第5节　垂直关系 (2).doc

1、第第 5 节节 垂直关系垂直关系 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面 垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间 图形的垂直关系的简单命题. 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面 垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直， 那么该直 线与此平面垂直(线线垂直线 面垂直) la lb abO a b l 性质 定理 如果两条直线同垂直于一个平 面，那么

2、这两条直线平行 a b ab 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线， 那么这两个平面垂 l l 直 性质 定理 如果两个平面互相垂直， 那么在 一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面 a la l l 常用结论与微点提醒 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面， 则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线 垂直的一个重要方

3、法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于 平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 3.线线、线面、面面垂直间的转化 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ) (4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( ) 解析 (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则有 l 或 l 与 斜交或 l 或 l，故(1)错误. (2)垂直于同一个平面的两

4、个平面平行或相交，故(2)错误. (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另 一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误. (4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的所有直线，则 ，故(4)错误. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(教材习题改编)下列命题中不正确的是( ) A.如果平面 平面 ，且直线 l平面 ，则直线 l平面 B.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么 l 解析 根据面面垂直的性质，A

5、 不正确，直线 l平面 或 l 或直线 l 与 相 交. 答案 A 3.(2018 湖南六校联考)已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平 面，下面给出的条件中一定能推出 m 的是( ) A. 且 m B.mn 且 n C.mn 且 n D.mn 且 解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C 正确. 答案 C 4.(2017 全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则( ) A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC 解析 如图，由题设知，A1B1平面 BCC1B1且 BC1平面 BCC1B1，从而 A1

6、B1BC1. 又 B1CBC1，且 A1B1B1CB1，所以 BC1平面 A1B1CD，又 A1E平面 A1B1CD，所以 A1EBC1. 答案 C 5.边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则折叠后 AC 的长为 _. 解析 如图所示，取 BD 的中点 O，连接 AO，CO，则AOC 是二面角 ABDC 的平面角， 即AOC90 . 又 AOCO 2 2 a， AC a2 2 a 2 2 a，即折叠后 AC 的长(AC)为 a. 答案 a 考点一 线面垂直的判定与性质 【例 1】 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD， ABC60 ，

7、PAABBC，E 是 PC 的中点.证明： (1)CDAE； (2)PD平面 ABE. 证明 (1)在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD， 又ACCD，且 PAACA， CD平面 PAC.而 AE平面 PAC，CDAE. (2)由 PAABBC，ABC60 ，可得 ACPA. E 是 PC 的中点，AEPC. 由(1)知 AECD，且 PCCDC， AE平面 PCD.而 PD平面 PCD，AEPD. PA底面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB. 又ABAD，且 PAADA， AB平面 PAD，而 PD平面 PAD，ABPD. 又ABAEA，PD平面

8、 ABE. 规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a ，a)；(4)面面垂直的性质(，a，la，ll). 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质. 因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 【训练 1】 如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB 上一点，且 AD 1 3DB，点 C 为圆 O 上一点，且 BC 3AC，PD平面 ABC，PDDB. 求证：PACD. 证明 因为 AB 为圆 O 的直径，所以 ACCB. 在 RtABC

9、中，由 3ACBC 得，ABC30 . 设 AD1，由 3ADDB 得，DB3，BC2 3. 由余弦定理得 CD2DB2BC22DB BCcos 30 3， 所以 CD2DB2BC2，即 CDAB. 因为 PD平面 ABC，CD平面 ABC， 所以 PDCD，由 PDABD 得，CD平面 PAB， 又 PA平面 PAB，所以 PACD. 考点二 面面垂直的判定与性质 【例 2】 如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ABAD，CD 2AB，平面 PAD底面 ABCD，PAAD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证： (1)PA底面 ABCD； (2)BE平面 PAD； (3)平

10、面 BEF平面 PCD. 证明 (1)平面 PAD底面 ABCD， 且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，PA平面 PAD， PA底面 ABCD. (2)ABCD，CD2AB，E 为 CD 的中点， ABDE，且 ABDE. 四边形 ABED 为平行四边形. BEAD. 又BE平面 PAD，AD平面 PAD， BE平面 PAD. (3)ABAD，而且 ABED 为平行四边形. BECD，ADCD， 由(1)知 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD， PACD，且 PAADA，PA，AD平面 PAD， CD平面 PAD，又 PD平面 PAD， CDPD. E 和 F 分别是 CD 和 PC

11、的中点， PDEF. CDEF，又 BECD 且 EFBEE， CD平面 BEF，又 CD平面 PCD， 平面 BEF平面 PCD. 规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判 定定理. 2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线， 转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 【训练 2】 (2017 北京卷)如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，AB BC，PAABBC2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点. (1)求证：PABD； (2)求证：平面 BDE平面 PAC； (3)当 PA平面 BD

12、E 时，求三棱锥 EBCD 的体积. (1)证明 PAAB，PABC， AB平面 ABC，BC平面 ABC，且 ABBCB， PA平面 ABC，又 BD平面 ABC，PABD. (2)证明 ABBC，D 是 AC 的中点， BDAC. 由(1)知 PA平面 ABC，PA平面 PAC， 平面 PAC平面 ABC. 平面 PAC平面 ABCAC，BD平面 ABC，BDAC，BD平面 PAC. BD平面 BDE，平面 BDE平面 PAC， (3)解 PA平面 BDE， 又平面 BDE平面 PACDE， PA平面 PAC，PADE. 由(1)知 PA平面 ABC，DE平面 ABC. D 是 AC 的中

13、点，E 为 PC 的中点， DE1 2PA1. D 是 AC 的中点， SBCD1 2SABC 1 2 1 2 2 21， VEBCD1 3 SBCD DE 1 3 1 1 1 3. 考点三 平行与垂直的综合问题(多维探究) 命题角度 1 多面体中平行与垂直关系的证明 【例 31】 (2017 山东卷)由四棱柱 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后 得到的几何体如图所示.四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面 ABCD. (1)证明：A1O平面 B1CD1； (2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD

14、1. 证明 (1)取 B1D1的中点 O1，连接 CO1，A1O1， 由于 ABCDA1B1C1D1是四棱柱， 所以 A1O1OC，A1O1OC， 因此四边形 A1OCO1为平行四边形， 所以 A1OO1C， 又 O1C平面 B1CD1，A1O平面 B1CD1， 所以 A1O平面 B1CD1. (2)因为 ACBD，E，M 分别为 AD 和 OD 的中点， 所以 EMBD， 又 A1E平面 ABCD，BD平面 ABCD， 所以 A1EBD， 因为 B1D1BD，所以 EMB1D1，A1EB1D1， 又 A1E，EM平面 A1EM，A1EEME， 所以 B1D1平面 A1EM， 又 B1D1平面

15、 B1CD1， 所以平面 A1EM平面 B1CD1. 规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂 直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 命题角度 2 平行垂直中探索性问题 【例 32】 如图所示， 平面 ABCD平面 BCE， 四边形 ABCD 为矩形， BCCE， 点 F 为 CE 的中点. (1)证明：AE平面 BDF. (2)点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P，使得 PMBE？若存在， 确定点 P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. (1)证明 连接 AC 交 BD 于 O，

16、连接 OF，如图. 四边形 ABCD 是矩形，O 为 AC 的中点，又 F 为 EC 的中点， OF 为ACE 的中位线， OFAE，又 OF平面 BDF，AE平面 BDF， AE平面 BDF. (2)解 当 P 为 AE 中点时，有 PMBE， 证明如下：取 BE 中点 H，连接 DP，PH，CH，P 为 AE 的中点，H 为 BE 的中 点， PHAB，又 ABCD，PHCD，P，H，C，D 四点共面. 平面 ABCD平面 BCE，平面 ABCD平面 BCEBC，CD平面 ABCD，CD BC. CD平面 BCE，又 BE平面 BCE， CDBE，BCCE，H 为 BE 的中点，CHBE，

17、 又 CDCHC，BE平面 DPHC， 又 PM平面 DPHC， BEPM，即 PMBE. 规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出 条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分 性. 2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点 存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点. 命题角度 3 空间位置关系与几何体的度量计算 【例 33】 (2017 全国卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAP CDP90 . (1)证明：平面 PAB平面 PAD； (2)若 PAPDA

18、BDC，APD90 ，且四棱锥 PABCD 的体积为8 3，求该四 棱锥的侧面积. (1)证明 由已知BAPCDP90 ，得 ABPA，CDPD. 由于 ABCD，故 ABPD. 又 PAPDP，PA，PD平面 PAD，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所 以平面 PAB平面 PAD. (2)解 如图，在平面 PAD 内作 PEAD，垂足为 E. 由(1)知，AB平面 PAD，故 ABPE，又 ABADA，可得 PE 平面 ABCD. 设 ABx，则由已知可得 AD 2x，PE 2 2 x， 故四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD1 3AB AD PE 1 3x 3.由题设得1

19、 3x 38 3，故 x2. 从而结合已知可得 PAPDABDC2，ADBC2 2，PBPC2 2， 可得四棱锥 PABCD 的侧面积为 1 2PA PD 1 2PA AB 1 2PD DC 1 2BC 2sin 60 62 3. 规律方法 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由 ABCD，CDPD，从 而得 ABPD，进一步证明平面 PAB 中的 AB平面 PAD，再运用面面垂直的判 定定理得出平面 PAB平面 PAD. 2.第(2)问先由已知分别求出四棱锥各个侧面的底边长和高，再求出四棱锥的侧面 积.其中利用第(1)问的结论得出AB平面PAD， 从而进一步证明PE平面ABCD， 确定四

20、棱锥 PABCD 的高 PE，将空间论证与几何体的计算交汇渗透，这是命题 的方向. 【训练 3】 (2018 咸阳模拟)在如图所示的几何体中，四边形 CDEF 为正方形，四 边形 ABCD 为等腰梯形，ABCD，AC 3，AB2BC2，ACFB. (1)求证：AC平面 FBC. (2)求四面体 FBCD 的体积. (3)线段 AC 上是否存在点 M，使 EA平面 FDM？若存在，请说明其位置，并加 以证明；若不存在，请说明理由. (1)证明 在ABC 中，因为 AC 3，AB2，BC1， 所以 AC2BC2AB2，所以 ACBC. 又因为 ACFB，BCFBB，BC，FB平面 FBC， 所以

21、AC平面 FBC. (2)解 因为 AC平面 FBC，FC平面 FBC， 所以 ACFC. 因为 CDFC，ACCDC，所以 FC平面 ABCD. 在等腰梯形 ABCD 中可得 CBDC1，所以 FC1. 所以BCD 的面积为 S 3 4 . 所以四面体 FBCD 的体积为 VFBCD1 3S FC 3 12. (3)解 线段 AC 上存在点 M， 且点 M 为 AC 中点时， 有 EA平面 FDM.证明如下： 连接 CE，与 DF 交于点 N，取 AC 的中点 M，连接 MN. 因为四边形 CDEF 是正方形，所以点 N 为 CE 的中点. 所以 EAMN.因为 MN平面 FDM，EA平面

22、FDM， 所以 EA平面 FDM.所以线段 AC 上存在点 M，且 M 为 AC 的中点，使得 EA 平面 FDM 成立. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.(2016 浙江卷)已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m，n 满足 m， n，则( ) A.ml B.mn C.nl D.mn 解析 因为 l，所以 l，又 n，所以 nl，故选 C. 答案 C 2.(2018 福州质检)若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“lm”是“l” 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 m，若 l，则

23、必有 lm，即 llm. 但 lml，lm 时，l 可能在 内. 故“lm”是“l”的必要而不充分条件. 答案 B 3.(2018 衡水中学质检)如图，在四面体 ABCD 中，已知 ABAC，BDAC，那么 点 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在( ) A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.ABC 内部 解析 因 ABAC，BDAC，ABBDB，所以 AC平面 ABD. 又 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 ABD. 所以 D 在平面 ABC 内的射影必在交线 AB 上. 答案 A 4.(2018 广州一模)设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，

24、下列命 题中正确的是( ) A.若 ，m，n，则 mn B.若 m，mn，n，则 C.若 mn，m，n，则 D.若 ，m，n，则 mn 解析 若 ，m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； m，mn，n， 又n，故 B 正确； 若 mn，m，n，则 与 的位置关系不确定，故 C 错误； 若 ，m，n，则 mn 或 m，n 异面， 故 D 错误. 答案 B 5.如图，在三棱锥 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列 正确的是( ) A.平面 ABC平面 ABD B.平面 ABD平面 BDC C.平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC平面 BDE D.

25、平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC平面 BDE 解析 因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以 BEAC，同理有 DEAC，又 BEDEE， 于是 AC平面 BDE.因为 AC平面 ABC， 所以平面 ABC平面 BDE. 又 AC平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE，所以选 C. 答案 C 二、填空题 6.如图，已知 PA平面 ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_. 解析 PA平面 ABC，AB，AC，BC平面 ABC， PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC 为直角三角形.由 BCAC，且 ACPAA，BC平面 PAC，从而 BCPC，因此ABC，PBC

26、也是直角三角 形. 答案 4 7.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD(只要填写一个 你认为正确的条件即可). 解析 由定理可知，BDPC. 当 DMPC(或 BMPC)时，有 PC平面 MBD. 又 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD. 答案 DMPC(或 BMPC 等) 8.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则 AC1与平面 A1B1C1D1所成角的正弦值为_. 解析 连接 A1C1，则AC1A1为 AC1与平面 A1B1C1D1所成的角. 因

27、为 ABBC2，所以 A1C1AC2 2， 又 AA11，所以 AC13， 所以 sinAC1A1AA1 AC1 1 3. 答案 1 3 三、解答题 9.(2016 北京卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DC AC. (1)求证：DC平面 PAC； (2)求证：平面 PAB平面 PAC； (3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理 由. (1)证明 因为 PC平面 ABCD，DC平面 ABCD， 所以 PCDC. 又因为 ACDC，且 PCACC，所以 DC平面 PAC. (2)证明 因为 ABCD，DCAC，

28、所以 ABAC. 因为 PC平面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 PCAB. 又因为 PCACC，所以 AB平面 PAC. 又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAC. (3)解 棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF. 理由如下：取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF，又因为 E 为 AB 的中点，所以 EFPA.又因为 PA平面 CEF，且 EF平面 CEF， 所以 PA平面 CEF. 10.(2018 九江调研)如图，平面五边形 ABCDE 中，ABCE，且 AE2，AEC 60 ，CDED 7，cosEDC5 7.将CDE 沿 CE 折起，使点 D 移动到 P

29、 的位 置，且 AP 3，得到四棱锥 PABCE. (1)求证：AP平面 ABCE； (2)记平面 PAB 与平面 PCE 相交于直线 l，求证：ABl. 证明 (1)在CDE 中， CDED 7，cosEDC5 7， 由余弦定理，CE2( 7)2( 7)22 7 7 5 74， CE2. 连接 AC，AE2，AEC60 ，AC2. 又AP 3，PEDE 7，在PAE 中，PA2AE2PE2， 即 APAE，同理 APAC， 又 AC，AE平面 ABCE，ACAEA， 故 AP平面 ABCE. (2)ABCE，且 CE平面 PCE，AB平面 PCE， AB平面 PCE. 又平面 PAB平面 P

30、CEl，ABl. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2018 唐山一模)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C， D 三点重合，重合后的点记为 H，那么在这个空间图形中必有( ) A.AG平面 EFH B.AH平面 EFH C.HF平面 AEF D.HG平面 AEF 解析 根据折叠前、后 AHHE，AHHF 不变，又 HEHFH，AH平面 EFH，B 正确. 过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，A 不正确. AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面 HAG

31、，又 EF平面 AEF， 平面 HAG平面 AEF，过 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面 HAG 内，C 不正确. 由条件证不出 HG平面 AEF，D 不正确. 答案 B 12.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45 ，BAD90 ， 将ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 ABCD，则在三棱 锥 ABCD 中，下列命题正确的命题序号是_. 平面 ABD平面 ABC；平面 ADC平面 BDC； 平面 ABC平面 BDC；平面 ADC平面 ABC. 解析 因为在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB， BCD45 ，BAD90 ，所以 B

32、DCD， 又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCDBD，CD平面 BCD， 所以 CD平面 ABD，又 AB平面 ABD，则 CDAB， 又 ADAB，ADCDD， 所以 AB平面 ADC，又 AB平面 ABC， 所以平面 ABC平面 ADC. 答案 13.(2016 四川卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，PACD，ADBC，ADC PAB90 ，BCCD1 2AD. (1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并说明理由； (2)证明：平面 PAB平面 PBD. (1)解 取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD)，点 M 即为所求的一 个点，理由如下： 因

33、为 ADBC，BC1 2AD.所以 BCAM，且 BCAM. 所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CMAB. 又 AB平面 PAB.CM平面 PAB. 所以 CM平面 PAB. (说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) (2)证明 由已知，PAAB，PACD. 因为 ADBC，BC1 2AD， 所以直线 AB 与 CD 相交，所以 PA平面 ABCD. 又 BD平面 ABCD，从而 PABD. 因为 ADBC，BC1 2AD， M 为 AD 的中点，连接 BM， 所以 BCMD，且 BCMD. 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BMCD1 2AD，所以 BDAB. 又 ABAPA，所以 BD平面 PAB. 又 BD平面 PBD， 所以平面 PAB平面 PBD.