 tan 2的值的值 解：解： (1)b(cos x， sin x)， c(sin x2sin ， cos x2cos )， 4 ， f(x)b ccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x 2(sin xcos x) 令令 tsin xcos x 4 x ， 则则 2sin xcos xt21，且且1t 2. 则则 yt2 2t1 t 2 2 2 3 2， ，1t 2， t 2 2 时时，ymin3 2， ，此时此时 sin xcos x 2 2