（数学）广东省广州市荔湾区2016-2017学年高一下学期期末考试试题.doc

1、 广东省广州市荔湾区 2016-2017 学年高一下学期期末考试 数学试题 第卷(选择题 共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题所给的四个选项中， 只有一个是正确的 1. 与60角的终边相同的角是（ ） A. 300 B. 240 C. 120 D. 60 2. 不等式240xy表示的区域在直线240xy的（ ） A. 左上方 B. 左下方 C. 右上方 D. 右下方 3. 已知角的终边经过点( 3, 4)P ，则cos的值是（ ） A. 4 5 B. 4 3 C. 3 5 D. 3 5 4. 不等式 2 3100xx的解集是（ ） A| 25

2、xx B|5,2x xx或 C| 25xx D|5,2x xx或 5. 若 3 sin, 5 是第四象限角，则cos 4 的值是（ ） 4 5 B 7 2 10 2 10 1 7 6. 若, a bR，下列命题正确的是（ ） A若| |ab，则 22 ab B若| | ab，则 22 ab C若| |ab，则 22 ab D若ab，则0ab 7. 要得到函数3sin(2) 5 yx 图象，只需把函数3sin2yx图象（ ） A向左平移 5 个单位 B向右平移 5 个单位 C向左平移 10 个单位 D向右平移 10 个单位 8. 已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意点

3、，则 PAPBPCPD等于（ ） A. 4PM B. 3PM C. 2PM D. PM 9. 若 3 cos2 5 ，则 44 sincos的值是（ ） A. 17 25 B 4 5 6 5 D 33 25 10. 已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（ ） A. 4 B. 2 2 C. 2 D. 2 11. 已知点, n n a在函数213yx的图象上，则数列 n a的前n项和 n S的最小值为 （ ） A36 B36 C6 D6 12. 若钝角ABC的内角, ,A B C成等差数列， 且最大边长与最小边长的比值为m， 则m的 取值范围是（ ） A1,2（） B

4、2 +（ ， ） C3,) D(3,) 第卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 13. 若向量(4,2),(8, ), /xabab，则x的值为 14. 若关于x的方程 2 0xmxm没有实数根，则实数m的取值范围是 15. 设实数, x y满足 , 1, 1. yx xy y 则2zxy的最大值是 16. 设 2 ( )sin cos3cosf xxxx，则( )f x的单调递减区间是 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 10 分) 已知等比数列 n a的前n项和为

5、 n S，公比为q(1)q ，证明： 1(1 ) 1 n n aq S q 18 （本小题满分 12 分） 已知平面向量a，b满足| 1a，| 2b （1）若a与b的夹角120，求|ab的值； （2）若()()kkabab，求实数k的值. 19.（本小题满分 12 分） 在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知cossincaBbA （1）求A； （2）若2a ，bc，求ABC的面积 20 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 1 2a ， 1 2 nn n aS n (1,2,3,)n （1）证明：数列 n S n 是等比数列； （2）

6、设 21 1 2 n n nn b S S ，求数列 n b的前n项和 n T 21.(本小题满分 12 分) 某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两 地距离. 现测量人员在相距3km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上） 测得75ACB ，45BCD，30ADC，45ADB（如图） ，假如考虑到 电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的5倍，问施工单位 应该准备多长的电线？ C D B A 75 45 30 45 22.(本小题满分 12 分) 已知, ,A B C为锐角ABC的内角，sin,sinsinABC （）a，(

7、1, 2)b，ab. （1）tanB，tantanBC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论； （2）求tantantanABC的最小值. 【参考答案】 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C D B C A A C B B 二、填空题 13. 4 14. (0,4) 15. 3 16. 7 +, 1212 kkk Z 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 证法 1： （错位相减法）因为 1 1 n n aa q ， 所以 1 111 n n Saa qa q 21 1111 nn n

8、 qSa qa qa qa q 所以 11 (1) n n q Saa q 当1q 时，有 1(1 ) 1 n n aq S q 证法 2： （叠加法）因为 n a是公比为q的等比数列， 所以 21 aa q， 32 aa q， 1 , nn aa q L 所以 112 ) 1(aqaa， 223 ) 1(aqaa， nnn aqaa) 1( 1 ， 相加得 nn Sqaa) 1( 11 . 所以当q1 时， 111(1 ) 11 n n n aaaq S qq . 证法 3： （拆项法）当q1 时， 11 11 1 111 aa qq aa qqq ， 2 11 21 1 111 a qa

9、qq aa q qqq ， 1 11 1 1 111 nn nn a qa qq aaq qqq ， 以上n个式子相加得 q qa q qa q a S nn n 1 )1 ( 11 111 . 18解： （1） 1 |cos1201 21 2 a b =|a b， 22 |()abab 22 2aa bb 22 |2|a|a bb| 又| 1a，| 2b， 所以 2 |ab 22 |2|1 243 a|a bb|， 所以|3ab. （2）因为()()kkabab ， 所以() ()0kkabab， 即 222 0kab 因为| 1a，| 2b， 所以 2 40k ， 即2k . 19.解：

10、（1）解法 1：由cossincaB bA及正弦定理可得 sinsincossinsinCABBA. 在ABC中，CAB，所以 sinsin()sincoscossinCABABAB. 由以上两式得sincosAA，即tan1A， 又(0,)A，所以 4 A 解法 2：由cossincaBbA及余弦定理可得 222 sin 2 acb cabA ac ， 即 222 2sinbcabcA， 由余弦定理得 222 2cosbcabcA 由以上两式得sincosAA，即tan1A， 又(0,)A，所以 4 A （2）ABC的面积 12 sin 24 SbcAbc， 由2a ，及余弦定理得 2222

11、 42cos2bcbcBbcbc， 因为bc，所以 22 422bb， 即 2 4 42 2 22 b ， 故ABC的面积 2 22 21 44 Sbcb 20 解： （1）因为， 11nnn aSS ， 又 1 2 nn n aS n ， 所以 1 (2)() nnn nSn SS ， 即 1 2(1) nn nSnS ， 所以 1 2() 1 nn SS n nn N 故数列 n S n 是首项为2，公比为2的等比数列 （2）由（1）得2n n S n ，即2n n Sn 所以 2121 1 1 22111 = 2 (1) 2(1)1 nn n nn nn b S Snnn nnn ， 故

12、数列 n b的前n项和 111111 11 223111 n n T nnnn 21. 解：在ACD中，由已知得30CAD，又30ADC, 所以3(km)ACCD 在BCD中，由已知可得60CBD，由正弦定理得 3sin753sin 45 +3062 sin60sin602 BC （） 在ABC中，由余弦定理得 222 2cosABACBCAC BCBCA 2 2 6262 3()2 3cos755 22 ， 所以，5AB 故施工单位应该准备电线长为5km 22 解： （1）依题意有sin2sinsinABC. 在ABC中，ABC， 所以sinsin+=sincoscossinAB CBCBC

13、（）， 所以2sinsin=sincoscossinBCBCBC. 因为ABC为锐角三角形，所以cos0,cos0BC，所以 tantan2tantanBCBC， 所以tanB，tantanBC，tanC成等差数列 （2）法一：在锐角ABC中， tantan tantan()tan() 1tantan BC ABCBC BC ， 即tantantantantantanABCABC， 由（1）知tantan2tantanBCBC，于是 tantantantan2tantan2 2tantantanABCABCABC， 整理得tantantan8ABC ， 当且仅当tan4A时取等号， 故tantantanABC的最小值为8. 法二：由法一知 tantan tan 1tantan BC A BC ， 由（1）知tantan2tantanBCBC，于是 2 tantan2(tantan) tantantantantan 1 tantan1 tantan BCBC ABCBC BCBC ， 令tantan(1)BCx x，则 2 22 tantantan2(1)48 11 x ABCx xx ， 当且仅当2x，即tan4A时取等号， 故tantantanABC的最小值为8.