2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：28 锐角三角函数与特殊角.doc

1、 1 / 23 锐角三角函数与特殊角锐角三角函数与特殊角 一、选择题一、选择题 1.（2014 年广东汕尾，第 7 题 4 分）在 RtABC 中，C=90 ，若 sinA= ，则 cosB 的值是 （ ） A B C D 分析：根据互余两角的三角函数关系进行解答 解：C=90 ，A+B=90 ，cosB=sinA，sinA= ，cosB= 故选 B 点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键 2.（2014毕节地区，第 15 题 3 分）如图是以ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在 半圆上，过 C 作 CDAB 交 AB 于 D已知 cosACD= ，BC

2、=4，则 AC 的长为（ ） A 1 B C 3 D 考点： 圆周角定理；解直角三角形 分析：来源:学 科网 ZXXK 由以ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过 C 作 CDAB 交 AB 于 D易得ACD=B，又由 cosACD= ， BC=4，即可求得答案 解答： 解：AB 为直径， ACB=90 ， ACD+BCD=90 ， CDAB， BCD+B=90 ， B=ACD， 2 / 23 cosACD= ， cosB= ， tanB= ， BC=4， tanB= ， AC= 故选 D来源:Z*xx*k.Com 点评： 此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质此题难度

3、适中，注 意掌握数形结合思想的应用 3(2014 年天津市，第 2 题 3 分)cos60 的值等于（ ） A B C D 考点： 特殊角的三角函数值 分析： 根据特殊角的三角函数值解题即可 解答： 解：cos60 = 故选 A 点评： 本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键 4 （2014四川自贡，第 10 题 4 分）如图，在半径为 1 的O 中，AOB=45 ，则 sinC 的 值为（ ） A B C D 3 / 23 来 源: Zxx k.C om 考点： 来源: 学_科 _网 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义 专题： 压轴题 分析： 首先过点 A 作 A

4、DOB 于点 D，由在 RtAOD 中，AOB=45 ，可求得 AD 与 OD 的长，继而可得 BD 的长，然后由勾股定理求得 AB 的长，继而可求得 sinC 的值 解答： 解：过点 A 作 ADOB 于点 D， 在 RtAOD 中，AOB=45 ， OD=AD=OAcos45 = 1=，来源:学#科#网 BD=OBOD=1， AB=， AC 是O 的直径， ABC=90 ，AC=2， sinC= 故选 B 点评： 此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的 4 / 23 作法，注意数形结合思想的应用 5 （2014浙江湖州，第 6 题 3 分）如图，已知 Rt

5、ABC 中，C=90 ，AC=4，tanA= ，则 BC 的长是（ ） A2 B 8 C 2 D 4 分析：根据锐角三角函数定义得出 tanA=，代入求出即可 解：tanA= =，AC=4，BC=2，故选 A 点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在 RtACB 中， C=90 ，sinA=，cosA=，tanA= 6 （2014 浙江金华，第 6 题 4 分）如图，点 A（t，3）在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角 为 3 ,tan 2 ，则 t 的值是【 】 A1 B1.5 C2 D3 【答案】C 【解析】 5 / 23 7. （2014滨州， 第 11 题 3 分） 在 Rt

6、ACB 中， C=90 ， AB=10， sinA= ， cosA= ， tanA= ， 则 BC 的长为（ ） A 6 B 来 源: 学_ 科_ 网 7.5 C 8 D 12.5 考点： 解直角三角形 分析： 根据三角函数的定义来解决，由 sinA= ，得到 BC= 解答： 解：C=90 AB=10， sinA=， BC=AB =10 =6 故选 A 点评： 本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在 RtACB 中，C=90 ，则 sinA=，cosA=，tanA= 8.（2014扬州，第 7 题，3 分）如图，已知AOB=60 ，点 P 在边 OA 上，OP=12，点 M， N 在

7、边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，则 OM=（ ） 6 / 23 A 3 B 4 C 5 D 6 （第 1 题图） 考点： 含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质 分析： 过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D，在直角三角形 POD 中，利用锐角三角函数定义求 出 OD 的长，再由 PM=PN，利用三线合一得到 D 为 MN 中点，根据 MN 求出 MD 的 长，由 ODMD 即可求出 OM 的长 解答： 解：过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D， 在 RtOPD 中，cos60 = ，OP=12， OD=6， PM=PN，PDMN，MN=2， MD=ND= MN=1， OM

8、=ODMD=61=5 故选 C 点评： 此题考查了含 30 度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的 性质是解本题的关键 二二.填空题填空题 1. （ 2014广西贺州，第 18 题 3 分）网格中的每个小正方形的边长都是 1，ABC 每个顶 点都在网格的交点处，则 sinA= 7 / 23 考点： 锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理 分析： 根据正弦是角的对边比斜边，可得答案 解答： 解：如图，作 ADBC 于 D，CEAB 于 E， 由勾股定理得 AB=AC=2，BC=2，AD=3， 由 BCAD=ABCE， 即 CE=， sinA=， 故答案为： 点评： 本题考

9、查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边， 余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 2. （ 2014广西玉林市、 防城港市， 第 16 题 3 分） 如图， 直线 MN 与O 相切于点 M， ME=EF 且 EFMN，则 cosE= 考点： 切线的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值 专题： 计算题 分析： 来 连结 OM，OM 的反向延长线交 EF 与 C，由直线 MN 与O 相切于点 M，根据切线 的性质得 OMMF，而 EFMN，根据平行线的性质得到 MCEF，于是根据垂径定 8 / 23 源:Zx xk.Co m 理有 CE=CF，再利用等腰三角形的

10、判定得到 ME=MF，易证得MEF 为等边三角形， 所以E=60 ，然后根据特殊角的三角函数值求解 解答： 解：连结 OM，OM 的反向延长线交 EF 与 C，如图， 直线 MN 与O 相切于点 M， OMMF， EFMN， MCEF， CE=CF， ME=MF， 而 ME=EF， ME=EF=MF， MEF 为等边三角形， E=60 ， cosE=cos60 = 故答案为 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了垂径定理、等边 三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值 3 （2014温州，第 14 题 5 分）如图，在ABC 中，C=90 ，AC=2，BC=1，则 t

11、anA 的值 是 9 / 23 考点： 锐角三角函数的定义 分析： 根据锐角三角函数的定义（tanA= ）求出即可 解答： 解：tanA= = ， 故答案为： 点评： 本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在 RtACB 中，C=90 ， sinA=，cosA=，tanA= 4. （2014株洲，第 13 题，3 分）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离 500 米处，看塔顶的 仰角为 20 （不考虑身高因素） ，则此塔高约为 182 米（结果保留整数，参考数据： sin200.3420，sin700.9397，tan200.3640，tan702.7475） （第 1 题图） 考点： 解直角三

12、角形的应用-仰角俯角问题 分析： 作出图形，可得 AB=500 米，A=20 ，在 RtABC 中，利用三角函数即可求得 BC 的长度 解答： 解：在 RtABC 中， AB=500 米，BAC=20 ， =tan20 ， BC=ACtan20 =500 0.3640=182（米） 故答案为：182 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求 解 三三.解答题解答题 1. （2014湘潭，第 25 题） ABC 为等边三角形，边长为 a，DFAB，EFAC， 10 / 23 （1）求证：BDFCEF； （2）若 a=4，设 BF=m，四边形 ADFE 面

13、积为 S，求出 S 与 m 之间的函数关系，并探究当 m 为何值时 S 取最大值； （3）已知 A、D、F、E 四点共圆，已知 tanEDF=，求此圆直径 （第 1 题图） 考点： 相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形 分析： （1）只需找到两组对应角相等即可 （2）四边形 ADFE 面积 S 可以看成ADF 与AEF 的面积之和，借助三角函数用 m 表 示出 AD、DF、AE、EF 的长，进而可以用含 m 的代数式表示 S，然后通过配方，转化为 二次函数的最值问题，就可以解决问题 （3）易知 AF 就是圆的直径，利用圆周角定理将EDF 转化为EAF在AFC

14、 中，知 道 tanEAF、C、AC，通过解直角三角形就可求出 AF 长 解答： 解： （1）DFAB，EFAC，来源:163文库 ZXXK BDF=CEF=90 ABC 为等边三角形， B=C=60 BDF=CEF，B=C， BDFCEF （2）BDF=90 ，B=60 ， sin60 =，cos60 = BF=m， DF=m，BD= AB=4， AD=4 11 / 23 SADF=ADDF= （4）m=m2+m 同理：SAEF=AEEF = （4）（4m） =m2+2 S=SADF+SAEF=m2+m+2=（m24m8） =（m2）2+3其中 0m4 0，024， 当 m=2 时，S 取最

15、大值，最大值为 3 S 与 m 之间的函数关系为： S（m2）2+3（其中 0m4） 当 m=2 时，S 取到最大值，最大值为 3 （3）如图 2， A、D、F、E 四点共圆， EDF=EAF ADF=AEF=90 ， AF 是此圆的直径 tanEDF=， tanEAF= = C=60 ， =tan60 = 设 EC=x，则 EF=x，EA=2x AC=a， 2x+x=A 12 / 23 x= EF=，AE= AEF=90 ， AF= 此圆直径长为 点评： 本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定 理、等边三角形的性质等知识，综合性强利用圆周角定理将条件中的

16、圆周角转化到合 适的位置是解决最后一小题的关键 2. （2014益阳，第 18 题，8 分）“中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况， 计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端位于 A、B 两点，小 张为了测量 A、B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据： BAD=76.1 ，BCA=68.2 ，CD=82 米求 AB 的长（精确到 0.1 米） 参考数据： sin76.10.97，cos76.10.24，tan76.14.0； sin68.20.93，cos68.20.37，tan68.22.5 （第 2 题图） 13 / 23 考

17、点： 解直角三角形的应用 分析： 设 AD=x 米，则 AC=（x+82）米在 RtABC 中，根据三角函数得到 AB=2.5（x+82） ， 在 RtABD 中， 根据三角函数得到 AB=4x， 依此得到关于 x 的方程， 进一步即可求解 解答： 解：设 AD=x 米，则 AC=（x+82）米 在 RtABC 中，tanBCA=， AB=ACtanBCA=2.5（x+82） 在 RtABD 中，tanBDA=， AB=ADtanBDA=4x 2.5（x+82）=4x， 解得 x= AB=4x=4546.7 答：AB 的长约为 546.7 米 点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函

18、数的基本概念及运算，关键是用数学 知识解决实际问题 3.（2014株洲，第 17 题，4 分）计算：+（3）0tan45 考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 分析： 原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊 角的三角函数值计算即可得到结果 解答： 解：原式=4+11=4 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 4.（2014 年江苏南京，第 23 题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为 O）的墙上，当梯 子位于 AB 位置时，它与地面所成的角ABO=60 ；当梯子底端向右滑动 1m（即 BD=1m） 到达 CD 位置时，它与

19、地面所成的角CDO=5118，求梯子的长 （参考数据：sin51180.780，cos51180.625， tan51181.248） 14 / 23 （第 4 题图） 考点：解直角三角形的应用 分析：设梯子的长为 xm在 RtABO 中，根据三角函数得到 OB，在 RtCDO 中，根 据三角函数得到 OD，再根据 BD=ODOB，得到关于 x 的方程，解方程即可求解 解答：设梯子的长为 xm 在 RtABO 中，cosABO=，OB=ABcosABO=xcos60 = x 在 RtCDO 中，cosCDO=，OD=CDcosCDO=xcos51180.625x BD=ODOB，0.625x

20、x=1，解得 x=8故梯子的长是 8 米 点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实 际问题转化为数学问题加以计算 5. （2014泰州， 16题， 3分） 如图， 正方向ABCD的边长为3cm， E为CD边上一点， DAE=30 ， M 为 AE 的中点，过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q若 PQ=AE，则 AP 等于 1 或 2 cm （第 5 题图） 考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形 分析： 根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N，由 ABCD 为正方形，得到 AD=DC=PN，在直角三角形

21、 ADE 中，利用锐角三角函数定义求出 DE 的长，进而利 用勾股定理求出 AE 的长， 根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长， 利用 HL 得到三角形 ADE 15 / 23 与三角形 PQN 全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到 DE=NQ， DAE=NPQ=30 ，再由 PN 与 DC 平行，得到PFA=DEA=60 ，进而得到 PM 垂 直于 AE，在直角三角形 APM 中，根据 AM 的长，利用锐角三角函数定义求出 AP 的 长，再利用对称性确定出 AP的长即可 解答： 解：根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N， 四边形 ABCD 为正方形， AD=D

22、C=PN， 在 RtADE 中，DAE=30 ，AD=3cm， tan30 =，即 DE=cm， 根据勾股定理得：AE=2cm， M 为 AE 的中点， AM= AE=cm， 在 RtADE 和 RtPNQ 中， ， RtADERtPNQ（HL） ， DE=NQ，DAE=NPQ=30 ， PNDC， PFA=DEA=60 ， PMF=90 ，即 PMAF， 在 RtAMP 中，MAP=30 ，cos30 =， AP=2cm； 由对称性得到 AP=DP=ADAP=32=1cm， 综上，AP 等于 1cm 或 2cm 故答案为：1 或 2 16 / 23 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，

23、正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与 性质是解本题的关键 6. （2014泰州，第 22 题，10 分）图、分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已 知踏板 CD 长为 1.6m，CD 与地面 DE 的夹角CDE 为 12 ，支架 AC 长为 0.8m，ACD 为 80 ，求跑步机手柄的一端 A 的高度 h（精确到 0.1m） （参考数据：sin12 =cos780.21，sin68 =cos220.93，tan682.48） （第 6 题图） 考点： 解直角三角形的应用 分析： 过C点作FGAB于F， 交DE于G 在RtACF中， 根据三角函数可求CF， 在RtCDG 中，根据三角函数可

24、求 CG，再根据 FG=FC+CG 即可求解 解答： 解：过 C 点作 FGAB 于 F，交 DE 于 G CD 与地面 DE 的夹角CDE 为 12 ，ACD 为 80 ， ACF=90 +12 80 =22 ， CAF=68 ， 在 RtACF 中，CF=ACsinCAF0.744m， 在 RtCDG 中，CG=CDsinCDE0.336m， FG=FC+CG1.1m 故跑步机手柄的一端 A 的高度约为 1.1m 17 / 23 点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学 知识解决实际问题 7. （ 2014福建泉州，第 26 题 14 分）如图，直

25、线 y=x+3 与 x，y 轴分别交于点 A，B，与 反比例函数的图象交于点 P（2，1） （1）求该反比例函数的关系式； （2）设 PCy 轴于点 C，点 A 关于 y 轴的对称点为 A； 求ABC 的周长和 sinBAC 的值； 对大于 1 的常数 m，求 x 轴上的点 M 的坐标，使得 sinBMC= 考点： 反比例函数综合题； 待定系数法求反比例函数解析式； 勾股定理； 矩形的判定与性质； 垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义 专题： 压轴题；探究型 分析： （1）设反比例函数的关系式 y= ，然后把点 P 的坐标（2，1）代入即可 （2）先求出直线 y=x+3 与 x、y

26、 轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出ABC 的周长； 过点C作CDAB， 垂足为D， 运用面积法可以求出CD长， 从而求出sinBAC 的值 由于 BC=2，sinBMC= ，因此点 M 在以 BC 为弦，半径为 m 的E 上，因而点 M 应是E 与 x 轴的交点然后对E 与 x 轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的 判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点 M 的坐标 18 / 23 解答： 解： （1）设反比例函数的关系式 y= 点 P（2，1）在反比例函数 y= 的图象上， k=2 1=2 反比例函数的关系式 y= （2）过点 C 作 CDAB，垂足为 D，如图 1 所示 当 x

27、=0 时，y=0+3=3， 则点 B 的坐标为（0，3） OB=3 当 y=0 时，0=x+3，解得 x=3， 则点 A 的坐标为（3，0） ，OA=3 点 A 关于 y 轴的对称点为 A， OA=OA=3 PCy 轴，点 P（2，1） ， OC=1，PC=2 BC=2 AOB=90 ，OA=OB=3，OC=1， AB=3，AC= ABC 的周长为 3+2 SABC= BCAO= ABCD， BCAO=ABCD 2 3=3 CD CD= CDAB， sinBAC= ABC 的周长为 3+2，sinBAC 的值为 当 1m2 时， 作经过点 B、C 且半径为 m 的E， 连接 CE 并延长，交E

28、 于点 P，连接 BP， 19 / 23 过点 E 作 EGOB，垂足为 G， 过点 E 作 EHx 轴，垂足为 H，如图 2所示 CP 是E 的直径， PBC=90 sinBPC= sinBMC= ， BMC=BPC 点 M 在E 上 点 M 在 x 轴上来源:163文库 ZXXK 点 M 是E 与 x 轴的交点 EGBC， BG=GC=1 OG=2 EHO=GOH=OGE=90 ， 四边形 OGEH 是矩形 EH=OG=2，EG=OH 1m2， EHEC E 与 x 轴相离 x 轴上不存在点 M，使得 sinBMC= 当 m=2 时，EH=EC E 与 x 轴相切 切点在 x 轴的正半轴上

29、时，如图 2所示 点 M 与点 H 重合 EGOG，GC=1，EC=m， EG= OM=OH=EG= 点 M 的坐标为（，0） 20 / 23 切点在 x 轴的负半轴上时， 同理可得：点 M 的坐标为（，0） 当 m2 时，EHEC E 与 x 轴相交 交点在 x 轴的正半轴上时， 设交点为 M、M，连接 EM，如图 2所示 EHM=90 ，EM=m，EH=2， MH= EHMM， MH=MH MH EGC=90 ，GC=1，EC=m， EG= OH=EG= OM=OHMH=， OM=OH+HM=+， M（，0） 、M（+，0） 交点在 x 轴的负半轴上时， 同理可得：M（+，0） 、M（，0

30、） 综上所述：当 1m2 时，满足要求的点 M 不存在； 当 m=2 时，满足要求的点 M 的坐标为（，0）和（，0） ； 当 m2 时，满足要求的点 M 的坐标为（，0） 、 （+， 0） 、 （+， 0） 、 （， 0） 21 / 23 点评： 本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形 的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的 高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大由 BC=2， sinBMC= 联想到点 M 在以 BC 为弦，半径为 m 的E 上是解决本题的关键 8.（2014襄阳，第 15 题

31、3 分）如图，在建筑平台 CD 的顶部 C 处，测得大树 AB 的顶部 A 的仰角为 45 ，测得大树 AB 的底部 B 的俯角为 30 ，已知平台 CD 的高度为 5m，则大树的 高度为 （5+5） m（结果保留根号） 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 22 / 23 分析： 作 CEAB 于点 E，则BCE 和BCD 都是直角三角形，即可求得 CE，BE 的长，然 后在 RtACE 中利用三角函数求得 AE 的长，进而求得 AB 的长，即为大树的高度 解答： 解：作 CEAB 于点 E， 在 RtBCE 中， BE=CD=5m， CE=5m， 在 RtACE 中， AE=CEtan

32、45 =5m， AB=BE+AE=（5+5）m 故答案为： （5+5） 点评： 本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题的应用， 要求学生能借助仰角构造直角 三角形并解直角三角形 9.（2014邵阳，第 24 题 8 分）一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60 的方向出港观光，航行 80 海里至 C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警 船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东 37 方向，马上以 40 海里每小时的速度前往救 援，求海警船到大事故船 C 处所需的大约时间（温馨提示：sin530.8，cos530.6） 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题 23

33、/ 23 分析： 过点 C 作 CDAB 交 AB 延长线于 D 先解 RtACD 得出 CD= AC=40 海 里，再解 RtCBD 中，得出 BC=50，然后根据时间=路程 速 度即可求出海警船到大事故船 C 处所需的时间 解答： 解：如图，过点 C 作 CDAB 交 AB 延长线于 D 在 RtACD 中， ADC=90 ， CAD=30 ， AC=80 海里， 来源:163文库 CD= AC=40 海里 在 RtCBD 中，CDB=90 ，CBD=90 37 =53 ， BC=50（海里）， 海警船到大事故船 C 处所需的时间大约为：50 40= （小时） 点评： 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构 造直角三角形是解题的关键