第2章-静电场与恒定电场-电磁场电磁波课件.ppt

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 12022-5-19第二章第二章 静电场与恒定电场静电场与恒定电场1. 电场强度电场强度2. 电电 位位3. 静电场中的物体静电场中的物体4. 高斯定理高斯定理5. 静电场的边界条件静电场的边界条件6. 泊松方程与拉氏方程泊松方程与拉氏方程7. 电电 容容8. 静电场的能量静电场的能量9. 恒定电场恒定电场主主 要要 内内 容容电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 22022-5-19静静 电电 场场 相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。l 本章任务： 阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或

2、电位的情况下求解电场的各种计算方法，或者反之。l 静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。l 静电场知识结构框图电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 32022-5-19一、一、库仑定律库仑定律2.1 2.1 库仑定律与电场强度库仑定律与电场强度 N( ( 牛顿牛顿) )适用条件适用条件: : 两个点电荷之间的相互作用力; 无限大真空情况(式中1290108583610.F/m);可推广到无限大各向同性均匀介质中0() 库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明: 在真空中两个静止的点电荷 与 之间的相互

3、作用力为:2q1q图图2.1-12.1-1 两点电荷间的作用力两点电荷间的作用力1212204Rq qFeR2112FF 库仑力遵守牛顿第三定律电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 42022-5-19电电 荷荷电电 场场电电 荷荷场是一种特殊形态的物质实物实物物物 质质 场场二、二、静电场基本物理量静电场基本物理量电场强度电场强度 实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，但其相互作用究竟是怎样实现的？1. 1. 静电场静电场电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 52022-5-19Q0q2.2.电场强度的定义电场强度的定义 电场中某点处的电

4、场强度 等于位于该点处的单位试验电荷所受的力，其方向为正电荷受力方向.EEqF 电荷 在电场中受力 qF（试验电荷为点电荷、且足够小,故对原电场几乎无影响）：场源电荷Q0q：试验电荷000( )( )limqF rrqV/m (N/C)电场强度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 62022-5-19QReRQqFE200 43.3.点电荷的电场强度点电荷的电场强度0qREEQRQ0qEQE?0ER电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 72022-5-19xyzRrrxx eyy ezz e222Rxxyyzz 路径矢量R的单位矢量为：注意注意R

5、ReR 公式中路径矢量R为： 习惯上，将场源电荷Q Q所在位置称为“源点”，用坐标 来表示；而将实验电荷q。所在位置称为“场点”，用坐标 来表示。),(zyx),(zyx图图2.1-22.1-2 点电荷的电场点电荷的电场电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 82022-5-191q2q3q4.4.电场强度的叠加原理电场强度的叠加原理0q1R1F2R3R2F3F0q由力的叠加原理得 所受合力 iiFF点电荷 对 的作用力 iiiiRRqqF300 40qiq故 处总电场强度 iiqFqFE000qiiEE电场强度的叠加原理(注意注意:是矢量叠加是矢量叠加)电磁场与电磁波电

6、磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 92022-5-19V204RdqdEeR5.5.电荷连续分布情况电荷连续分布情况204ReEdEdqR电荷体密度VqddqdEdRPVRVReEd420体电荷的电场强度a) 体电荷产生的电场强度体电荷产生的电场强度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 102022-5-19sPsd电荷面密度sqsddsReESRsd420lld电荷线密度lqlddlReElRld420Pb) 面电荷产生的电场强度面电荷产生的电场强度c) 线电荷产生的电场强度线电荷产生的电场强度EdREdR电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大

7、学Page 112022-5-19 电场强度电场强度 的矢量积分一般先转化为标量积分的矢量积分一般先转化为标量积分, , 然后然后 再合成再合成, ,即即( , , )x y zExxyyzzEEEEeee 点电荷的数学模型点电荷的数学模型 积分是对源点积分是对源点 进行的进行的, ,计算结果是场点计算结果是场点 的函数。的函数。) , , (zyx),(zyx 点电荷是电荷体分布的极限情况点电荷是电荷体分布的极限情况, ,可以把它看成是一个体积可以把它看成是一个体积很小很小, ,电荷密度很大，总电量不变的带电小球体。电荷密度很大，总电量不变的带电小球体。 当当 时，电荷密度趋近于无穷大，时，

8、电荷密度趋近于无穷大，通常用冲击函数通常用冲击函数 表示点电荷的密度表示点电荷的密度函数。函数。0a( )r0r当当0r当当0( )1Vr dV)0(点点包包含含积积分分区区域域rV图图2.12.15 5 单位点电荷的密度分布单位点电荷的密度分布点电荷的密度点电荷的密度( )( )rr电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 122022-5-19xqyxzoPaRReRlE20l4ddEEd由对称性有由对称性有xxeEE解解:a例例2.1-12.1-1 正电荷正电荷 均匀分布在半径为均匀分布在半径为 的圆环上的圆环上. .计算在环的轴线上任一点计算在环的轴线上任一点 的电

9、场强度的电场强度. .qPlqldd)2(laq电场强度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 132022-5-19xqyxzoaRlqlddReRlE20l4ddP)2(laqRxRl dEEEllxll204cosddalRlx20304d23220)(4axqxxeaxqxE23220)(4电场强度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 142022-5-19xqyxzoaRlqlddPE讨讨 论论ax （1 1）204xqE（点电荷电场强度）（点电荷电场强度）0,00Ex（2 2）axxE22, 0dd（3 3）a22a22Eoxxeaxq

10、xE23220)(4电场强度电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 152022-5-19体电荷体电荷一、一、静电场的无旋性静电场的无旋性2.2 2.2 电电 位位 20( )( )4RVr eE rdVR011( ) ()4VrdVR 01( )4VrdVR )(r1. 静电场旋度静电场旋度21()ReRR 电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 162022-5-19故电场强度E 的旋度等于零!0因为0El 根据静电场的叠加性原理知，上述结论同样适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。即任意形式的静电荷产生的电场的旋度都恒等于零。电 位静电场是一

11、个无旋场。静电场是一个无旋场。电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 172022-5-192. 静电场的环路定律静电场的环路定律 在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零，即电场线是不可能闭合的。场中不存在漩涡源。 电场力作功与路径无关,静电场是保守场。 无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。由斯托克斯定理，得 0 0lEE dl二者等价。()lsE dlEdS0电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 182022-5-19E 在静电场中可通过求解电位函数(Potential)， 再利用上式可方便地求得电场强度E 。式中负号表示电场强度的方

12、向从高电位指向低电位。单位：伏特(V)。1. 电位的引出电位的引出0E根据矢量恒等式0二、二、电位函数电位函数电 位电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 192022-5-192. 2. 已知电荷分布，求电位已知电荷分布，求电位20( )4RqE reRCRqrNiii1041)(点电荷点电荷群群01( )4vdqrCR连续分布电连续分布电荷荷以以点电荷点电荷为例推导电位：为例推导电位：21()ReRR 0( )( )4qE rrR 0( )4qrCRl drSdrVdrdqlS)( ,)( ,)( :电 位电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page

13、202022-5-19 在静电场中，任意一点的电场强度的方向总是指向电位减少最快的方向，其大小等于电位的最大变化率。3. 场强与电位的微分关系场强与电位的微分关系E E dldl 00ppppdEdlddzzdyydxx图图2.2-12.2-1 E E与与 的积分关系的积分关系4. 场强与电位的积分关系场强与电位的积分关系设P0为参考点，即0()0P0()pppEd l00()()ppppEdl电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 212022-5-195. 电位参考点的选择原则电位参考点的选择原则 场中任意两点的电位差与参考点无关。场中任意两点的电位差与参考点无关。

14、同一个物理问题，只能选取一个参考点。同一个物理问题，只能选取一个参考点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如：例如：点电荷产生的电场：点电荷产生的电场：00RC0RRq040C表达式无意义表达式无意义00 RR00044RqRq004RqC 电荷分布在电荷分布在有限区域有限区域时，选择时，选择无穷远处无穷远处为参考点；为参考点； 电荷分布在电荷分布在无限区域无限区域时，选择时，选择有限远处有限远处为参考点。为参考点。04qCR电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 222022-5-19(将单位正电荷从

15、 移到 电场力作的功.)P0P000dPPPPPPUEl电位差电位差（电压）电位差是绝对的，与电位零点的选择无关；电位大小是相对的，与电位零点的选择有关.000000PPPPPPWqqqU 静电场力的功 单位：伏特）（V电 位电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 232022-5-19alqRP2d 41d0RqalqRP00 42d 412204axq+aR例例2.2-1 正电荷正电荷 均匀分布在半径为均匀分布在半径为 的细圆环上的细圆环上. 求求圆环圆环轴线上距环心为轴线上距环心为 处点处点 的的电位电位.qaxPldxPalqlql2dddoyzxxeaxqxE2

16、3220)(4电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 242022-5-19例例2.2-2 “无限长无限长”带电直导线的带电直导线的电位电位解：解：BPBPlEd orBBrPr令令0BBPrrrEdBrlrrrerd20rrBlln20能否选能否选 ？0电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 252022-5-192.3 2.3 静电场中的物体静电场中的物体 一、静电场中的导体一、静电场中的导体 静电平衡静电平衡(electrostatic equilibrium)： +感应电荷感应电荷电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page

17、262022-5-191. 静电感应静电感应 静电平衡条件静电平衡条件+0E电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 272022-5-190E+E0E0E导体内电场强度导体内电场强度外电场强度外电场强度感应电荷电场强度感应电荷电场强度静电平衡条件静电平衡条件（1 1）导体内部任何一点处的电场强度为零。）导体内部任何一点处的电场强度为零。（2 2）导体表面电场强度的方向）导体表面电场强度的方向, ,都与导体表面垂直。都与导体表面垂直。（3 3）导体是等位体，导体表面是等位面。）导体是等位体，导体表面是等位面。电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 28

18、2022-5-19+E 为表面电荷面密度 s作钱币形高斯面 S2. 导体表面电场强度与电荷面密度的关系导体表面电场强度与电荷面密度的关系0dSSEsS0snE 表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比0E注意 导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关。0SSEsnn电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 292022-5-19u 屏蔽外电场屏蔽外电场E外电场外电场空腔导体可以屏蔽外电场空腔导体可以屏蔽外电场, , 使空腔内物体不受外电场影响使空腔内物体不受外电场影响. .这时整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等这时整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等E空腔导体屏蔽外电

19、场空腔导体屏蔽外电场尖端放电、避雷针、静电屏蔽等。尖端放电、避雷针、静电屏蔽等。 3. 3. 应应 用用电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 302022-5-191.1.电介质电介质 电介质与导体不同，介质内的电子被束缚在原子核周围，没有可自由运动的自由电荷。在电场的作用下，正负电荷会向相反方向产生微小位移，从而形成极化电荷。这些极化电荷构成了新的附加场源，使原电场的分布发生变化。 按照介质分子内部结构的不同，可将其分为两类：一类是非极性分子，另一类是极性分子。此外，还有部分介质是由离子组成的。我们主要讨论由分子组成的介质。二、静电场中的介质二、静电场中的介质电磁场与

20、电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 312022-5-19 在外电场E 作用下，介质中束缚电荷发生位移的现象称为极化。 无极性分子的极化称为位移极化，有极性分子的极化称为取向极化。 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。无极性分子有极性分子图2.3-2 电介质的极化2. 电介质的极化电介质的极化电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 322022-5-193. 电偶极子电偶极子 电偶极子是指相距很近的两个等量异号电荷组成的系统。下面计算电偶极子的远区场（rd) 。r1r2在球坐标系中：211202104)11(4rrrrqrrqp2122221221)co

21、srd4dr(r)cosrd4dr(r，用二项式展开，又有，得dr cos22drrcos21drr( , , )r 电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 332022-5-19 称为电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。pqd30(2cossin)4prpEeer 图2.2-3 电偶极子的等位线和电场线2200cos44rppeqdrr代入上式，得接上页远区场电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 342022-5-19式中 为极化后介质中单位体积元 内电偶极矩的矢量和，P 的方向从负极化电荷指向正极化电荷。pV通常用极化强度P 表示电介质的极化程度

22、，即C/m24. 极化强度极化强度0limVPV p 若 是体积 中的平均偶极矩，N 是单位体积内的分子数（即分子密度），则极化强度也可表示为：pVPNpC/m2电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 352022-5-19 已知单个电偶极子产生的电位：根据叠加原理知，极化介质体积V内电偶极子产生的电位为：5. 极化强度与极化电荷密度的关系极化强度与极化电荷密度的关系20()14RVP redVR 图图2.3-42.3-4 体积体积V V内电偶极矩产生的电位内电偶极矩产生的电位211ReRRR 011( )4VP rdVR2200cos44Rp eqdRR 电磁场与电磁波

23、电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 362022-5-19矢量恒等式：()uFuFFu 001( )1( )44VVP rP rdVdVRR 静电场中的介质00( )1( )144nVSP reP rdVdSRR散度定理散度定理令令pP 极化电荷体密度psnP e极化电荷面密度00( )( )11( )44ppsVSrrrdVdSRR xPzyr0Vd)(rRr图2-8 极化介质的电位电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 372022-5-19 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 0p 根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和0nVSP dVPe dS 0

24、()()1( )4pspsVSrdVdSRR 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场 强度表示为总而言之，导体和介质的存在都对电场的分布产生了一定的影响。220()()1( )4pRspsRVSeeE rdVdSRR电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 382022-5-196. 电介质中的电场强度与极化强度的关系电介质中的电场强度与极化强度的关系 实验结果表明，在各向同性、线性和均匀介质中 均匀：媒质参数不随空间坐标（x , y, z）而变化。 各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变，反之称为各向异性； 线性：媒质的参数不随电场的值而变化；式中： 电介质的极化率e

25、ePE 0电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 392022-5-19图2.26 均匀场中放进了介质球的电场图2.27 均匀场中放进了导体球的电场图2.28 点电荷位于一块介质上方的电场图2.29 点电荷位于一块导平面上方的电场电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 402022-5-19niiSqSE10e1d 在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 。0（与面外电荷无关，该闭合曲面称为高斯面。）2.4 2.4 高斯定理高斯定理 一、真空中的高斯定理一、真空中的高斯定理电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业

26、大学合肥工业大学Page 412022-5-19+ 是指由过一点的射线，旋转一周扫出的锥面所限定的空间部分立体角的大小，是以角顶为球心的单位球面上截下的球面面积来度量的.SdSdSdRSd22RdScosds edRR 2RSedsR 若S为封闭面，则：sRSdRe042外）在内）在SS(oo1.1.立体角立体角电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 422022-5-19 设在无限大真空中O点有一点电荷q，以任意曲面S包围该点电荷，则穿出这个封闭曲面的电通量为2.2.真空中的高斯定理真空中的高斯定理204RSSeqE dSdSR对于点电荷系或分布电荷，由叠加原理可得出高

27、斯定理为上式称为真空中的高斯定理。q其中 是闭合面内的总的净电荷。 niiSqSE101d()()qSqS在 内在 外00q电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 432022-5-19如果闭合面内的电荷是密度为 的体电荷，则前式可改写为：01SVE dSdV01VVEdVdV用散度定理对上式左边进行变换，得 E0上式为真空中高斯定理的微分形式。 高斯定律说明静电场是一个有源场，电荷就是场的散度源（通量源），电场线从正电荷发出，终止于负电荷。高斯定理电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 442022-5-19图图2.4-12.4-1 闭合曲面的电通

28、量闭合曲面的电通量 E 的通量仅与闭的通量仅与闭合面合面 S 所包围的净所包围的净电荷有关。电荷有关。图图2.4-22.4-2 闭合面外的电荷对场的影响闭合面外的电荷对场的影响 S 面上的面上的 E 是是由系统中由系统中全部电荷产生的。全部电荷产生的。高斯定理电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 452022-5-191. 高斯定律的微分形式高斯定律的微分形式0E （真空中）（真空中）0pE （电介质中）（电介质中）定义定义电位移矢量电位移矢量则有则有介质中的高斯定律的微分形式代入代入 , ,得得pP 01()EP0()EP 二、介质中的高斯定律二、介质中的高斯定律0D

29、EPD电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 462022-5-19其中 相对介电常数； 介电常数，单位（F/m）r0DEP 在各向同性、线性、均匀介质中ED00eEE 0(1)eE0rE E高斯定理本构关系电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 472022-5-19图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。 D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷； P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。 E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，

30、又可以在极化电荷上；线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；电场强度在电介质内部是增加了，还是减少了？电场强度在电介质内部是增加了，还是减少了？ED 线线E 线线P 线线图图2.4-32.4-3 D、E 与与 P 三者之间的关系三者之间的关系思考：思考：电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 482022-5-1911SD dS( )( )22SDdS( )( )123DDD( )( )q qq q D 的通量与介质无关，但不能认为的通量与介质无关，但不能认为D 的分布与介质无关。的分布与介质无关。D 通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的 D 是由高

31、斯面内、外的所有电荷共同产生的。2. 介质中高斯定律的积分形式介质中高斯定律的积分形式D VVDdVdV SDd Sq散度定理图图2.4-42.4-4 点电荷的电场中置入任意一块介质点电荷的电场中置入任意一块介质33SD dS( )( )q q电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 492022-5-193. 高斯定律的应用高斯定律的应用解题步骤： a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。 高斯定律适用于任何情况，但只有当场的分布具有一定的对称性，场的求解才较简单。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使 容易积分。SDd Sc)c)应用高斯定理计算。电磁场与电磁波

32、电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 502022-5-19例例2.4-12.4-1 求电荷线密度为求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。的无限长均匀带电体的电场。l解：解：电场分布特点电场分布特点： E线皆垂直于导线，呈辐射状态；线皆垂直于导线，呈辐射状态； 等等 r 处处E 值相等；值相等；取取长为长为L，半径为，半径为 r 的封闭圆的封闭圆柱面为高斯面。柱面为高斯面。02lrLErL02lrEer图图2.4-62.4-6电荷线密度为电荷线密度为 的无限长均匀带电体的无限长均匀带电体l0SqE dS由由得得1231230lsssLE dSE dSE dSSa220(1)ra例

33、2.4-2 已知电荷按体密度 分布于一个半径为 的球形区域内，试计算球内、外的电场强度及其电位。解：显然电场具有球对称性，可以用高斯定理解题。 当ar 时ardrrarrE022200224)1 (1420302152raEr所以球外电场为30220215raEer（ar ） 球外电位为22PEdlradrradrErrr03020302152152201SVEdSdV电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 522022-5-19所以球内电场为30120()35rrrEea（ar ） 球内电位为2PE dlararrdrEdrE21)1032(2242200arra 当a

34、r 时101SVE dSdVrrdrrarrE022200214)1 (14)53(23001arrEr接例2.4-2S电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 532022-5-19图图2.4-8 2.4-8 球壳内球壳内的电场的电场24SD dSDrq2004rDqEer24rqDer图图2.4-72.4-7 球壳外球壳外的电场的电场24SD dSDrq24rqDer2004rDqEer)Rr(例例2.4-32.4-3 试分析图试分析图2.4-72.4-7与与2.4-82.4-8的电场能否直接用高斯定律的电场能否直接用高斯定律来求解来求解？图图2.4-72.4-7 点电

35、荷点电荷q q置于金属置于金属球壳内任意位置的电场球壳内任意位置的电场图图2.4-82.4-8 点电荷点电荷q q分别置于金属分别置于金属球壳内的中心处与球壳外的电场球壳内的中心处与球壳外的电场电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 542022-5-19解：解：由于导体球和球外介质都是球对称的，故场分布也应该是球对称的，可以用高斯定理求解。)(ar 当时，显然，导体内场强为零，即10E 当)(bra时，应用介质中的高斯定理，得2SDdSQ224rQDer22214rQEDer当)(br 时，应用真空中的高斯定理，得30SQEdS3204rQEeraQ例例2.4-52.4

36、-5 一个半径为 的导体球，带电量为 ，在导体球外，套有半径为 的同心介质球壳，壳外是空气。试计算空间任一点的电场强度。b电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 552022-5-19 静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性的数学形式为：0ED0lEdlSD dSq三、静电场的基本方程三、静电场的基本方程积分形式：保守性高斯定理微分形式：无旋性通量源ED场强与电位的关系：本构关系：EPPE dl电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 562022-5-19 以分界面上点以分界面上点P作为观察点，作一作为观察点，作一小扁圆柱高

37、斯面（小扁圆柱高斯面（ ）。）。 0L 表明表明: 分界面两侧的分界面两侧的D 的法向分量不连续。的法向分量不连续。当当 时，时， D 的法向分量连续。的法向分量连续。0sSSDSDsnn21则有则有DdSq 根据根据 2.5 2.5 静电场的边界条件静电场的边界条件 一、法向边界条件一、法向边界条件 图图2.52.51 1 法向边界条件法向边界条件21nnsDD1212snn用用电位电位表示的法向边界条件表示的法向边界条件12nnDD电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 572022-5-190lElE1t21t1 图图2.52.52 2 切向边界条件切向边界条件表明

38、表明: 分界面两侧分界面两侧 E 的切向分量连续的切向分量连续。二、切向边界条件二、切向边界条件 在分界面上作一小矩形回路在分界面上作一小矩形回路( ) ( ) 20L0lEdl根据根据 则有则有表明表明: : 在介质分界面上，电位是连续的。在介质分界面上，电位是连续的。12ttEE用用电位电位表示的切向边界条件表示的切向边界条件12电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 582022-5-19表明：表明：（1）导体表面是一等位面，电场线与导体）导体表面是一等位面，电场线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上）导体表面上任一点的任

39、一点的D 就等于该点的自由电荷密度就等于该点的自由电荷密度 。s当分界面为导体与介质的交界面时，分界面上的当分界面为导体与介质的交界面时，分界面上的衔接条件衔接条件为：为： 022tsnEDttsnnEEDD2112图图2.52.54 4 导体与电介质分界面导体与电介质分界面nsE或sn电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 592022-5-19在交界面上不存在在交界面上不存在 时，时，E、D 满足折射定律。满足折射定律。s22211121coscosEEDDnn221121sinsinEEEEtt折射定律折射定律图图2.5-62.5-6 分界面上分界面上E E线的折射

40、线的折射1122tantan三、折射定律三、折射定律静电场的边界条件电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 602022-5-19解解：忽略边缘效应忽略边缘效应图（图（a a）2211EE02211UdEdE图图2.52.57 7 平行板电容器平行板电容器（a a）（b b）例例2.5-12.5-1 如图如图(a)(a)与图与图(b)(b)所示平行板电容器所示平行板电容器, ,已知已知 和和 , ,图图(a)(a)已知极板间电压已知极板间电压U0 , , 图图(b)(b)已知极板上总电荷已知极板上总电荷 , ,试分别求其中的电场强度。试分别求其中的电场强度。12121,S

41、Sdd20q静电场的边界条件2011221xUEedd1021221xUEedd电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 612022-5-191121sxEEe01122xqeSS图（图（b b）02211qSSss2211ss静电场的边界条件图图2.52.57 7 平行板电容器平行板电容器（a a）（b b）电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 622022-5-19 例例2.5-22.5-2 同心球电容器的内导体半径为同心球电容器的内导体半径为 ，外导体的内半径，外导体的内半径为为 ，其间填充有两种介质，上半部分的介电常数为，其间填充有两种介质

42、，上半部分的介电常数为 ，下，下半部分的介电常数为半部分的介电常数为 ，如图所示。设内、外导体带电分别，如图所示。设内、外导体带电分别为为 和和 。求各部分的。求各部分的电位移矢量电位移矢量和和电场强度电场强度. . ab12qq解：解： 12ttEE在半径为在半径为r r的球面上作的球面上作电位移电位移的面积分，的面积分，有有 22112222r Er Eq由边界条件得由边界条件得SD dSq122122 ()qEEr 112122 ()rqDer 222122 ()rqDer 电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 632022-5-19E 0EDE 泊松方程与拉普拉

43、斯方程只适用于线性的、各向同性的、均匀媒质。22222222zyx 拉普拉斯算子2.6 2.6 泊松方程与拉氏方程泊松方程与拉氏方程 EE D 泊松方程泊松方程2 时时当当 0拉普拉斯方程拉普拉斯方程20电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 642022-5-193332例例2.6-12.6-1 列出求解区域的微分方程 如果区域内存在多种媒质，需沿媒质的分界面划分成多个区域，分别求解。注意注意图图2.62.61 1 三个不同媒质区域的静电场210220电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 652022-5-19dx002dx 0dxx002221

44、0306)(CxCdxx解：解：由于极板面无限大，故板间电场为由于极板面无限大，故板间电场为均匀场均匀场，且场源电荷，且场源电荷仅与仅与 有关，所以板间电场和电位也只是有关，所以板间电场和电位也只是 的函数的函数. 处电位为处电位为0， 处电位为处电位为 。根据题意有。根据题意有 0Uxx0 xdx 例例2.6-2 两无限大平行板电极，板间距离为两无限大平行板电极，板间距离为 ，电压为，电压为 ，并充满密度为并充满密度为 的体电荷。求极板间电场强度。的体电荷。求极板间电场强度。 ddx00U泊松方程xd0(0)00( )dU0 xd0电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page

45、 662022-5-19当当 时时 dx 0 x当当 时时 0)0(2 C010306)(UdCddd00016ddUC板间任意一点板间任意一点电位电位为为xddUdxx)6(6)(000030板间任意一点板间任意一点电场电场为为200000()26xxxUdEeexdd 泊松方程电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 672022-5-19 电容只与导体的几何形状、尺寸、相对位置及周围的介质有关，与所带电荷量无关。2.7 2.7 电容与部分电容电容与部分电容 一、双导体电容一、双导体电容 电荷与电压的比值称为电容。 孤立导体电容： ABQQ定义：UQQCBAQC (,F

46、F pF法拉），单位：电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 682022-5-19低压瓷介电容器 高压瓷介电容器 金属薄膜电容器 薄膜电容器 电解电容器 贴片基层电容器 电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 692022-5-19 例例2.72.71 1 试求球形电容器的电容。解：解：设内导体的电荷为 ,则q,SD dSq220,44rrqqDeEerrababqbaqEdrUba004)11(4同心导体间的电压abab4UqC0球形电容器的电容当b时aC04（孤立导体球的电容） 球形电容器 电容的计算：设 QQEUE dlCU电磁场与电磁波电磁

47、场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 702022-5-19)(2200 xdxEEEllxxdxxEURdRlRdRd)11(2d0RdRRdlllnln00单位长度的单位长度的电容电容RdUClln0解解 设两金属线的电荷线密度为设两金属线的电荷线密度为lR2dllEEEoxPxxdddR例例2.7-2 两半径为两半径为 的平行长直导线中心间距为的平行长直导线中心间距为 ，且，且 , 求单位长度的电容求单位长度的电容 .R电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 712022-5-1911.0nKKq 静电独立系统静电独立系统D线从这个系统中的带电体发出，并终线从

48、这个系统中的带电体发出，并终止于该系统中的其余带电体，与外界无任何联系，即止于该系统中的其余带电体，与外界无任何联系，即 线性、多导体线性、多导体( (三个以上导体三个以上导体) )组成的系统；组成的系统； 部分电容概念部分电容概念图图2.72.72 2 三导体静电独立系统三导体静电独立系统二、多导体系统和部分电容二、多导体系统和部分电容图图2.72.73 3 四导体静电独立系统四导体静电独立系统电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 722022-5-190332211222323202221212111313121210111nnnnnnnnnnnnnnUCUCUCU

49、CqUCUCUCUCqUCUCUCUCq式中：式中：部分电容：表明各导体间电压对各导体电荷的贡献jiijCC 为互有部分电容iiC为自有部分电容jiijUU电 容电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 732022-5-19 静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。2.8 2.8 静电场能量与静电力静电场能量与静电力 一、静电场的能量一、静电场的能量1. 1. 带电系统的能量带电系统的能量设有n个带电体构成的系统中，每个带电体的电量都同时从零开始，按相同比例 逐渐增加到它们的最终值 。在此过程中的任一时刻t，各个带电体都充电到它们终值 ，相应的电位 。nqqq

50、,21) 1(nqqq,2112,n 当第k个带电体上的电量增加了 时，外电源所作的功为：)(kqd对n个带电体充电时，外电源所作的总功为：根据能量守恒定律，这些功全部转换为静电场的能量，储存于带电系统中，即对于整个充电过程，电场的总储能为：kkkkkkkkVddVddqd)()(VVddVeVdddW VVeeVdVdddWW211012eVWdV电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page 752022-5-19推广：推广： l 点电荷系 （或带电导体）：l 面电荷：112neiiiWq12esSWdS l 线电荷：静电能储存在整个场域空间，而不是仅仅在场源处。12ellW