等差数列的前n项和ppt课件.ppt

1、2.3 等差数列的前n项和第1课时 等差数列的前n项和1 1高斯高斯(17771855(17771855） 德国著名数学家德国著名数学家1+2+3+98+99+100=1+2+3+98+99+100=？ 高斯高斯1010岁时曾很快算出这一结岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？果，如何算的呢？我们先看下面的问题我们先看下面的问题.2 21+2+3+100=?带着这个问题，我们进入本节课的学习！带着这个问题，我们进入本节课的学习！3 31. 掌握等差数列前掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；项和公式及其获取思路； ( (重重点）点）2. 会用等差数列的前会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的项

2、和公式解决一些简单的与前与前n项和有关的问题项和有关的问题（难点）（难点）4 4下面再来看下面再来看1+2+3+98+99+1001+2+3+98+99+100的高斯算法的高斯算法. .设设S S100100=1 + 2 + 3 +98+99+100=1 + 2 + 3 +98+99+100 反序反序S S100100=100+99+98+ 3+ 2 + 1=100+99+98+ 3+ 2 + 1+ + + + + + +作作加加法法+ + + + + + +作作加加法法多少个多少个101 ?101 ?100100个个1011012S100=101+101+101+101+101+101/ /

3、 / / / + + + + + + +作作加加法法探究点探究点1 1 等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式5 5所以所以S S100100= =(1+100)(1+100)100100？首首项项尾尾项项？总总和和？项项数数这就是等差这就是等差数列前数列前n n项和项和的公式！的公式！=5 050=5 050121()2nnn aaS 1(2） 6 6+ +得：得：2S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a2 2+a+an-1n-1)+(a)+(a3 3+a+an-2n-2)+)+(+(a an n+a+a1 1). ). 以下证明以下证明aan n 是等差数列，

4、是等差数列，S Sn n是其前是其前n n项和，则项和，则证：证：S Sn n= a= a1 1+ a+ a2 2 + a+ a3 3 + + +a +an-2n-2+a+an-1n-1+a+an n, ,即即S Sn n= =a a1 1, ,an+ a+ a2 2 + +a+an-1n-1+ +a a3 3a an-2n-2+ + +. .1()2nnn aaS 7 72S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a1 1+a+an n)+ )+ +(a+(a1 1+a+an n) ) 多少个(a1+an) ?共有共有n n个个(a1+an) 由等差数列的性质：由等差数列的性

5、质：当当m+n=p+qm+n=p+q时，时，a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q 知：知：a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2= = =a an n+a+a1 1，所以所以式可化为：式可化为：= n n(a(a1 1+a+an n).).这种求和的这种求和的方法叫倒序方法叫倒序相加法！相加法！因此，因此，. .1()2nnn aaS 8 8 110.5,95,10.根根据据下下列列条条件件，求求相相应应的的等等差差数数列列的的前前n n项项和和nnaSaan【解解析析】10101010 (5+95)(5+95)S=50

6、0.S=500.2 2【即时练习即时练习】9 9探究点探究点2 2 等差数列的前等差数列的前n n项和公式的其他形式项和公式的其他形式（1)2nnn aaS 1(1)naand （11)2nn nSnad 1,22ddAB a2nSAnBn1010 .根根据据下下列列条条件件，求求相相应应的的等等差差数数列列的的前前n n项项和和nnaS1100,2,50.adn 【解解析析】50505050 （50-1)50-1)S=50S=50 100+100+ (-2)= 2 550.(-2)= 2 550.2 2【即时练习即时练习】1111例例1(P431(P43例例1)20001)2000年年111

7、1月月1414日教育部下发了日教育部下发了关于在中关于在中小学实施小学实施 “ “校校通校校通”工程的通知工程的通知. .某市据此提出了某市据此提出了实施实施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从20012001年起用年起用1010年的年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网时间，在全市中小学建成不同标准的校园网. .据测算，据测算，20012001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500500万元万元. .为为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加一年增加5050万元万元. .那么从那么从20

8、012001年起的未来年起的未来1010年内，该市年内，该市在在“校校通校校通”工程中的总投入是多少？工程中的总投入是多少？1212【解析解析】根据题意，从根据题意，从2001200120102010年，该市每年投入年，该市每年投入“校校通校校通” 工程的经费都比上一年增加工程的经费都比上一年增加5050万元万元. .所以，所以，可以建立一个等差数列可以建立一个等差数列aan n ，表示从，表示从20012001年起各年投入年起各年投入的资金，其中的资金，其中 1 1a =500,d =50.a =500,d =50. 1010那那么么，到到2010年2010年（n =10）n =10），投投

9、入入的的金金1010 （10-1）10-1）S=10S=10 500+500+ 50 =7 250（50 =7 250（万万元元）. .2 2资资总总额额为为从从该该总总20012010年20012010年，市市在在“校校校校通通”工工程程中中的的投投入入是是7 27 2答答：50万50万元元. .1313【变式练习变式练习1】C C1414例例2(P442(P44例例2)2)已知一个等差数列已知一个等差数列 前前1010项的和是项的和是310310，前前2020项的和是项的和是1220.1220.由这些条件能确定这个等差数列的由这些条件能确定这个等差数列的前前n n项和的公式吗？项和的公式吗

10、？ na【解题关键解题关键】将已知条件代入等差数列前将已知条件代入等差数列前n n项和的公式项和的公式后，可得到两个关于后，可得到两个关于 与与d d的二元一次方程，由此可以的二元一次方程，由此可以求得求得 与与d d，从而得到所求前，从而得到所求前n n项和的公式项和的公式. .1a1a 题题析析】将将【解解们们 10201020n1n11 11 1由由意意知知S=310，S=310，S=1 220,S=1 220,n（n（n-1）n-1）它它代代入入公公式式S = na +d，S = na +d，2 210a +45d =310，10a +45d =310，得得到到20a +190d =1

11、 220.20a +190d =1 220.1515 1 11 12 2n n解解于于a 与a 与d的d的方方程程，得得到到a = 4，a = 4，d = 6, d = 6, n（n（n-1）n-1）所所以以S = 4n+S = 4n+6=3n +n.6=3n +n.2 2这这个个关关组组【规律总结规律总结】此例题的目的是建立等差数列前此例题的目的是建立等差数列前n n项和与方程组之间的联系项和与方程组之间的联系. .已知几已知几个量，通过解方程组，得出其余的个量，通过解方程组，得出其余的未知量未知量. .让我们归让我们归纳一下！纳一下！1616【变式练习变式练习2】C C1717 213(

12、443)2.例例例例 已已知知数数列列的的前前 项项和和为为，求求这这个个数数列列的的通通项项公公式式 这这个个数数列列是是等等差差数数列列吗吗？如如果果是是，它它的的首首项项与与公公差差分分别别是是什什么么？nnPanSnn【析析】解解n12n-1nn12n-1nn-112n-1n-112n-1根根据据S = a +a +a+a 与S = a +a +a+a 与S= a +a +a （S= a +a +a （n 1）n 1），nnn-1nnn-12222可可知知，n 1，n 1，a = S -Sa = S -S111111= n +n-（= n +n-（n-1）n-1）+ （+ （n-1）n

13、-1）= 2n-.= 2n-.222222当当时时1818 2 21111nnnnn nn =1，n =1，1313 a = S =1 + a = S =1 + 1=，1=，也也足足上上式式. .22221 1所所以以列列 a的a的通通公公式式a = 2n-.a = 2n-.2 23 3由由此此可可知知，列列 a是a是一一首首，公公差差2的2的等等差差列列. .2 2当当时时满满数数项项为为数数个个项项为为为为数数191911111. .这这个个例例题题给给出出了了等等差差数数列列通通项项公公式式的的另另一一个个求求法法（n=1n=1） , ,已已知知前前 项项和和，可可求求出出通通项项（n2

14、n2）这这种种用用数数列列的的公公式式来来确确定定的的方方法法对对于于任任何何数数列列都都是是可可行行的的，而而且且还还要要注注意意 不不一一定定满满足足由由求求出出的的通通项项表表达达式式，所所以以最最后后要要验验证证首首项项 是是否否满满足足已已求求出出【规规律律总总】的的结结nnnnnnnnnnSnSaSSSaaSSaaa 2020【变式练习变式练习3】1n21212222等差数列前n项和公式的性质 思考思考如果如果an是等差数列，那么是等差数列，那么a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差数列吗？是等差数列吗？答案答案(a11a12a20)(a1a2a10)(a11

15、a1)(a12a2)(a20a10) 100d，类似可得，类似可得(a21a22a30)(a11a12a20)100d.a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差数列是等差数列 10101010ddd 个梳理梳理(1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列分别为等差数列an的前的前m项，前项，前2m项，前项，前3m项的和，项的和，则则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为也成等差数列，公差为m2d.(2)若等差数列的项数为若等差数列的项数为2n(nN*)，则，则S2n ，且，且S偶偶S奇奇 ，(3)若等差数列的项数为若等差数列的项数为2n1(nN*)，则则S2n1 ，

16、且，且S奇奇S偶偶an，S奇奇nan，S偶偶(n1)an， n(anan1)nd(2n1)an. 1 1等等差差数数列列前前 项项和和公公式式的的推推导导；nnS,.,.11()(1)22nnnn aan nSSnad 说明：两个求和公式的使用说明：两个求和公式的使用知三求一知三求一. . 2 2 等等差差数数列列前前 项项和和公公式式的的记记忆忆与与应应用用. .nnS2626 青年之文明，奋斗之文明也，与境遇奋斗，与时代奋斗，与经验奋斗。故青年者，人生之王，人生之春，人生之华也。 李大钊2727B B282829292.(20152.(2015全国卷全国卷) )设设S Sn n是等差数列是

17、等差数列aan n 的前的前n n项和项和, ,若若a a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3,=3,则则S S5 5= =( () )A.5 B.7 A.5 B.7 C.9 C.9 D.11 D.11【解析】【解析】选选A.aA.a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3a=3a3 3=3=3a a3 3=1,S=1,S5 5= =5a=5a3 3=5.=5.155(aa )2A A30306 63131A A32325.5,4,3,2,等等差差数数列列前前多多少少项项和和是是-30-30？【解解析析】1n1nn na =5,d = -1,S = -30.a =5,d = -1,S = -30.n(n-1)n(n-1)所所以以S =5n+S =5n+ (-1)= -30，(-1)= -30，2 2n =15 或n =15 或 n = -4(舍 n = -4(舍去去).).3333