河南省高中数学优质课：等差数列前n项和-说课课件.ppt

1、1点击输入文字信息点击输入文字信息345说 课 流 程21 1教学内容教学内容 本节课是高中人教本节课是高中人教A版必修版必修5第二章第第二章第三节第一课时的内容三节第一课时的内容。主要研究。主要研究等差数列等差数列的前的前n n项和公式的推导及其简单应用。项和公式的推导及其简单应用。 本节课是前面所学知识的延续和深化，又是本节课是前面所学知识的延续和深化，又是后面学习后面学习“等比数列及其前等比数列及其前n项和项和”的基础和前奏。的基础和前奏。学好了本节课的内容，既能加深对数列有关概念的学好了本节课的内容，既能加深对数列有关概念的理解，又能为后面学好等比数列及数列求和提供方理解，又能为后面学

2、好等比数列及数列求和提供方法。法。同时还同时还蕴涵着深刻的数学思想方法（倒序相加蕴涵着深刻的数学思想方法（倒序相加法、数形结合、方程思想），因此法、数形结合、方程思想），因此“等差数列的前等差数列的前n项和项和”无论是无论是在数列这一章中在数列这一章中还是在高中数还是在高中数学中都学中都有极为重要的位置有极为重要的位置，具有承上启下的重要作，具有承上启下的重要作用。用。2 2地位与作用地位与作用 高中二年级学生已学习了数列及等差数列有高中二年级学生已学习了数列及等差数列有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和及小高斯的故事。及小高斯的故事。1.知识

3、基础知识基础 高中二年级学生已初步具有抽象逻辑思维高中二年级学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。能力，能在教师的引导下独立地解决问题。2.认知水平与能力认知水平与能力3.3. 学生特点学生特点 本班有不少学生基础不差且思维较活跃，本班有不少学生基础不差且思维较活跃，能带动其他学生积极学习，但处理抽象问题的能带动其他学生积极学习，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。能力还有待进一步提高。 1.1.掌握等差数列的前掌握等差数列的前n n项和公式；项和公式； 2. 2.体会等差数列的前体会等差数列的前n n项和公式的推导过程项和公式的推导过程; ; 3.3.会简单运用等

4、差数列的前会简单运用等差数列的前n n项和公式。项和公式。 知识技能目标知识技能目标1 1通过对等差数列前通过对等差数列前n n项和公式的推导项和公式的推导, ,体体会倒序相加求和的思想方法；会倒序相加求和的思想方法；2.2.通过公式的运用体会方程思想。通过公式的运用体会方程思想。 过程与方法过程与方法 结合具体模型结合具体模型, ,将教材知识和实际将教材知识和实际生活联系起来生活联系起来, ,使学生感受数学的实用使学生感受数学的实用性性, ,有效激发学习兴趣有效激发学习兴趣, ,并通过对等差数并通过对等差数列求和历史的了解列求和历史的了解, ,渗透数学史和数学渗透数学史和数学文化。文化。 情

5、情 感感 态态 度度教学重点教学重点教学难点教学难点 等差数列的前等差数列的前n n项和公式的推导和应用。项和公式的推导和应用。 教学重点、难点教学重点、难点 在等差数列的前在等差数列的前n n项和公式的推导过程中项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。体会倒序相加的思想方法。 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观理出推导公式的思路，同时，借助

6、多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。而突出重点、突破教学难点。 重点、难点解决策略重点、难点解决策略 本课采用本课采用“探究探究发现发现”教学模式教学模式l教师的教法教师的教法突出活动的组织设计与方法突出活动的组织设计与方法的引导。的引导。l学生的学法学生的学法突出探究、发现与交流。突出探究、发现与交流。明明确定义确定义确确定任务定任务 公式应用公式应用讲练结合讲练结合公式的认公式的认识与理解识与理解 问题牵引问题牵引探究发现探究发现归纳总结归纳总结分享收分享收获获布置作业布置作业延延伸拓展伸拓展指导思想：指

7、导思想： 从特殊到一般，由具体到抽象，层层深入，探究发现，从特殊到一般，由具体到抽象，层层深入，探究发现，讲练结合。讲练结合。环节一：明确定义环节一：明确定义 确定任务确定任务 数列的前n项和的定义： 对于一个数列an,我们称a1+a2+a3+an为数列an的前n项和，用Sn表示，即 Sn =a1+a2+a3+an 如 S1 =a1， S7 =a1+a2+a3+a7 本节课的任务： 如何求如何求等差等差数列数列an 的前前n项和项和Sn？【设计意图设计意图】开门见山，通过设问引出本节课中心任务！开门见山，通过设问引出本节课中心任务！ 宝石数量： 1+2+3+4+98+99+100=？【设计意图

8、设计意图】一、激发学生兴趣；一、激发学生兴趣； 二、引导学生思考高斯方法的特点和本质。二、引导学生思考高斯方法的特点和本质。问题一：问题一： 求下图中泰颐陵宝石图案中宝石的数量？求下图中泰颐陵宝石图案中宝石的数量？看看高斯的（1+100）+（2+99）+ +（50+51）=10150=5050?讨论：高斯的思路有什么特讨论：高斯的思路有什么特点？适合哪种类型？点？适合哪种类型？总结：总结： 特点：首尾配对特点：首尾配对 类型：项数为偶数的相加类型：项数为偶数的相加 本质：变不同数的求和为相同数本质：变不同数的求和为相同数的求和，变加法为乘法。的求和，变加法为乘法。 S21= 1 + 2 + 3

9、 + + 21 2S21=(1+21) + (2+20) +(3+19 )+ + (21+1) S21=21 + 20 + 19 + + 1 21个个22探索与发现探索与发现1：第：第1层到层到21层一共有多少颗圆宝层一共有多少颗圆宝石？石？高斯的办法行吗？如何改进？高斯的办法行吗？如何改进？【设计意图设计意图】在高斯方法的启发下引导在高斯方法的启发下引导学生探究项数为奇学生探究项数为奇数的等差数列的求和方法，探究的同时通过动画演示帮助数的等差数列的求和方法，探究的同时通过动画演示帮助学生体会到倒序相加上下配对的思想！学生体会到倒序相加上下配对的思想！探索与发探索与发现现2：第：第5层到层到1

10、2层层一共有多少颗圆宝一共有多少颗圆宝石？石？【设计意图设计意图】进一步引导学生探究项数为偶数的等差数列进一步引导学生探究项数为偶数的等差数列求和时倒序相加是否可行。从而得出任意项数的等差数列求和时倒序相加是否可行。从而得出任意项数的等差数列求和都可用倒序相加法，确立倒序相加的思想和方法！求和都可用倒序相加法，确立倒序相加的思想和方法！S8=5+6+7+8+9+10+11+12S8=12+11+10+9+8+7+6+5问题问题2: 等等差数列差数列1,2,3,n, 的前的前n项项和怎么求呢？和怎么求呢？ sn=1 + 2 + + n-1 + n 2sn =(n+1) + (n+1) + + (

11、n+1) + (n+1) sn=n + n-1 + + 2 + 1n个n可能是奇数也可能是偶数，怎么避免讨论？【设计意图设计意图】从前面特殊的等差数列的求和，推进到一般的等差数从前面特殊的等差数列的求和，推进到一般的等差数列的求和，强化倒序相加法的本质！为推导更一般的等差数列的求列的求和，强化倒序相加法的本质！为推导更一般的等差数列的求和公式奠定基础！和公式奠定基础！112nn nSnad11naand又12nnnaaSn个11112()()()nnnnnSaaaaaaaa上式相加得：由等差数列性质可知： 问题问题3：对于一般：对于一般等差数列等差数列an，首项为，首项为a1，公差为，公差为d

12、，它的前它的前 n项和公式如何推导呢？项和公式如何推导呢？【设计意图设计意图】学生在前面的探究基学生在前面的探究基础上水到渠成顺理成章很快就可以础上水到渠成顺理成章很快就可以推导出一般等差数列的前推导出一般等差数列的前n项和公项和公式，从而完成本节课的中心任务。式，从而完成本节课的中心任务。在这个过程中放手让学生自主推导，在这个过程中放手让学生自主推导，同时也复习等差数列的通项公式和同时也复习等差数列的通项公式和基本性质。基本性质。12nnn aaS112nn nSnad【设计意图设计意图】1 1、探究两个公式的区别与联系，明、探究两个公式的区别与联系，明确确若若a1，d, n, an中已知三

13、个量就可以求出中已知三个量就可以求出Sn 。2 2、明确两、明确两个公式共涉及五个个公式共涉及五个量量a1，d, n, an 和和Sn，“知三知三”可可“求二求二”。（公式一）（公式一）（公式二）（公式二）环环节三：公式的认识与理解节三：公式的认识与理解1anna12nnn aaS探索与发探索与发现现3：等差数列前：等差数列前n项和公式与梯形面积公式有什么联系？项和公式与梯形面积公式有什么联系？公式一:如何类比梯形面积公式来记忆【设计意图设计意图】帮助学生类比联想，拓展思维，增加兴趣，强化记忆帮助学生类比联想，拓展思维，增加兴趣，强化记忆分割成一个平行四边形和一个三角形1adn) 1( n1a

14、112nn nSnad公式二:如何类比梯形面积公式来记忆 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=50 1()12nnn aaS解 ：10(595)2500【设计意图设计意图】使学生快速熟记公式并熟练应用，使学生快速熟记公式并熟练应用，进一步巩固进一步巩固“知三求二知三求二”的思想。的思想。 例例1.2000年年11月月14日教育部下发了日教育部下发了.某市据此提出了实施某市据此提出了实施“校校校通校通”工程的总目标工程的总目标:从从2001年起用年起用10年时间年时间,在全市中小在全市中小学建成不同标准的校园

15、网学建成不同标准的校园网. 据测算据测算,2001年年该市用于该市用于“校校通校校通”工程的工程的经费为经费为500万元万元.为了保证工程的顺利实施为了保证工程的顺利实施,计划计划每年投入的资金都每年投入的资金都比比上一年增加上一年增加50万元万元.那么从那么从2001年起的年起的未来未来10年内年内,该市在该市在“校校通校校通”工程中的工程中的总投入总投入是多少是多少?例题讲解例题讲解【设计意图设计意图】 通过此题让学生体会数列知识在生活通过此题让学生体会数列知识在生活中的应用及简单数学建模思想。中的应用及简单数学建模思想。例题讲解例题讲解 例例2 已已知一个等差数知一个等差数列列an的的前

16、前10项的和是项的和是310，前，前20项的和是项的和是1220，由由这这些条件能确定这个等些条件能确定这个等差数列的前差数列的前n项和的公式吗？项和的公式吗？【设计意图设计意图】 通过此题让学生掌握两个公式的灵活应用通过此题让学生掌握两个公式的灵活应用及方程的思想方法。及方程的思想方法。反馈达标反馈达标 练练习习1. 在等差数列在等差数列an中中, a1=20, an=54, sn =999,求求n。【设计意图设计意图】 通过练习进一步强化公式的理解和灵活应用及通过练习进一步强化公式的理解和灵活应用及体会化归的思想方法（化归到首项和公差这两个体会化归的思想方法（化归到首项和公差这两个基本元）

17、。基本元）。 1.倒序相加法求和的思想及应用倒序相加法求和的思想及应用2.等差数列前等差数列前n项和公式的推导过程项和公式的推导过程 4.前前n项和公式的灵活应用及方程的思想项和公式的灵活应用及方程的思想3.公式公式12nnn aaS112nn nSnad 5. 【设计意图设计意图】活跃课堂气氛，培养学总结和表达的能力。活跃课堂气氛，培养学总结和表达的能力。 一、书面作业：一、书面作业：1 1. .已知等差数列已知等差数列aan n,其中其中d=2,n=15, ad=2,n=15, an n =-10,=-10,求求a a1 1及及s sn n。2.2.在在a a，b b之间插入之间插入101

18、0个数，使它们同这两个数形成等差数个数，使它们同这两个数形成等差数列列, ,求这求这1010个数的和。个数的和。 二、课后思考：二、课后思考： 等差数列的前等差数列的前n n项和公式的推导方法除了倒序相加法项和公式的推导方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢还有没有其它方法呢? ?【设计意图设计意图】通过布置作书面业巩固所学知通过布置作书面业巩固所学知识及方法，同时通过布置课下思考题来延伸识及方法，同时通过布置课下思考题来延伸知识拓展思维。知识拓展思维。附：板书设计附：板书设计 等差数列前n项和 一一、 数数列前列前n n项项和定义和定义二二、等差前、等差前n n项和公项和公式的式的推推导导三、公式认识与理解：三、公式认识与理解：公式公式1 1：公式公式2 2： ( (主板书主板书) ) 四、例题及解答四、例题及解答( (副板书副板书) )议练活动议练活动 ( (辅助性板书辅助性板书) )