（数学）广东省清远市华侨中学2017届高考一模试卷(理)(解析版).doc

1、 广东省清远市华侨中学 2017 届高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1设集合 A=x|x27，Z 为整数集，则集合 AZ 中元素的个数是（ ） A3 B4 C5 D6 2在复平面内，复数对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3设 xR，向量，且，则 =（ ） A B C10 D 4高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多， 因此不满意度升高，当教室在第 n 层楼时，上下楼造成的不满意度为 n，但高处空气清新， 嘈杂音

2、较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第 n 层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（ ） A2 楼 B3 楼 C4 楼 D8 楼 5函数 的值域为（ ） A B C2，2 D1，1 6如图所示的程序框图，若 f（x）=logx，g（x）=lnx，输入 x=2016，则输出的 h（x）= （ ） A2016 B2017 Clog2016 Dln2016 7在ABC 中，A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，A=，且 bcosC=3ccosB，则的值 为（ ） A B C D 8函数 f（x）的导函数 f（x），对xR，都有 f（x）f（x）成立，

3、若 f（2）=e2，则不 等式 f（x）ex的解是（ ） A（2，+） B（0，1） C（1，+） D（0，ln2） 9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A50 B50.5 C51.5 D60 10用半径为 R 的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面 半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（ ） A B C D 11设双曲线=1（a0，b0）的右焦点 F，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐 近线于 A，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P，设 O 为坐标原点，若=+ （，R），=，则该双曲线的离心率为（ ） A

4、 B C3 D2 12对于函数 f（x）=，设 f2（x）=ff（x），f3（x）=ff2（x），fn+1（x）= ffn（x）（nN*，且 n2），令集合 M=x|f2036（x）=x，xR，则集合 M 为（ ） A空集 B实数集 C单元素集 D二元素集 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 13抛物线 y2=2x 的焦点坐标是 ，准线方程是 14 某几何体的三视图如图所示 （单位： cm） ， 则该几何体的表面积是 cm2， 体积是 cm3 15在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 a=2，C=，tanA=， 则 sinA= ，b= 16

5、已知等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q，设an，bn的前 n 项和分别 为 Sn，Tn，若 ，nN*，则 d= ，q= 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且acosC= （2bc）cosA （1）求角 A 的大小； （2）求 cos（B）2sin2的取值范围 18（12 分）数列an满足 a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），nN* （）证明：数列是等差数列； （）设 bn=3n，求数列bn的前 n 项和 Sn 19（12 分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动为了了解

6、本次竞赛学生成绩情况， 从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本（样本容量为 n）进 行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分 布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据） （）求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值； （）在选取的样本中，从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 3 名同学到 市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设 表示所抽取的 3 名同学中得分在80，90） 的学生个数，求 的分布列及其数学期望 20（12 分）设椭圆 E

7、 的方程为+y2=1（a1），O 为坐标原点，直线 l 与椭圆 E 交于 点 A，B，M 为线段 AB 的中点 （1）若 A，B 分别为 E 的左顶点和上顶点，且 OM 的斜率为，求 E 的标准方程； （2）若 a=2，且|OM|=1，求AOB 面积的最大值 21（12 分）已知函数 f（x）=xe2xlnxax （1）当 a=0 时，求函数 f（x）在，1上的最小值； （2）若x0，不等式 f（x）1 恒成立，求 a 的取值范围； （3）若x0，不等式 f（）1e+恒成立，求 a 的取值范围 请考生在 22，23 两题中任选一题作答如果都做，则按第一题记分 选修 4-4：坐标系与参数方程 2

8、2（10 分）在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线 C 的极坐标方程为 sin2=2acos（a0），直线 l 的参数方程为（t 为参数），直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点 （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）若|AB|=2，求 a 的值 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）=|xa|+5x （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）5x+3 的解集； （2）若 x1 时有 f（x）0，求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题 1C 【解析】集合 A=x|x27=x|，Z 为整数集， 集合 AZ=2，1

9、，0，1，2， 集合 AZ 中元素的个数是 5 个 故选：C 2B 【解析】 =， 在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限 故选：B 3A 【解析】向量，且， x2=0， 解得 x=2， =， 故选：A 4B 【解析】由题意知同学们总的不满意度 y=n+2=4， 当且仅当 n=，即 23 时，不满意度最小， 同学们认为最适宜的教室应在 3 楼 故选：B 5D 【解析】f（x）=sinxcos（x） =sinxcosxsinx =sinxcosx =sin（x） 函数 f（x）=sinxcos（x）的值域为1，1 故选：D 6C 【解析】x=2016 时，f（x）=log2016

10、g（x）=ln2016， 故 h（x）=f（x）， 故选：C 7B 【解析】ABC 中，A=，且 bcosC=3ccosB， b=3c， 即 a2=2b22c2； 又 cosA= ， b2+c2a2+bc=0， 3c2b2+bc=0， 即（）2+3=0， 解得=或（不合题意，舍去）， 即的值为 故选：B 8A 【解析】xR，都有 f（x）f（x）成立， f（x）f（x）0，于是有（）0， 令 g（x）=，则有 g（x）在 R 上单调递增， 不等式 f（x）ex， g（x）1， f（2）=e2， g（2）=1， x2， 故选：A 9D 【解析】由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如

11、图： 三棱柱的高为 5，消去的三棱锥的高为 3， 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的直角三角形， AB平面 BEFC， ABBC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5 几何体的表面积 S=34+35+（5+2）4+（5+2）5+35=60 故选：D 10C 【解析】设圆柱的高为 x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为 y=2， 圆柱的体积 V（X）=y2x=（x3+4R2x），（0x2R）， V（x）=（3x2+4R2）， 列表如下： x （0，） （，2R） V（x） + 0 当 x=时，此圆柱体积最大 圆柱体体积最大时， 该圆内接矩形的两条边长分别为和 2=

12、， 圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为： = 故选：C 11D 【解析】双曲线的渐近线为：y=x，设焦点 F（c，0），则 A（c，），B（c， ），P（c，）， 因为=+， 所以（c，）=（+）c，（）， 所以 +=1，=， 解得：=，=， 又由 =，得： ， 解得=， 所以，e=2 故选：D 12B 【解析】f（x）=1，f2（x）=1= ， f3（x）=，f4（x）=x，f5（x）=f（x）=， fn（x）是以 4 为周期，f2036（x）=f4（x）=x， 集合 M=x|f2036（x）=x，xR=R 故选：B 二、填空题 13 （，0） x= 【解析】抛物线 y2=

13、2x 的焦点坐标是（，0）；准线方程是：x= 故答案为：（，0）；x= 14 20+4 8 【解析】由三视图作出原图形如图所示， 原几何体为底面是边长为 2cm、4cm 的直角三角形，高为 2cm 的直三棱柱； 其表面积为 S=224+42+22+2=20+4cm2； 体积为 V=422=8cm3 故答案为：，8 15 4+ 【解析】tanA=，可得：cos2A= ， 又A（0，）， sinA= ， a=2，C= ， c=5， 由余弦定理 c2=a2+b22abcosC，可得：52=（2 ）2+b22， 整理可得：b22b13=0， 解得：b=4+，或4（舍去）， 故答案为：，4+ 16 2

14、2 【解析】由，得 b1+1=2a1，b1+b1q+1=2a1+d， ， 联立以上各式解得：d=q=2 故答案为：2，2 三、解答题 17解：（）由正弦定理可得， 从而可得，即sinB=2sinBcosA， 又 B 为三角形的内角，所以 sinB0，于是， 又 A 亦为三角形内角，因此， （）， =， =， 由可知，所以， 从而， 因此， 故的取值范围为 18证明:（）nan+1=（n+1）an+n（n+1）， ， ， 数列是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列； （）由（）知， ， bn=3n=n3n， 3n 1+n3n 3n+n3n+1 得3nn3n+1 = = 19解：（）由题意可知

15、，样本容量， x=0.10.0040.0100.0160.04=0.030 （）由题意可知，分数在80，90）有 5 人，分数在90，100）有 2 人，共 7 人 抽取的 3 名同学中得分在80，90）的学生个数 的可能取值为 1，2，3，则 ， 所以， 的分布列为 1 2 3 P 所以， 20解：（1）设 M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，两式相减，得， 即，又， 代入化简，解得 a=2， 故 E 的标准方程为； （2）设直线 l：x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）， ，整理得：（4+m2）y2+3mny+n24=0 y1+y2=，y1y2=，x1+

16、x2=， 由中点坐标公式可知：M（，），即 M（，） |OM|=1， n2= ， 设直线 l 与 x 轴的交点为 D（n，0）， 则， 令， 设 t=m2+4（t4）， 则， 当 t=12 时，即时，AOB 的面积取得最大值 1 21解：（1）a=0 时，f（x）=xe2xlnx， ， 函数 f（x）在（0，+）上是增函数， 又函数 f（x）的值域为 R， 故x00，使得 f（x0）=（2x0+1）e =0， 又，当 x时，f（x）0， 即函数 f（x）在区间，1上递增， （2）， 由（1）知函数 f（x）在（0，+）上是增函数，且x00，使得 f（x0）=0， 进而函数 f（x）在区间（0，

17、x0）上递减，在（x0，+）上递增， lnx0ax0， 由 f（x0）=0，得：（2x0+1）e a=0， ，f（x0）=1lnx02x02， x0，不等式 f（x）1 恒成立， 1lnx02x02e1，lnx0+2x02 0， 设 h（x0）=lnx0+2xe ，则 h（x0）为增函数，且有唯一零点，设为 t， 则 h（t）=lnt+2t2e2t=0，则lnt=2t2e2t，即 ， 令 g（x）=xex，则 g（x）单调递增，且 g（2t）=g（ ）， 则 2t=ln，即， a=（2x0+1）在（0，t为增函数， 则当 x0=t 时，a 有最大值， =， a2，a 的取值范围是（，2 （3）

18、由 f（）1， 得， xlnxxa，a对任意 x0 成立， 令函数 g（x）=xlnxx， 当 x1 时，g（x）0，当 0x1 时，g（x）0， 当 x=1 时，函数 g（x）取得最小值 g（1）=1=1， a1 a 的取值范围是（，1） 22解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 sin2=2acos（a0）可得 2sin2=2acos 可得：曲线 C 的普通方程为：y2=2ax； 直线 l 的参数方程为（t 为参数），普通方程为 xy2=0； （2）直线与曲线联立可得 y22ay4a=0， |AB|=2， =2，解得 a=5 或 1 23解：（1）当 a=1 时，|x+1|+5x5x+3， 故|x+1|3， 故4x2， 故不等式 f（x）5x+3 的解集为4，2； （2）当 x0 时，f（x）=|xa|+5x0 恒成立， 故只需使当1x0 时，f（x）=|xa|+5x0， 即|xa|5x， 即（xa）225x2， 即（xa5x）（xa+5x）0， 即（4x+a）（6xa）0， 当 a=0 时，解 4x6x0 得 x=0，不成立； 当 a0 时，解（4x+a）（6xa）0 得， x， 故只需使1， 解得，a4； 当 a0 时，解（4x+a）（6xa）0 得， x， 故只需使1， 解得，a6； 综上所述，a 的取值范围为 a4 或 a6