（数学）广东省清远市2016-2017学年高二（下）学业水平考试（理）（解析版）.doc

1、 广东省清远市 2016-2017 学年高二 （下） 学业水平考试 （理） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 601 分，在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求 1 （5 分）抛物线 x2=2y 的焦点坐标为（ ） A B C （0，1） D （1，0） 2 （5 分）椭圆 C：+=1（a0）的长轴长为 4，则 C 的离心率为（ ） A B C D 3 （5 分）命题“x0R，x02x0+10”的否定是（ ） Ax0R，x02x0+10 Bx0R，x02x0+10 CxR，x2x+10 DxR，x2x+10 4 （5 分）下列双曲线中，焦点在 x 轴上且渐近线

2、方程为 y=x 的是（ ） Ax2=1 By2=1 Cx2=1 Dy2=1 5 （5 分）下列命题中正确的是（ ） A经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 B经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行 C经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直 6 （5 分）“a=1”是“直线 ax+3y+2=0 与直线 x+（a2）y+1=0 平行”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7（5分） 在正方体ABCDA1B1C1D1中， 直线AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值为 （ ） A B C D

3、 8 （5 分）已知椭圆 C：+y2=1 的左、右顶点分别为 A、B，点 M 为 C 上不同于 A、B 的 任意一点，则直线 MA、MB 的斜率之积为（ ） A B4 C D4 9 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A B4 C D8 10 （5 分）三棱锥 ABCD 的所有棱长均为 6，点 P 在 AC 上，且 AP=2PC，过 P 作四面体 的截面，使截面平行于直线 AB 和 CD，则该截面的周长为（ ） A16 B12 C10 D8 11 （5 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点为 F，以 F 为圆心且半径为 4 的圆交 C 于 M，N 两点，交

4、 C 的准线 l 于 A、B 两点，若 A、F、N 三点共线，则 p=（ ） A4 B3 C2 D1 12 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PA=2，BC=2，则三棱锥 PABC 的 外接球的表面积的最小值为（ ） A13 B14 C15 D16 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上 13 （5 分）直线 ax+y+2=0 的倾斜角为 135 ，则 a= 14 （5 分）已知直线 x+y2=0 与圆 x2+y2=r2（r0）相交于 A、B 两点，O 为坐标原点， 若AOB=120 ，则 r= 15 （5 分）侧棱与底面垂直的三

5、棱柱 A1B1C1ABC 的所有棱长均为 2，则三棱锥 BAB1C1 的体积为 16 （5 分）双曲线 C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，若在 C 上 存在一点 P，使得 PO=|F1F2|（O 为坐标原点） ，且直线 OP 的斜率为，则，双曲线 C 的 离心率为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）语句 p：曲线 x22mx+y24y+2m+7=0 表示圆；语句 q：曲线+=1 表示 焦点在 x 轴上的椭圆，若 pq 为真命题，p 为真命题，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）如图所示，三棱柱 A1

6、B1C1ABC 的侧棱 AA1底面 ABC，ABAC，AB=AA1， D 是棱 CC1的中点 （）证明：平面 AB1C平面 A1BD； （）在棱 A1B1上是否存在一点 E，使 C1E平面 A1BD？并证明你的结论 19 （12 分）已知点 A 的坐标为（4，1） ，点 B（7，2）关于直线 y=x 的对称点为 C （）求以 A、C 为直径的圆 E 的方程； （）设经过点 A 的直线 l 与圆 E 的另一个交点为 D，|AD|=8，求直线 l 的方程 20 （12 分）如图所示，抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点为 F，经过点 F 的直线 l 与抛物 线交于 P，Q 两点，弦 PQ 的中点

7、为 N，经过点 N 作 y 轴的垂线与 C 的准线交于点 T （）若直线 l 的斜率为 1，且|PQ|=4，求抛物线 C 的标准方程； （）证明：无论 p 为何值，以线段 TN 为直径的圆总经过点 F 21 （12 分）如图所示，在四棱锥 ABCDE 中，AB平面 BCDE，四边形 BCDE 为矩形， F 为 AC 的中点，AB=BC=2，BE= （）证明：EFBD； （）在线段 AE 上是否存在一点 G，使得二面角 DBGE 的大小为？若存在，求 的值；若不存在，说明理由 22 （12 分）已知圆 A： （x+1）2+y2=8，动圆 M 经过点 B（1，0） ，且与圆 A 相切，O 为坐 标

8、原点 （）求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程； （）直线 l 与曲线 C 相切于点 M，且 l 与 x 轴、y 轴分别交于 P、Q 两点，若=，且 ，2，求OPQ 面积 S 的取值范围 参考答案 一、选择题 1A 【解析】抛物线 x2=2y 中，p=1，=， 焦点在 y 轴上，开口向上，焦点坐标为（0，） 故选：A 2B 【解析】由椭圆 C：+=1（a0）的长轴长为 4，可知焦点在 x 轴上， 即 2a=4，a=2， 椭圆的标准方程为：，a=2，b=，c=， 椭圆的离心率 e=，故选 B 3C 【解析】特称命题的否定是全称命题 命题 p：x0R，使 x02x0+10 的否定是：xR，x2x+1

9、0故选：C 4B 【解析】A双曲线的焦点在 x 轴，a=1，b=4，则双曲线的渐近线方程为 y=x=4x， B双曲线的焦点在 x 轴，a=4，b=1，则双曲线的渐近线方程为 y=x=x，满足条件 C双曲线的焦点在 y 轴，不满足条件 D双曲线的焦点在 y 轴，不满足条件故选：B 5A 【解析】对于 A，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线平行，与两直线交于 一点矛盾，故正确； 对于 B，经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，它们在该平面的一个平行平面内， 故错； 对于 C， 经过平面外一点有无数条直线与已知直线垂直， 它们在该直线的一个垂面内， 故错； 对于 D，经过平面外一点有

10、无数个平面与已知平面垂直，故错；故选：A 6A 【解析】若 a=1，则两条直线方程分别为x+3y+2=0 与 xy+1=0 此时两直线平行，即充 分性成立， 若两直线平行，则 ax+3y+2=0 的斜截式方程为 y=x，则直线斜率 k=， x+（a2）y+1=0 的斜截式方程为为 y=x， （a2） 若两直线平行则=，且， 由=，得 a（a2）=3，即 a22a3=0 得 a=1 或 a=3， 由得 a， 即“a=1”是“直线 ax+3y+2=0 与直线 x+（a2）y+1=0 平行”的充分不必要条件，故选：A 7D 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系 不妨时 AB=1，则 D（0，0，0）

11、 ，A（1，0，0） ，B1（1，1，1） ，A1（1，0，1） 则=（0，1，1） ，取平面 ABC1D1的法向量 =（1，0，1） ， 则直线 AB1与平面 ABC1D1所成的角的正弦值 =|cos， |=故选：D 8C 【解析】由题意得，椭圆 C：+y2=1 焦点在 x 轴上，a=2，b=1， 设 M（x0，y0） （y00） ，A（2，0） ，B（2，0） ， 直线 MA 的斜率 k1=，MB 的斜率 k2=， 又点 M 在椭圆上，（y00） ，x02=44y02， k1k2=， 直线 MA、MB 的斜率之积，故选 C 9A 【解析】由三视图可得，直观图是四棱锥，底面为 2 的正方形，

12、高为 2， 体积为=，故选 A 10B 【解析】三棱锥 ABCD 的所有棱长均为 6，点 P 在 AC 上， 且 AP=2PC，过 P 作四面体的截面，使截面平行于直线 AB 和 CD， 作 PHCD，交 AD 于 H，过 H 作 HFAB，交 BD 于 F，过 FECD， 交 BC 于 E，连结 PE， 则四边形 PEFH 是过 P 作四面体的截面，且截面平行于直线 AB 和 CD， AP=2PC，三棱锥 ABCD 的所有棱长均为 6， PH=EF=，HF=PE=， 该截面 PEFH 的周长为：4+4+2+2=12故选：B 11C 【解析】由题意，M 的横坐标为，纵坐标取p， 则 p2+3p

13、2=16，p=2，故选 C 12D 【解析】由题意，求出ABC 外接圆半径的最小值，即可， 由 2r=，可得 r 的最小值为 1， 三棱锥 PABC 的外接球的半径的最小值为 2， 三棱锥 PABC 的外接球的表面积的最小值为 422=16，故选 D 二、填空题 131 【解析】当直线 ax+y+2=0 的倾斜角为 135 时， 直线 l 的斜率 k=tan135 =1；a=1，解得 a=1故答案为：1 14 2 【解析】直线 x+y2=0 与圆 x2+y2=r2（r0）相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若 AOB=120 ，圆心 O（0，0）到直线 x+2=0 的距离 d 等于半径 r

14、的一半， 即 d=，解得 r=2故答案为：2 15 【解析】侧棱与底面垂直的三棱柱 A1B1C1ABC 的所有棱长均为 2， =，AA1=2， 三棱锥 BAB1C1的体积为：V= 故答案为： 16 【解析】|PO|=|F1F2|，|OF1|=|OF2|=|OP|，F1PF2=90 ， 直线 OP 的斜率为，tanPOF1=，cosPOF1= 由余弦定理可得|PF1|2=c2+c22c2=c2，即|PF1|=， 同理可得|PF2|=，=2a，=，e=故答案为： 三、解答题 17解：若 p 真，则曲线 x22mx+y24y+2m+7=0 化为（xm）2+（y2）2=m22m3， 由已知 m22m3

15、0，解得 m1 或 m3 若 q 真，则 m22m0，解得 m2 由 pq 为真命题， p 为真命题，得 p 假 q 真 则解得 2m3， 所以实数 m 的取值范围是 2m3 18解： （）AA1底面 ABC，AC平面 ABC，AA1AC， 又ABAC，AA1AB=A，AC平面 ABB1A1， 又A1B平面 ABB1A1，ACA1B，AB=AA1，A1BAB1， 又AB1AC=A，A1B平面 AB1C， 又A1B平面 A1BD，平面 AB1C平面 A1BD （）当 E 为 A1B1的中点时，C1E平面 A1BD下面给予证明 设 AB1A1B=F，连接 EF，FD，C1E， EF=AA1，EFA

16、A1，且 C1D=AA1，C1DAA1， EFC1D，且 EF=C1D，四边形 EFDC1是平行四边形， C1EFD，又C1E平面 A1BD，FD平面 A1BD， C1E平面 A1BD 19解： （）点 B（7，2）关于直线 y=x 的对称点为 C（2，7） ， AC 为直径，AC 中点 E 的坐标为（1，3） ，圆 E 的半径为|AE|=5， 圆 E 的方程为（x1）2+（y+3）2=25 （）当直线 l 的斜率不存在时，易求|AD|=8，此时直线 l 的方程为 x=4， 当直线 l 的斜率存在时，设 l：y1=k（x4） ， 圆心 E 到直线 l 的距离 d=， 圆 E 的半径为 5，|A

17、D|=8，所以 d=3， =3，解得 k=， 直线 l 的方程为 7x24y4=0 综上所述，直线 l 的方程为 x=4 或 7x24y4=0 20 （）解：由直线 l 的斜率为 1，可设直线 l 的方程为 y=x， 与抛物线 C 的方程联立，化简得 x23px+=0， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，由韦达定理可知，x1+x2=3p， |PQ|=x1+x2+p=4p=4，p=1，抛物线 C 的方程为 y2=2x （）证明：设直线 l 的方程为 x=my+， 与抛物线 C 的方程联立，化简得 y22pmyp2=0， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，由韦达定理可知，y1+

18、y2=2pm， x1+x2=m（y1+y2）+p=2pm2+p， 点 N 的坐标为（pm2+，pm） ，点 T 的坐标为（，pm） ， =（p，pm） ，=（pm2，pm） ，=p2m2+p2m2=0， 无论 p 为何值，以线段 TN 为直径的圆总经过点 F 21证明： （）取 BC 的中点 M，连接 MF，ME， AB平面 BCDE，MFAB， MF平面 BCDE，又 BD平面 BCDE，MFBD 在 RtMBE 与 RtBED 中， =，RtMBERtBED BME=EBD，而BME+BEM=90 ， 于是BEM+EBD=90 ，MEBD， 又MFME=M，BD平面 MEF， 又EF平面

19、MEF，EFBD 解： （）AB平面 BCDE，四边形 BCDE 为矩形， 以 B 为原点，分别以、的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标 系，设 AG=AE，依题意可得 B（0，0，0） ，C（2，0，0） ， D（2，0） ，A（0，0，2） ，E（0，0） ，F（1，0，1） ， =+=+=（0，22） ，=（2，0） ， 设平面 BGD 的法向量为 =（x，y，z） ， 则，取 x=1，则 =（1，） ， 平面 BGE 的法向量为 =（1，0，0） ， 二面角 DBGE 的大小为， |cos ， |=，解得 = 存在一点 G，且=时，二面角 DBGE 的大小为 22解

20、： （）设动圆 M 的半径为 r，依题意，|MA|=2r，|MB|=r， |MA|+|MB|=2|AB|=2， M 点轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆，即 2a=2，a=，2c=2，c=1， 则 b2=a2c2=1，椭圆 C 的标准方程为：+y2=1 （）由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，设 l：y=kx+b， ，化简得： （1+2k2）x2+4kbx+2b22=0， l 与椭圆 C 相切于点 M，设 M（x0，y0） ， =8（1+2k2b2）=0，即 b2=1+2k2， 且 2x0=，解得：x0=，y0=+b=， 点 M 的坐标为（，） ， 又 l 与 x 轴、y 轴分别交于 P、Q 两点， 点 P 的坐标为（，0） ，点 Q 的坐标为（0，b） ， OPQ 的面积 S=|OP|OQ|=，又 b2=1+2k2， S=|k|+， =（，） ，=（，b） ， 由=得，=（b） ，化简得 =， 由 ，2，得 k2，1，|k|，1， 又 S=|k|+，且函数 y=x+在，上单调递减，在，1上单调递增， 当|k|=时，S 取得最小值，当|k|=或 1 时，S 取得最大值， OPQ 面积 S 的取值范围是，