2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编:31 圆的有关性质.doc
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1、 1 / 53 圆的有关性质圆的有关性质 一、选择题一、选择题 1. ( 2014珠海,第 5 题 3 分)如图,线段 AB 是O 的直径,弦 CD 丄 AB,CAB=20 , 则AOD 等于( ) A 160 B 150 C 140 D 120 考点: 圆周角定理;垂径定理 分析: 利用垂径定理得出=,进而求出BOD=40 ,再利用邻补角的性质得出答案 解答: 解:线段 AB 是O 的直径,弦 CD 丄 AB, =, CAB=20 , BOD=40 , AOD=140 故选:C 点评: 此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识,得出BOD 的度数是解题关键 2. ( 2014广西贺州,第
2、11 题 3 分)如图,以 AB 为直径的O 与弦 CD 相交于点 E,且 AC=2,AE=,CE=1则弧 BD 的长是( ) A B C D 2 / 53 考点: 垂径定理;勾股定理;勾股定理的逆定理;弧长的计算 分析: 连接 OC,先根据勾股定理判断出ACE 的形状,再由垂径定理得出 CE=DE,故 =,由锐角三角函数的定义求出A 的度数,故可得出BOC 的度数,求出 OC 的长,再根据弧长公式即可得出结论 解答: 解:连接 OC, ACE 中,AC=2,AE=,CE=1, AE2+CE2=AC2, ACE 是直角三角形,即 AECD, sinA=, A=30 , COE=60 ,来源:1
3、63文库 =sinCOE,即=,解得 OC=, AECD, =, = 故选 B 点评: 本题考查的是垂径定理,涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识,难度适中 3 (2014温州,第 8 题 4 分)如图,已知 A,B,C 在O 上,为优弧,下列选项中与 AOB 相等的是( ) 3 / 53 A 2C B 4B C 4A D B+C 考点: 圆周角定理 分析: 根据圆周角定理,可得AOB=2C 解答: 解:如图,由圆周角定理可得:AOB=2C 故选 A 点评: 此题考查了圆周角定理此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用 4.(2014毕节地区,第 5 题 3 分)下列叙述正确的是( ) A
4、方差越大,说明数据就越稳定 B 在不等式两边同乘或同除以一个不为 0 的数时,不等号的方向不变 C 不在同一直线上的三点确定一个圆 D 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 考点: 方差;不等式的性质;全等三角形的判定;确定圆的条件 分析: 利用方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的 条件对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项 解答: 解:A、方差越大,越不稳定,故选项错误; B、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数,不等号方向改变, 故选项错误; C、正确; D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,故选项错误 故选 C 点评: 本题考查了方差的意义、不等号的性质、全等三
5、角形的判定及确 定圆的条件,属于基本定理的应用,较为简单 4 / 53 5.(2014毕节地区,第 6 题 3 分)如图,已知O 的半径为 13,弦 AB 长为 24,则点 O 到 AB 的距离是( ) A 6 B 5 C 4 D 3 考点: 垂径定理;勾股定理 分析: 过 O 作 OCAB 于 C,根据垂径定理求出 AC,根据勾股定理求 出 OC 即可 解答: 解:过 O 作 OCAB 于 C, OC 过 O, AC=BC= AB=12, 在 RtAOC 中,由勾股定理得:OC=5 故选:B 点评: 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,关键是求出 OC 的长 6.(2014毕节地区,第 15
6、 题 3 分)如图是以ABC 的边 AB 为直径的半圆 O,点 C 恰好在 半圆上,过 C 作 CDAB 交 AB 于 D已知 cosACD= ,BC=4,则 AC 的长为( ) A 1 B C 3 D 5 / 53 考点: 圆周角定理;解直角三角形 分析: 由以ABC 的边 AB 为直径的半圆 O,点 C 恰好在半圆上,过 C 作 CDAB 交 AB 于 D易得ACD=B,又由 cosACD= , BC=4,即可求得答案 解答: 解:AB 为直径, ACB=90 , ACD+BCD=90 , CDAB, BCD+B=90 , B=ACD, cosACD= , cosB= , tanB= ,
7、BC=4, tanB= , AC= 故选 D 点评: 此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质此题难度适中,注 意掌握数形结合思想的应用 7.(2014武汉,第 10 题 3 分)如图,PA,PB 切O 于 A、B 两点,CD 切O 于点 E,交 PA,PB 于 C,D若O 的半径为 r,PCD 的周长等于 3r,则 tanAPB 的值是( ) 6 / 53 A B C D 考点: 切线的性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义 分析: (1)连接 OA、OB、OP,延长 BO 交 PA 的延长线于点 F利用切线求得 CA=CE,DB=DE,PA=PB 再得出 PA=PB=利用 RtBF
8、PRTOAF 得 出 AF= FB,在 RTFBP 中,利用勾股定理求出 BF,再求 tanAPB 的值 即可 解答: 解:连接 OA、OB、OP,延长 BO 交 PA 的延长线于点 F PA,PB 切O 于 A、B 两点,CD 切O 于点 E OAP=OBP=90 ,CA=CE,DB=DE,PA=PB, PCD 的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r, PA=PB= 在 RtBFP 和 RtOAF 中, , RtBFPRTOAF 7 / 53 = , AF= FB, 在 RtFBP 中, PF2PB2=FB2 (PA+AF)2PB2=FB2 ( r+ BF)
9、2()2=BF2, 解得 BF=r, tanAPB=, 故选:B 点评: 本题主要考查了切线的性质,相似三角形及三角函数的定义,解决本题的关 键是切线与相似三角形相结合,找准线段及角的关系 8 (2014 台湾,第 10 题 3 分)如图,有一圆通过ABC 的三个顶点,且的中垂线与相交于 D 点若B74 ,C46 ,则的度数为何?( ) A23 B28 C30 D37 分析: 由有一圆通过ABC 的三个顶点, 且的中垂线与相交于 D 点 若B74 , C46 , 可求得与的度数,继而求得答案 解:有一圆通过ABC 的三个顶点,且的中垂线与相交于 D 点, 2 C24692,2 B2 74 14
10、8 , 1 2(14892)28 故选 B 8 / 53 点评:此题考查了圆周角定理以及弧与圆心角的关系此题难度不大,注意掌握数形结合思 想的应用 9 (2014 台湾,第 21 题 3 分)如图,G 为ABC 的重心若圆 G 分别与 AC、BC 相切, 且与 AB 相交于两点,则关于ABC 三边长的大小关系,下列何者正确?( ) ABCAC BBCAC CABAC DABAC 分析:G 为ABC 的重心,则ABG 面积BCG 面积ACG 面积,根据三角形的面积 公式即可判断 解:G 为ABC 的重心, ABG 面积BCG 面积ACG 面积, 又GHaGHbGHc, BCACAB 故选 D 点
11、评:本题考查了三角形的重心的性质以及三角形的面积公式,理解重心的性质是关键 10 (2014浙江湖州,第 4 题 3 分)如图,已知 AB 是ABC 外接圆的直径,A=35 ,则 B 的度数是( ) A35 B 45 C 55 D 65 分析: 由 AB 是ABC 外接圆的直径, 根据直径所对的圆周角是直角, 可求得C=90 , 又由A=35 ,即可求得B 的度数 9 / 53 解:AB 是ABC 外接圆的直径,C=90 , A=35 ,B=90 A=55 故选 C 点评:此题考查了圆周角定理此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用 11.(2014孝感,第 10 题 3 分)如图,在半径为
12、6cm 的O 中,点 A 是劣弧的中点,点 D 是优弧上一点,且D=30 ,下列四个结论: OABC;BC=6;sinAOB=;四边形 ABOC 是菱形 其中正确结论的序号是( ) A B C D 考点: 垂径定理;菱形的判定;圆周角定理;解直角三角形 分析: 分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即 可 解答: 解:点 A 是劣弧的中点,OA 过圆心, OABC,故正确; D=30 , ABC=D=30 , AOB=60 , 点 A 是点 A 是劣弧的中点, BC=2CE, OA=OB, OB=OB=AB=6cm, BE=ABcos30 =6=3cm, 10
13、 / 53 BC=2BE=6cm,故 B 正确; AOB=60 , sinAOB=sin60 =, 故正确; AOB=60 , AB=OB, 点 A 是劣弧的中点, AC=OC, AB=BO=OC=CA, 四边形 ABOC 是菱形, 故正确 故选 B 点评: 本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形,综合性较强,是一 道好题 12. (2014呼和浩特, 第 6 题 3 分) 已知O 的面积为 2, 则其内接正三角形的面积为 ( ) A 3 B 3 C D 考点: 垂径定理;等边三角形的性质 分析: 先求出正三角形的外接圆的半径,再求出正三角形的边长,最后求其面积即可 解答:
14、解:如图所示, 连接 OB、OC,过 O 作 ODBC 于 D, O 的面积为 2 O 的半径为 ABC 为正三角形, 11 / 53 BOC=120 ,BOD= BOC=60 ,OB=, BD=OBsinBOD=, BC=2BD=, OD=OBcosBOD=cos60 =, BOC 的面积= BCOD= =, ABC 的面积=3SBOC=3= 故选 C 点评: 本题考查的是三角形的外接圆与外心,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答 此题的关键 二二.填空题填空题 1 (2014舟山,第 16 题 4 分)如图,点 C 在以 AB 为直径的半圆上,AB=8,CBA=30 , 点 D 在线段
15、 AB 上运动,点 E 与点 D 关于 AC 对称,DFDE 于点 D,并交 EC 的延长线于 点 F下列结论:CE=CF;线段 EF 的最小值为 2;当 AD=2 时,EF 与半圆相切; 若点 F 恰好落在上,则 AD=2;当点 D 从点 A 运动到点 B 时,线段 EF 扫过的面 积是 16其中正确结论的序号是 考 点: 圆的综合题;垂线段最短;平行线的判定与性质;等边三角形的判定与性质;含 30 度角的直 角三角形;切线的判定;轴对称的性质;相似三角形的判定与性质 专推理填空题 12 / 53 题: 分 析: (1)由点 E 与点 D 关于 AC 对称可得 CE=CD,再根据 DFDE
16、即可证到 CE=CF (2)根据“点到直线之间,垂线段最短”可得 CDAB 时 CD 最小,由于 EF=2CD,求出 CD 的 最小值就可求出 EF 的最小值 (3) 连接OC, 易证AOC是等边三角形, AD=OD, 根据等腰三角形的“三线合一”可求出ACD, 进而可求出ECO=90 ,从而得到 EF 与半圆相切 (4)利用相似三角形的判定与性质可证到DBF 是等边三角形,只需求出 BF 就可求出 DB, 进而求出 AD 长 (5)首先根据对称性确定线段 EF 扫过的图形,然后探究出该图形与ABC 的关系,就可求出 线段 EF 扫过的面积 解 答: 解:连接 CD,如图 1 所示 点 E 与
17、点 D 关于 AC 对称, CE=CD E=CDE DFDE, EDF=90 E+F=90 ,CDE+CDF=90 F=CDF CD=CF CE=CD=CF 结论“CE=CF”正确 当 CDAB 时,如图 2 所示 AB 是半圆的直径, ACB=90 AB=8,CBA=30 , CAB=60 ,AC=4,BC=4 CDAB,CBA=30 , CD=BC=2 根据“点到直线之间,垂线段最短”可得: 13 / 53 点 D 在线段 AB 上运动时,CD 的最小值为 2 CE=CD=CF,来源:Z#xx#k.Com EF=2CD 线段 EF 的最小值为 4 结论“线段 EF 的最小值为 2”错误 (
18、3)当 AD=2 时,连接 OC,如图 3 所示 OA=OC,CAB=60 , OAC 是等边三角形 CA=CO,ACO=60 AO=4,AD=2, DO=2 AD=DO ACD=OCD=30 点 E 与点 D 关于 AC 对称, ECA=DCA ECA=30 ECO=90 OCEF EF 经过半径 OC 的外端,且 OCEF, EF 与半圆相切 结论“EF 与半圆相切”正确 当点 F 恰好落在上时,连接 FB、AF,如图 4 所示 点 E 与点 D 关于 AC 对称, EDAC AGD=90 AGD=ACB EDBC FHCFDE 14 / 53 = FC=EF, FH=FD FH=DH D
19、EBC, FHC=FDE=90 BF=BD FBH=DBH=30 FBD=60 AB 是半圆的直径, AFB=90 FAB=30 FB=AB=4 DB=4 AD=ABDB=4 结论“AD=2”错误 点 D 与点 E 关于 AC 对称, 点 D 与点 F 关于 BC 对称, 当点 D 从点 A 运动到点 B 时, 点 E 的运动路径 AM 与 AB 关于 AC 对称, 点 F 的运动路径 NB 与 AB 关于 BC 对称 EF 扫过的图形就是图 5 中阴影部分 S阴影=2SABC =2 ACBC =ACBC =4 4 =16 EF 扫过的面积为 16 结论“EF 扫过的面积为 16”正确 15
20、/ 53 故答案为:、 点 评: 本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线 的判定、轴对称的性质、含 30 角的直角三角形、垂线段最短等知识,综合性强,有一定的难 度 2. ( 2014福建泉州,第 17 题 4 分)如图,有一直径是米的圆形铁皮,现从中剪出一个 圆周角是 90 的最大扇形 ABC,则: (1)AB 的长为 1 米; (2)用该扇形铁皮围成一个圆锥,所得圆锥的底面圆的半径为 米 考点: 圆锥的计算;圆周角定理 专题: 计算题 分析: (1)根据圆周角定理由BAC=90 得 BC 为O 的直径,即 BC=,根据等腰直角 三角形的性质得 A
21、B=1; 16 / 53 (2)由于圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,则 2r=,然后解方程即可 解答: 解: (1)BAC=90 , BC 为O 的直径,即 BC=, AB=BC=1; (2)设所得圆锥的底面圆的半径为 r, 根据题意得 2r=, 解得 r= 故答案为 1, 点评: 本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面 的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了圆周角定理 3. ( 2014广东,第 14 题 4 分)如图,在O 中,已知半径为 5,弦 AB 的长为 8,那么圆 心 O 到 AB 的距离为 3 考点: 垂径定理;
22、勾股定理 分析: 作 OCAB 于 C,连结 OA,根据垂径定理得到 AC=BC= AB=3,然后在 RtAOC 中 利用勾股定理计算 OC 即可 解答: 解:作 OCAB 于 C,连结 OA,如图, OCAB, 17 / 53 AC=BC= AB= 8=4, 在 RtAOC 中,OA=5, OC=3, 即圆心 O 到 AB 的距离为 3 故答案为:3 点评: 本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查 了勾股定理 4 (2014四川自贡,第 14 题 4 分)一个边长为 4cm 的等边三角形 ABC 与O 等高,如图 放置,O 与 BC 相切于点 C,O 与 A
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