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1、高等代数与解析几何多媒体课件辽宁师范大学 数学学院韩友发数学专业基础课程介绍解析几何高等代数数学分析高等代数与解析几何数学分析群论初步（数论初步）多项式理论间等）线性代数（包括欧氏空高等代数参考书介绍 第一章 向量代数 第二章 行列式 第三章 线性方程组与线性子空间 第四章 矩阵的秩与矩阵的运算 第五章 线性空间与欧几里得空间 第六章 几何空间的常见曲面 第七章 线性变换 第八章 线性空间上的函数 第九章 坐标变换与点变换 第十章 一元多项式与整数的因式分解 第十一章 多元多项式 第十二章 多项式矩阵与若尔当典范形何几析解与数代等高第一章 向量代数第一章向量代数算、几何空间内的向量运、向量空间

2、、向量与线性方程组、向量的基本性质4321本章内容的地位第一节 向量的线性运算.向量定义1.1称为既有大小又有方向的量控制中心有向线段与向量AB第一章向量代数.表示同一个向量的有向线段长度相等并且方向相同定义1.2ABCD.)3(.21零向量、负向量的含义）分析向量的基本特征（它两个向量？表示其）如何用已知向量（问题：AB第一章向量代数向量的加法则三角形和平行四边形法ababbacabbac第一章向量代数向量加法的性质. 0)()4(;03;)2(;)()(1,aaAaaAabbaAcbacbaAcba）（交换律：）结合律：（有：对任意的向量COABOACB第一章向量代数的意义？）向量加法满足

3、结合律（性质的例子。）给出一个满足：（2411AA 问题：个向量相加的 多边形法则nnaaa21点重合的意义？问题：“红向量”的端向量的减法：第一章向量代数第一章向量代数. 03,1 . 1cbacba要条件是：分必连接成一个三角形的充将它们的终点与始点相个向量。试证明顺次是互不共线的设例ABC.2 . 1是平行四边形线互相平分的四边形用向量方法证明：对角例ABCDO向量的标量乘法.00|相反时方向与相同，当时它的方向与倍，当的长度的它的长度是是一个向量，的标量乘积与向量实数akakkaakak定义1.3.1)4(;)()3(;)()2(;)()(1,aaMbkakbakMbmakamkMak

4、mamkMkba）（有：以及实数对任意的向量.4141线性运算分析量的与标量的乘法统称为向同时我们把向量的加法）（）和（）：注意性质（MMAA第一章向量代数.6,.,3能构成三角形，求证向量条棱的中点是条棱的向量分别为已知平行六面体EFCDABFEDCBAcba例1.3abcABCDEF第一章向量代数第二节 向量的共线与共面结论是否成立？）如果（线性表示？是否可由向量）命题的向量（？）命题的其它表现形式问题：（0aba321.共面线与线段（或者线段）的共的共线与共面是指有向量方法讨论几何性质，向这一节我们是用代数的.0akbkaba使得实数，则存在唯一的共线并且与如果命题2.10,bmakmk

5、ba使得不全为零的实数存在共线的充分必要条件是和两个向量命题2.2的充分必要条件？问题：两个向量不共线第一章向量代数.线性表示可由向量，则称向量若abakb无关.线性线性相关线性表示线性组合定义2.1则称此向量组可以推出反之，如果从上式则称向量组使得下式成立：实数如果有一组不全为零的可以由向量组并称向量的组为向量称向量是一组实数是一组向量，设, 0.,0,.,.,2121221121212122112121nnnnnnnnnnnkkkaaaakakakkkkaaabaaaakakakbkkkaaa向量相关性如何？）若向量组中有一个零（共线的关系）讨论向量的相关性与问题：（21.第一章向量代数.

6、,共面则线性表示，即能被向量如果向量cbabmakcbac命题2.4abakbmc.,式是唯一的线性表示，并且表示方由可以不共线，则共面，且如果bacbacba命题2.5第一章向量代数.)理解该命题（维数思考题：结合二维平面.,线性相关向量组共面的充分必要条件是cbacba命题2.6.量以及空间点的关系讨论自由向量、位置向空间点的集合空间位置向量集合空间的自由向量集合线性无关？）任意两个位置向量都（？）这种对应关系的意义问题：（21. 0,. 1,21212121kkABMkkOBkOAkOMkkABM上的充分必要条件是位于线段而且且使得：实数在上的充分必要条件是存在直线证明点例2.1第一章向

7、量代数.不共面的条件问题：给出向量cba,ABMO.5.4.3.21）单纯形的概念（）线性流形的基本特征（）推广到有限个点（线的三点）把此例题推广到不共（？两点的最小，）包含：（线性流形凸集问题BA.)2121形内一定包含在这个线性流，两点中任意，（证明线性流形MMAAALMn例2.2第一章向量代数.本特征思考题：线性流形的基.),(2),(1,|),(.2121关于标量乘法封闭）（关于加法封闭；）（具有下列性质：组合构成的集合试证由它们的线性是两个非零向量和设baLbaLRkkbkakbaLba例2.3第一章向量代数.),(,与线性子流形的关系讨论对应的点集，是设WbaLWOBbOAa.线性

8、子空间空集合称为具有以上两个性质的非定义2.3.21）是否包含零向量）“直”、“平”，（间的关系？）线性流形与线性子空（）推广到有限个向量；：（21讨论第一章向量代数OABCD第三节 用坐标表示向量.,1 . 3321321ezeyexrzyxreee使得必存在唯一的实数量对于空间内任意一个向则的向量给定了空间三个不共面定理1e2e3eOPRQ.44性相关个以上的向量组一定线个或空间中推论3.2第一章向量代数.,.,321321eeeOOeee；坐标系构成仿射坐标架或仿射和基在空间取定原点称为空间的基向量序的线性无关空间中的任意三个有次定义3.1.21角坐标系的关系）讨论仿射坐标系与直（）讨论

9、基的基本性质；：（问题xyz第一章向量代数向量坐标与线性运算的关系.21点和终点的关系）自由向量的坐标与始（）给出线性运算；（)1,1,1.) 1().,(),(332211321321kkbakkbakkbaCCBkACCkkABbbbaaaBA（点的坐标为试证明的点就满足的点成定比分线段和的坐标，知两点（线段的定比分点）已例3.1第一章向量代数第四节 线性相关与线性方程组相关性？如何判别这三个向量的：设).14 , 1),2, 1 , 1(),3 , 2 , 1 (cba问题的提出行列式的定义程组给出二阶和三阶根据二元和三元线性方22221211212111bxaxabxaxa0321cx

10、bxax0230420321321321xxxxxxxxx22211211aaaa二阶行列式第一章向量代数333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaa.列式等于零必要条件是它的系数行非零解的充分三元齐次线性方程组有引理4.1.3).12 , 1 (),1 , 3 , 1 () 1, 5, 4(),1 , 1 , 2(4321表达式向量线性表示，并写出个可以由其余证明向量个向量已知bbaaa例4.2.程组的关系总结向量的相关性与方第一章向量代数.5.4321般化）将以上问题推广或一（件

11、）讨论四个点共面的条（性质；）讨论三个向量共面的（件；）讨论三个点共线的条（线的性质；）讨论两个非零向量共：（问题第一章向量代数质总结向量线性运算的性第五节 n维向量空间（自学为主） 数域的引入，给出具体例子。 n维向量与前面向量的关系？ n维向量的运算和性质。 数域K上的n维向量空间，如何理解数域的含义？ 自然基底的含义，理解坐标意义。第一章向量代数.,1121nnnaaaaan基向量的线性组合：可以唯一地表示成自然）都（维向量证明任何例5.2niinaaaa121?11 ninjija维向量空间的关系？问题：几何空间与n第一章向量代数第六节 几何空间向量的内积.,;,321321称为一个直

12、角坐标系向量，则位两两垂直，并且都是单如果eeeOeee定义6.1标系的异同？：直角坐标系与仿射坐问题第一章向量代数.aeakekaprapreaAOAlAelOaOAeaeee上的分量，记为在称为实数从而有记为上的射影在方向量所表示的向量就称为向，那么上的射影是点在直线设点的方向向量表示平行于单位的直线，过表示向量有向线段是一个单位向量，用是一个向量，设定义6.2OAAael1a2a.分解的性质讨论向量a.,cos|baaaeae的方向上的分量：在单位向量向量命题6.1第一章向量代数.)(,)(,akakbababaeeeeee有任意向量是一个单位向量，则对设命题6.2xyzOPRQe第一章

13、向量代数向量内积的定义与性质F1Fs.,cos|bababababa实数：定义为一个的内积与两个向量定义6.3.系、两个向量的夹角的关讨论内积、向量的长度ab第一章向量代数0b. 03 . 6baba：垂直的充分必要条件是与向量命题. 0. 0)4();()()3(;)()2(;) 1(,4 . 6aaaIPbakbakIPcbcacbaIPabbaIPkcba而且等号成立等价于正定性：质：关于标量乘法的线性性质：关于向量加法的线性性对称性质有以及实数：对任意的向量向量的内积有下列性质定理.等于各边的平方和形对角线的平方和利用向量证明平行四边例6.1第一章向量代数AOBC.,ABOCCAOBB

14、COAABCO求证：中已知三棱锥例6.2OABC第一章向量代数用直角坐标计算向量内积.),(),(,;,332211321321bababababbbaaakjiOba，则它们的内积为：与坐标分别为下的在直角坐标系设向量命题6.5.54321值）向量的方向角及余弦（的关系；）讨论向量坐标与内积（间夹角的公式；）用坐标给出两个向量（式的关系；）讨论与两点间距离公（；）用坐标给出长度公式：（问题第一章向量代数xyzikja0a.cossinsincoscoscos,.，求证：为二面角设内，平面分别在平面，的点，上的棱是二面角如图，点QMNPAOBBONAONQPOBOAMNQMNPO例6.3第一章

15、向量代数MNPQOABDxyzabABO第一章向量代数第七节 几何空间向量的外积.),(,sin|成右手系构均垂直，并且使它的方向规定为：与它的长度规定为：仍是一个向量，的外积与两个向量babababababababa定义7.1abba.21异同）讨论与向量内积的（积的几何意义；）讨论向量外：（问题第一章向量代数. 0,baba：共线的充分必要条件是两个向量命题7.1.,/022121babaababbbbaba则，其中分解为方向的正交沿向量，向量如果命题7.2ab1b2b：该命题的几何意义？问题第一章向量代数.90.bebbeebe得到的向量旋转右手螺旋规则绕按等于则是单位向量，设命题7.3

16、ebbe.)(,)()3();()(),()(2(;) 1(,cbcacbacabacbaEPbakbkabakbakEPabbaEPkcba分配律：反交换律：，有：和任意实数：对于任意向量外积具有下列运算性质定理7.5第一章向量代数利用直角坐标计算向量的外积),(),(),(,;122131132332321321babababababababbbaaabakjiO标为：的坐则在其中的坐标分别是与是一个右手直角标架，设命题7.6的简单表示形式？）（的几何意义？）当（面积？为邻边的平行四边形的和）以：（bababa302133问题第一章向量代数.21).6, 4 , 0(),1 , 1 , 4

17、(),1, 0 , 1 (3.54,23边上的高的长度）求（的面积；）求（点已知空间外积计算已知ABABCCBAbakjibkjia例7.2例7.1ABCH第一章向量代数外积内积在立体几何中的应用.21）求夹角（离；）点到直线或平面的距：（解决的主要问题CAB|ABACABd第一章向量代数.|2|. 4| , 6| , 4|11111111的距离到直线求点的中点是线段的中点，是棱，上的点，且是棱中，如图，已知长方体PQMBOMCCQAPBPABPOOOCOACBAOOABC例7.3ABCO1O1A1B1CPQMxyz第一章向量代数AB0nC第一章向量代数.BEFD的距离点到平面的大小；）二面角

18、（所成的角的大小；与平面）（所成的角的大小；与）（的中点，求和分别是棱，中，如图，已知长方体AFBEBBEFDADEFADDCCBFEDDADABDCBAABCD)4(321. 4|4| . 6|111111111111例7.4ABD1D1A1BFCxyzE第一章向量代数二重外积.)()()(,acbbcacbacba有对于任意的向量命题7.7.义讨论二重外积的几何意第一章向量代数第八节 几何空间向量的混合积).,(.)(3,cbacbacba也可记为为这三个向量的混合积个向量，称是设定义8.1.3,3体的体积个向量张成的平行六面于这的混合积的绝对值等个向量cba命题8.1？）符号是有什么决定

19、的（时的情形；）讨论当：（2)(1bac问题第一章向量代数abcba第一章向量代数0)(,3cbacba条件是：共面的充分必要个向量命题8.2.3合积的符号两个因子都要改变混它的符号，而对换任何个因子不会改变轮换混合积的命题8.3).()(cbacba推论8.4.3,0,3个向量共面证明这满足：个向量设accbbacba例8.1第一章向量代数用直角坐标计算向量的混合积321321321333222111321321321)(),(),(),;cccbbbaaacbacbacbacbacccbbbaaacbakjiO则（在其中的坐标分别是和是一个右手直角坐标，设命题8.5？三阶行列式的几何意义第

20、一章向量代数.3, 0),(321的系数个向量线性表示这被求向量已知混合积cxbxaxddcba例8.2.3231个向量共面的条件）给出这（出如何？个向量以坐标的形式给）当这：（问题.)()(,4dbcbdacadcbadcba有个向量对任意定理8.7第一章向量代数第二章 行列式 映射、变换及其性质； 行列式的定义； 行列式的几何意义； 行列式的性质（包括计算）； 行列式的应用.第二章 行列式第一节 映射与变换 映射的定义和基本特征； 几种常见的映射； 映射的乘法性质； 逆映射存在的条件； 映射的应用.第二章 行列式置换的奇偶性 置换的定义； 置换的表示方法； 对称群的定义； 问题：n阶对称群

21、元素有多少个？ 置换的合成的表示； 置换的例子； 置换的逆的表示.第二章 行列式123123312123123132321321213321132321312321231321123321.意义：给出每个置换的几何问题第二章 行列式.对、逆数、奇偶置换基本概念：对换、逆序.,1 . 2其符号必定改变与对换乘后置换引理p.解成对换的乘积任意一个置换都可以分命题2.2.换的关系讨论置换的奇偶性与对性的关系？）置换与其逆置换奇偶（数的关系？中奇置换与偶置换个）对称群：（21nS问题第二章 行列式第三节 行列式的定义.析行列式取值的意义的几何意义，同时分给出二阶和三阶行列式.02211,41122,3

22、1112CBAxyOabc第二章 行列式第三章 线性方程组与线性子空间 线性方程组与线性子空间的基本概念 线性方程组的解的结构 线性子空间的基与维数 线性方程组理论在几何中的应用第三章 线性方程组与线性子空间第二节 用消元法解线性方程组 消元法、阶梯形方程组、方程组的初等变换 同解方程组、等价关系 方程组的初等变换不改变方程组的解 行阶梯矩阵、简化行阶梯矩阵 矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换第三章线性方程组与线性子空间 命题1.2 任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换化成行阶梯矩阵. 推论1.3 任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换化成简化阶梯矩阵. 问题：给出列阶梯矩阵和简化列阶

23、梯矩阵的定义以及相关的结论.第三章 线性方程组与线性子空间第二节 线性方程组的解的情况 主变量与自由变量 非奇次线性方程组解的判别 奇次线性方程组解的判别 举例讨论方程组的解的结构第三章线性方程组与线性子空间第四章 矩阵的秩与矩阵的运算 向量组的秩 矩阵与线性方程组解的关系 矩阵与线性映射 矩阵与行列式 矩阵的分块 初等矩阵第四章 矩阵的秩与矩阵的运算第一节 向量组的秩. ）（）是线性等价的，记为（以相互表示，则称它们组向量可）线性表示；如果这两可由向量组向量组（）组（）线性表示，则称向量个向量都能有向量组（）的每一中，如果向量组（在向量空间V定义1.1),(),(,1111tstsLL，件是

24、线性子空间有线性表示的充分必要条）可以由向量组（，）向量组（命题1.1等价关系？）向量组的等价是不是（的条件；）给出这两组向量等价：（21问题第四章 矩阵的秩与矩阵的运算.秩的关系系给出向量组：结合向量组的表示关讨论.是线性相关的，得到的新的部分组都个添进去组的其余向量中任取一关的，但是从这个向量性无，如果这个部分组是线称为一个分组中非零向量组的一个部向量空间极大线性无关组定义1.2V.432 1法）极大无关组的判别方（如果存在是否唯一？都存在极大无关组，）是否任意一个向量组（）给出一个例子；（；的等价定义）给出极大线性无关组：（问题第四章 矩阵的秩与矩阵的运算组都是极大无关组？个向量构成的线

25、性无关，则由）如果向量组的秩等于（数？）极大无关组向量的个（本身的关系？）极大无关组与向量组（rr765.2143214642-061010321321-0Q，另一个含性无关组，其中一个含试找出它的两个极大线），（），（），（），（内有一个向量组：例：在. ss数它的秩等于所含向量个件是：线性无关的充分必要条，向量组命题211.9的一个基？间问题：如何求线性自空),(1sL第四章 矩阵的秩与矩阵的运算第二节 矩阵的秩.列秩行秩定义2.1的的列向量组的秩称为；的的行向量组的秩称为上矩阵数域AAAAK.线性无关组的列向量组的一个极大量组是向的主元所在的列组成的的非零行的数目等于的行秩与列秩相等，都

26、行阶梯矩阵TTTT命题2.1：000000000000000000000, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1121nrnrnrjrjrjjjjjjjccccccccc第四章 矩阵的秩与矩阵的运算题？相等？怎么思考这个问行秩和列秩是否：对于一个矩阵，它的问题.变矩阵的行秩矩阵的初等行变换不改定理2.2.不改变矩阵的列秩组的线性相关性，从而变矩阵的列向量矩阵的初等行变换不改定理2.3.给出该定理的等价表述问题：.列秩任意矩阵的行秩等于它定理2.4.的秩的行秩与列秩统称为矩阵AA定义2.2.关组的方法大线性无给出求一个向量组的极第四章 矩阵的秩与矩阵的运算.AAT.TATA2.5线性无关组的列

27、向量组的一个极大列是的第列，则的主元所在的列是第设的非零行的数目等于的秩则阶梯矩阵经过初等行变换变成行设矩阵推论rrjjjj,11.TA2.8.2.72.6目的非零行（或列）的数，则阶梯矩阵列变换变成行（或列）经过初等行变换与初等如果矩阵推论变矩阵的秩矩阵的初等列变换不改推论推论TArankjArankArankT)().()(.|0|A2.9的充分必要条件为的秩等于阶方阵一个命题nAn.称此矩阵为列满秩矩阵列数，则，如果矩阵的秩等它的称此矩阵为行满秩矩阵的秩等于它的行数，则如果一个矩阵，则称它是满秩矩阵阶方阵的秩如果等于一个定义.2.3nn.AAA102阶子式全为零的所有并且阶子式不为零，有

28、一个的充分必要条件为的秩等于矩阵一个定理1.rrrnm.AAAA112关组量组的一个极大线性无的行向阶子式所在的行是线性无关组；不为零的列向量组的一个极大阶子式所在的列是的不为零，则的秩等于矩阵设推论rrrnm.第四章 矩阵的秩与矩阵的运算第三节 用矩阵的秩判断线性方程组解的情况 ？与矩阵秩的关系？：方程组什么时候有解问题.22112222212111212111）（）（有解的充分必要条件是线性方程组：ARARbxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn定理3.1第四章 矩阵的秩与矩阵的运算。以及方程组有解的含义表示关系，）给出方程组的向量的（的关系；与）：（2)()(1AR

29、AR讨论.有无穷多个解，则方程组的秩小于组有唯一的解；如果，则方程的秩等于未知数的个数系数矩阵果它的线性方程组有解时，如nAnA定理3.2.多个解解，则该方程组有无穷同的：如果方程组有两个不注第四章 矩阵的秩与矩阵的运算有没有解？判断下述线性方程组：333231323222123213211dxcxbxadxcxbxadcxbxaxxxx例3.1111321321321axxxxaxxxxaxa？为何值时，方程组有解讨论例3.2第四章 矩阵的秩与矩阵的运算0) 1()2() 1(30) 1(02)3(321321321xxxxxxxxx取何值时，又非零解？当例3.300:00:44443333

30、2222211111DzCyBxADzCyBxALDzCyBxADzCyBxAL两条直线的位置关系：第四章 矩阵的秩与矩阵的运算00004444333322221111DzCyBxADzCyBxADzCyBxADzCyBxA.的关系阵的秩，以及它们讨论系数矩阵与增广矩.21的位置关系线与平面）用相似的方法讨论直（；）给出直线关系的条件：（结论第四章 矩阵的秩与矩阵的运算第四节 线性映射与矩阵.).()(2);()()(1.,是一个线性映射则称）（）（都有：，意的保持线性运算，即对任是一个映射，如果：两个向量空间上的是数域设kkLMLMKkVVVKKVKVmn定义4.1.基本性质：给出具体例子，

31、讨论问题问题：线性映射的本质是什么？第四章 矩阵的秩与矩阵的运算定。在基向量上的像唯一确由它作用：线性映射VV命题4.1.：给出该命题等价叙述问题第四章 矩阵的秩与矩阵的运算.,., 2 , 1)(,)dim(121的一个基是向量空间其中，使得：确定的线性映射一定存在一个唯一，向量个对于任意给定的VnjVVVVnnjjn命题4.2的对应关系？同时给出了哪两个集合说明了什么？和命题）命题（可以了？就）是否只定义：（2 . 41 . 42)(1jj问题 注意：一一映射的建立必须是在V的基底给定的前提下。( ,) :|KHom V VVVK 是 线性映射V 中 n个 有 序 向 量 第四章 矩阵的秩

32、与矩阵的运算问题：如果给定V的一个基如何？1122,1,jjjmjmaaajn1112112,nmmmnaaaaaa 1111nmmnaaAaa,( ,)( )KmnHom V VMK ( )( )KnEndVM K第四章 矩阵的秩与矩阵的运算线性变换的矩阵的几何意义112123123()3,()2,()2 312021001A第四章矩阵的秩与矩阵的运算112212(),() 1111A| | 2A2 2 4S 2 2 2 2 8S第四章 矩阵的秩与矩阵的运算1.500110011 00 1.510:,?01问题 当矩阵是时情况如何第四章 矩阵的秩与矩阵的运算5线性映射及矩阵的运算第四章 矩阵

33、的秩与矩阵的运算加法运算及其性质；一、线性映射与矩阵的质？矩阵集合得到了什么性射集合和：加法运算对于线性映问题标量乘法二、线性映射与矩阵的质？这两种运算得到什么性集合对于）线性映射集合与矩阵（；）标量乘法的基本性质：（21问题线性映射与矩阵的乘法运算),(),(VVKHomVVKHom 定义：设)(,: VV。不仿记也是线性映射很容易证明C,npijnmijmpijcCCbBaA)()()(npijcCCnmijbBmpijaA)(,)(,)(mkkkjmmjjjbbb111)(piiikppkkkaaa1 11)(mkkkjjpiiijjbcC11 )()()( mkpimkikjikpii

34、kjikmkmkpiiikkjkkjbabaabb111 1 111 )()()(第四章 矩阵的秩与矩阵的运算),(),(),( 111pmnLVLVLV 分析结果：乘积矩阵的（i,j)元是由矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。问题：是不是任意两个矩阵都可以进行乘积？矩阵A的列数矩阵的行数。mkmjimjijikjikijbabababac12211mnmjmnjnjpmppimiimbbbbbbbbbaaaaaaaaa122211111212111211第四章 矩阵的秩与矩阵的运算矩阵乘法的性质)(),(M,pm,KMBKAqp，即若矩阵的乘法满足结合律，则有)(,KMCnqC

35、ABBCA)()(0000000100100010001000010000001000000001001000000001第四章 矩阵的秩与矩阵的运算 矩阵的乘法不满足交换； 矩阵的乘法不满足消去律。 线性映射的运算与矩阵的运算的关系：ABBA,AAEAAEKMAnmnm,),(,则有若标量矩阵),(000000kkkdiagkkkkEnpqAqpAqpAqApAAAApA)( ,定义：第四章 矩阵的秩与矩阵的运算PPPBAAB）立：（：下列等式关系是否成问题矩阵乘法的应用 矩阵的多项式)()(01Kaaxaxaxfipp设的多项式为：定义矩阵设AKMAn),(EaAaAaAfpp01)(则有

36、：例：若, 1)(,1011nxxfAnAf1011)(1001000n第四章 矩阵的秩与矩阵的运算利用矩阵的乘法表示线性方程组mnmnmnnbxaxabxaxa1111111mnijbbbBxxxXaA2121,),(mnmnmmnnbbbxxxaaaaaaaaa21212122221112110,AXBAX第四章 矩阵的秩与矩阵的运算思考题 是否任意一个矩阵都可以与自己进行乘积运算？为什么？ 标量矩阵与任意阶矩阵相乘都可以交换？为什么？ 什么样的矩阵满足矩阵乘法的消去律？第四章 矩阵的秩与矩阵的运算矩阵乘法的应用),(),(,:11mnLVLVVV设VyVxmiiinjjj11)(,记设n

37、mijaA)(mnyyYxxX11,第四章 矩阵的秩与矩阵的运算)()()(1111 njmiiijjnjjjmiiiaxxy minjijijxa11)(niniinjjijixaxaxaxay22111AXY 第四章 矩阵的秩与矩阵的运算njnjjXx121),(Ym),()(1Amnn),()(,),(),(111mnmmnnmaaaaaaaaa2122221112111),(XYnm),()(),(11AXYAXm),(1第四章 矩阵的秩与矩阵的运算线性映射和矩阵的加法与乘法间的分配律),(,),(,VVHomDCVVHomKK 设则有：),(,),(,KMDCKMBAnppmADAC

38、DCADCDC)(;)() 1 ( 左分配律：BCACCBACCC)(;)()2(右分配律：第四章 矩阵的秩与矩阵的运算矩阵的转置与矩阵的运算有：对于矩阵命题),(),(2 . 5,KMCKM,pnnmTTTTTTTTACACkAkABABA)(3 ( ,)(2( ,)(1 ()(),(),(ijijijdACcCaA设证明：最后一个性质。)()()(.),(,1,KMdACcadKMACmpijTnkkjikijpm令从而有则则设所以),(),(.1ijTijTnkkijkjiijcCaAcaddijnkkijknkkjikijijTTdcaaceeAC11),(TTTACAC)(所以第四章

39、 矩阵的秩与矩阵的运算6 矩阵乘积的行列式与矩阵的逆|),(,1 . 6BAABKMBAnn则有：阶矩阵设有定理)(),(ijijbBaA证明：设nnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbaaaaaaaaaD212222111211212222111211100010001000000000第四章 矩阵的秩与矩阵的运算| )2 , 1;2 , 1(|) 1(|,| ), 2 , 1 ;, 2 , 1 (|11BnnnnDAnnDnn又因为|BAD 从而有nnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbaaaaaacccD2122221112112122221112111000100010000000

40、00第四章 矩阵的秩与矩阵的运算), 2 , 1(12121111njbababacnjnjjj其中：nnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbcccccccccD212222111211212222111211100010001000000000), 2 , 1, 1(2211njnibababacnjinjijiij其中：第四章 矩阵的秩与矩阵的运算线性变换的几何意义Ann),()(,),(),(2121的几何意义是：| A面体的有向体积之比。与基向量张成的平行多有向体积所张成的平行多面体的是)(|jA12)(1)(212)(1)(20|A0|A第四章 矩阵的秩与矩阵的运算矩阵的逆的。，则

41、称该矩阵是非退化行列式不等于定义：如果一个方阵的0。否则称为退化的)deg(eneratenon 足消去律？问题：什么样的矩阵满ACAB 0)(CBA。即满足什么条件时有CBCBA0与此之间的关系。考虑齐次线性方程组0AX的解。的列向量都是0AXCB.0|CBA 时有结论：当第四章 矩阵的秩与矩阵的运算使得：若存在一个矩阵定义：设),(),(KMBKMAnn是可逆的。的逆矩阵，是则称，AABEBAEAB,1AA的逆矩阵记为我们把阵是唯一的。是可逆的，则它的逆矩性质：若矩阵AEABABABB1121,的逆矩阵，即都是矩阵证明：设EABAB22和2121211)()(BABBBABEBB又；）什么

42、样的矩阵是可逆问题：（1矩阵？的，那么怎样求这个逆）如果一个矩阵是可逆（2第四章 矩阵的秩与矩阵的运算的伴随矩阵。为矩阵称令设AAAAAAAAAAAAaAnnnnnnij,),(212221212111nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211|000|000|AAA,|EAAAAA从而有时有：所以当0|A.)|1()|1(EAAAAAA.|10|1AAAAA是可逆的，并且有时，结论：当第四章 矩阵的秩与矩阵的运算第四章 矩阵的秩与矩阵的运算0,012103211bcaddcbaBA其中例：设。件是该矩阵是非退化的方阵可逆的

43、充分必要条定理：一个 n也是可逆，且有：与，则推论：如果方阵ABABAT,.)( ,)()(11111ABABAATT对乘法有什么性质？，该矩阵阶可逆矩阵是讨论：设|),(nAAKnGLBAX 矩阵方程：7矩阵的分块0000010012102101A2120EAE0200130021301221BAB2120EAE3210BBB331210BBABB0200130045302121AB3210BBB第四章 矩阵的秩与矩阵的运算srssrrAAAAAAAAAA2122221112111p2prp1m2msmrtrrttBBBBBBBBBB212222111211rppp21stssttCCCCC

44、CCCCAB2122221112111m2msm1n2ntn1n2ntnrkkjikijBAC1si, 2 , 1tj, 2 , 1的分法相同。列的分法与第二矩阵行分块的法则：第一矩阵第四章 矩阵的秩与矩阵的运算,.)(,.)2(,.)1 ()(.,) 2(.,) 1(.,mAAAnAAAA时有：当)()()1(,KMbBpnijnpnnppbbbbbbbbbnAAAAB212222111211)(.,) 2(.,) 1(.,njjpnjjjAbjAb111)(.,)(.,的线性组合。量是第一个因子列向量结论：乘积矩阵的列向第四章 矩阵的秩与矩阵的运算).,().,2().,1 ()2(212

45、222111211nBBBaaaaaaaaaABmnmmnnnkmknkkkBakBa111,.)(,.)(的线性组合。量是第二个因子行向量结论：矩阵乘积的行向则有：若设,ABC 行向量的线性组合，的行向量是矩阵矩阵BC) 1 (的行向量坐标。阵而且表示的系数就是矩A的列向量的线性组合，的列向量是矩阵矩阵AC)2(的列向量坐标。阵而且表示的系数就是矩B有什么关系？问题：这三个矩阵的秩第四章 矩阵的秩与矩阵的运算则有：设定理),(),(1 . 7,KMBKMApnnm)(),(min)(BrankArankABrank则有：设定理),(),(),(2 . 7,KnGLTKmGLSKMAnm).(

46、)()(TArankSArankArank)()(,),()(,1BrankArankBSAArankBrankSAB所以又则：令证明的表示关系。讨论）结合线性方程组（？矩阵的乘积不改变其秩为什么一个矩阵与可逆思考题：ABCBAX2) 1 (第四章 矩阵的秩与矩阵的运算角矩阵。记为：的分块矩阵称为分块对形如tAAA00000021),(21tAAAdiag方阵，则有：是方阵且对角块也都是若A| ),(|2121ttAAAAAAdiag有：若对角块都是可逆矩阵),(),(11211121ttAAAdiagAAAdiag.,01221211AAAAA求矩阵例：设有非退化上三角第四章 矩阵的秩与矩阵

47、的运算8 初等矩阵 给出矩阵初等变换的另一种意义。 给出可逆矩阵的解释和逆矩阵的求法。的矩阵称为初等矩阵。等变换后得到对单位矩阵施行一次初定义 1 . 8101101)(,(kkjiPij行上而得到。倍加到第行的第单位矩阵ikj第四章 矩阵的秩与矩阵的运算101011110101),(jiP得到。交换单位矩阵的两行而第四章 矩阵的秩与矩阵的运算101101)(kkiP而得到。乘以单位矩阵的某一行k逆，为什么？问题：初等矩阵是否可乘以一个的左边相当于在施行一次初等行变换就对矩阵AA定理8.1相当于在施行一次初等列变换就相应的初等矩阵，对 A.初等矩阵的右边乘以一个相应的A第四章矩阵的秩与矩阵的运

48、算)()(),(),(),(,()(,(1111kiPkiPjiPjiPkjiPkjiPtAAAA21设考虑行变换的情形.证明：tjjiAAkAAAAikj21行，得到加到第行乘以第tjiAAAAk1101101AkjiP)(,(tjitijAAAAjiPAAAA11),(titiAAAkiPAkAA11)(第四章 矩阵的秩与矩阵的运算矩阵的分类如果存在在可逆矩阵设矩阵定义),(,2 . 8,KMBAnmPAQBKnGLQKmGLP，使得：以及),(),(等价。与则称矩阵BA都可等价于任意一个矩阵定理)(2 .8,KMAnm一个形如00000000010000100001.01）的秩（可能是的

49、个数等于的矩阵，其中A第四章 矩阵的秩与矩阵的运算00000000001000100011,21, 211, 1111rnrrnrnrtssbbbbbbQAQPPP分必要条件是它们两个同阶矩阵等价的充推论 3 . 8具有相同的秩。行分类。结论：矩阵可以用秩进用秩分类有多少类？问题：矩阵集合)(,KMnm第四章 矩阵的秩与矩阵的运算逆矩阵的另一种求法初等矩阵的乘积。可逆矩阵一定可以写成推论4 . 8第四章 矩阵的秩与矩阵的运算11PPPAmm思考题：、线性方程组关系。）讨论矩阵、线性映射（否是可逆的？）两个可逆矩阵的和是（是什么？）矩阵理论的核心任务（321第五章 线性空间与欧几里得空间 “公理

50、化”的定义方式； 线性空间与欧几里得空间的分类； 深刻理解线性空间与欧几里得空间的本质区别和内在联系； 熟练掌握几何空间的度量性质； 进一步理解仿射性质和度量性质的区别。第五章 线性空间与欧几里得空间1线性空间及其同构第五章 线性空间与欧几里得空间它们对于和矩阵集合线性映射集合),(),(,KMVVHomnmK加法和标量乘法满足：对于加法构成交换群) 1 (0400321，有，都存在一个向量）对于任意一个向量（，都有：，对任意的）有一个向量（）（）（）（AAAA对于标量乘法有：)2(1)4(;)()3(;)(2();()(1(MkkkMlklkMlkklM第五章 线性空间与欧几里得空间0400